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TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE (TCL)

Da un campione devo poter dire qualcosa della popolazione che l'ha generato.

x1 ∼ Ud (1, 3)

P(x1 = x) = P(x2 = x) = P(x3 = x) = 1/3

x2 ∼ Ud (1, 3)

S2 = x1 + x2 → {2, 3, 4, 5, 6}

x123 1234 2345 3456

S2

  • 2: 1/9
  • 3: 2/9
  • 4: 3/9
  • 5: 2/9
  • 6: 1/9

La distribuzione di S2 non è più uniforme.

S3 = x1 + x2 + x3

S2 + x3

x234567 3345678 4456789

S3

  • 3: 1/27
  • 4: 3/27
  • 5: 6/27
  • 6: 7/27
  • 7: 6/27
  • 8: 3/27
  • 9: 1/27

A mano a mano che aumenta il campione, la distribuzione da discreta diventa continua.

TCL (per la somma)

DEF. Siano x1, x2, ..., xm n variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite t.c. E(xi) = μ e V(xi) = σ2 allora Sm = x1 + x2 + ... + xm allora Sm ≅ N (mμ, mσ2)

OSSERVAZIONI

  1. E(Sm) = E(x1 + x2 + ... + xm) = E(x1) + E(x2) + ... + E(xm) ma visto che sono iid, si ha che E = μ = μ + μ + ... + μ = m μ
  2. V(Sm) = V(x1 + x2 + ... + xm) = V(x1) + V(x2) + ... + V(xm) = σ2 + σ2 + ... + σ2 = mσ2
  3. Se x1, x2, ..., xm fossero tutte normali indipendenti: xi ~ N (μ, σ2) , e Sm ~ N (mμ, mσ2) allora Sm ≅ N (mμ, mσ2)

(N.B. !! oltre che cosa rappresentano le incognite, altrimenti vengono tolti dei punti all'esame)

Esercizio

xi ~ Ud (1, 3) Sn = {1, 2, 3}

E(xi) = 2

V(xi) = 1/3 [(1-2)2 + (2-2)2 + (3-2)2] = 2/3

Esercizi tipo

  1. Descriptione un TCL
  2. Applicazione di TCL scritto precedentemente

Esercizio 8

TCL per la somma

Si lancia un dado 100 volte, determinare la probabilità che la somma sia minore di 330.

  • Xi quale faccia assume il dado

P(Xi = x) = 1/6 , x = 1, 2, ..., 6

E(Xi) = Σ x P(Xi = x) = 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6 + 4 1/6 + 5 1/6 + 6 1/6

= 3,5

V(Xi) = Σ x2 P(Xi = x) - E2(x)

= (12/6 + 22/6 + 32/6 + 42/6 + 52/6 + 62/6) - 3,52 = 2,917

n = 100

S = 1, 2, ..., 100

Sm ≈ N (100 . 3,5 , 100 . 2,917)

P(Sm < 330) = P ( Sm - E(Sm)/√(S0(Sm)) < 330 - 350/√294,7 )

= P(Z < -1,17)

= 1 - P(Z < 1,17)

= 1 - Φ(1,17) = 0,121

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Publisher
birillo44
A.A. 2014-2015
9 pagine
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SSD Scienze economiche e statistiche SECS-S/01 Statistica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher birillo44 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia o del prof Frederic Patric.