Statistica - Teorema centrale del limite, chi-quadro, t-student

TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE (TCL)

Da un campione devo poter dire qualcosa della popolazione che l'ha generato.

S_X = {1, 2, 3}

P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = ¹/₃

X₁ ~ U_d (1, 3)

X₂ ~ U_d (1, 5)

S₂ = X₁ + X₂ → {2, 3, 4, 5, 6}

1 1 1 P(S₁) 1 ¹/₉ ¹/₉ ¹/₉

2, 3, 4, 5, 6

La distribuzione di S₂ non è più uniforme.

S₃ = X₁ + X₂ + X₃

= S₂ + X₃

2* ¹/₂₇

A mano a mano che aumentoil campione, la distribuzioneda discreta diventa continua.

TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE (TCL)

Da un campione devo poter dire qualcosa della popolazione che l'ha generato

S_X = {1, 2, 3}

P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = ¹/₃

X₁ ~ U_d(1, 3) X₂ ~ U_d(1, 5)

variabile discreta

S_X2 = X₁ + X₂ → {2, 3, 4, 5, 6}

La distribuzione di S₂ non è più uniforme

S₃ = X₁ + X₂ + X₃ = S₂ + X₃

A mano a mano che aumenti il campione, la distribuzione da discreta diventa continua

TCL (per la somma)

DEF. Sono x₁, x₂, …, x_m m variabili casuali indipendenti e_i identicamente distribuite + c. G(gx_i) = μ e V(x) = σ²₆ posto S_m = x₁, x₂, …, x_m allora S_m ≈ N (mμ, mσ²)

OSSERVAZIONI

1. E(S_m) = E(x₁ + x₂ + … + x_m)= E(x₁) + E(x₂) + … + E(x_m)ma visto che sono IID, E è uguale E = μ= μ + μ + … + μ = Mμ

2. V(S_m) = V(x₁ + x₂ + … + x_m)= V(x₁) + V(x₂) + … + V(x_m)= σ² + σ² + … + σ² = Mσ²

3. Se x₁, x₂, …, x_m fossero tutte normali indipendenti x_i ≈ N(μ, σ²), e S_m ≈ N(mμ, mσ²) allora S_m^√a ≈ N(mμ, mσ²)

(N.B. dice che cosa rappresentano le incognite, altrimenti vengono totti dei punti all'esame)

Eserciziox_i ≈ U_d(1, 3) S_a = {1, 2, 3}E(x_i) = 2V(x_i) = \[ \frac{1}{3} [(1-2)² + (2-2)² + (3-2)²] \] = \frac{2}{3}

se n = 100

S₁₀₀ = x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀

S_X = {100, 101, ..., 300}

non è una normale ma posso approssimarla ad una normale

S_m ~_a N (400; 2) media

P(S₁₀₀ > 210) → P(S₁₀₀ > 210 - 200)_√66,7

- P(z > 10_8,47) - P(z ≥ 1,22)

1 - Ⓘ (1,22) - 1 - 0,8888 - 0,1112

^{vuol dire che in media 11,12 volte su 100 la somma è ≥ 240}

TCL (per la media)

DE. siano x₁, x₂, ..., x_m n VC IID tali che

(x_i) = μ V(x_i)= σ²

posso

x = x₁ + x₂ + ... + x_m = S_m^m

allora

x ~_a N (μ, ^σ2/_m)

OSSERVAZIONI:

1o (x) = (S_m) = ¹/_m (S_m) = ^μ/_{m 0} = μ - μ

• es.
• {1, 2, 3} 2 ∈ ℂℝ
• (1, 1) (2, 1) (3, 1) = 2
• (1, 2) (2, 2) (3, 2) = 2.5
• (1, 3) (2, 3) (3, 3) = 3

_1,5 ³ 2

^{la media di tutte le medie di tutte le funzioni dell'universo che posso fare è la media dell'unica originale}

2^oV(X̅) = V(_Sm/^m) = 1/^m2 V(S_m) = 1/^m2 × 6² / _m

Esempio

Giocare alla roulette francese non truccata.T= 18/37 la vc che descrive l’evento A = “viene rosso” al lancio i-esimo, X_i ∼ Ber (¹⁸/₃₇ = 0,4865)

Y_i = 2X_i - 1

• OSSERVAZIONE

• Se X = 1 (viene rosso) → Y = 2 · 1 - 1 = 1€ (vinciamo 1€)
• X = 0 → 2· 0 - 1 = - 1 (perdiamo 1 €) su una singola giocata

E(X_i) = 0,4865V(X_i) = V(X_i - T)² = 0,2498

E(Y_i) = E(2X_i - 1) = 2 E(X_i) - 1 = 2 · 0,4865 - 1 = -0,027V(Y_i) = V(2X_i - 1) = 2² V(X_i) = 4 · 0,2498 = 0,9993

Se m = 100G₁₀₀ = Y₁ + Y₂ + ... + Y_m = D la somma dei guadagni/perdite

di tutte le giocatela probabilità di G₁₀₀ che contiene tanti valori si può descrivere benecon una normale (TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE)

G₁₀₀ ≈ N(^{100 · (-0,027)}/_√2, ^{100 · (0,9993)}/99,93)

A) Qual è la probabilità di PERDERE in 100 giocate?

P(G₁₀₀ < 0) > 1/2Naturalmente lo possiamo calcolare riuscendo a chiarire perché l’intera tot vincita 37 (tavola) 36 = 1casa favorevole = 18

P(G₁₀₀ < 0) = P(^{G₁₀₀ - E(G₁₀₀)}/_σ√G100) = ^{0 + 2,7}/_9,996 = 0,0605 → 60,65% delle volte si perde

P(100 <= 20) = 0,0418 — probabilità che persona più di 20

P(100 > 20) = 0,0158 — probabilità di vincere 20

combinazioni possibili al superenalotto → (90)₆

probabilità di vincere    →    1/(90)₆

diano x₁, x₂, ..., x_m    n VC di Bernoulli identicamente distribuite i.i.d.

E(x_i) = π   e   V(x_i) = π(1-π)  

esempio

M = 10

1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 = 610

= 0,6

fare la media di Bernoulli è farela frequenza relativa

TCL (per la proporzione o freq. relativa)

diano x₁, x₂, ..., x_m    n VC di Bernoulli(o dicotomiche) x_i ~ Bern(π)

pon

                         &hat;π_n = x₁ + x₂ + ... + x_m                                  m

allora

       &hat;π_n ≈ N(π, π(1-π) )                                           m

Esercizi tipo

• Descrivere un TCL
• Applicazione del TCL scritto precedentemente

Esercizio:

TCL per la somma

Si lancia un dado 100 volte, determinare la probabilità che la somma sia minore di 330

• _i: quale faccia assume il dado

P(_i=x) = ¹/₆,   x = 1, 2, …, 6

E(_i) = ∑_x∈di x P(_i=x) = 1·¹/₆ + 2·¹/₆ + 3·¹/₆ + 4·¹/₆ + 5·¹/₆ + 6·¹/₆

  = 3,5

V(_i) = ∑_x∈di x² P(_i=x) - E²(_i)

  = (1²·¹/₆ + 2²·¹/₆ + 3²·¹/₆ + 4²·¹/₆ + 5²·¹/₆ + 6²·¹/₆), 3,5²

    2,917

N = 100   S = _i, 2, …, 100

S_m ≈ N (100 · 3,5 , 100 · 2,917)

P(S_m < 330) = P &left( ^{S_m - ES_m} /_SD(Sm) < ^{330 - 350}/_√294,7 &right)

  = P(Z < -1,17)

  = 1 - P(Z < 1,17)

  = 1 - Φ(1,17) = 0,121

TCL per la media

Premio una urna che contiene palline 1 2 2 3 5, n = 25.

1. Calcolare il E su ogni estrazione, cioè:

E(x_i) = ∑_x∈dx x • P(x = x)

= 1 • 1/5 + 2 • 2/5 + 3 • 1/5 + 5 • 1/5 = 2,6

2. Calcolare il V su ogni estrazione

V(x_i) = ∑_x∈dx x² • P(x = x) - E²(x)

= 1² • 1/5 + 2² • 2/5 + 3² • 1/5 + 5² • 1/5 - 2,6² = 1,84

x̄ = x₁ + ... + x₂₅ / 25 ~ N (2,6 ; 1,84/25)

P(x̄ > 3) = P (x̄ - E(x̄) / σ(x̄) > 3 - 2,6 / √0,073)

= P(z > 1,1(z)) = 1 - Φ(1,1(z)) = 0,0708

Osservazione:

x₁, … , x_m x_i ~ Ber (π ; 1/2)

S_m = x₁ + x₂ + … + x_m ~ Bin (m ; ẵ)

Se m è piccolo, abbiamo la misura precisa di come si comportano le prove di Bernoulli:

P(S_m = s) = (m/s) π^s ẵ (1 - π/1)^(m-s)

90

Voglia la probabilità che su M=1000 lanci di una moneta

perfetta, obtia esattamente S=500 teste:

P(S=500)=₁₀₀₀C₅₀₀(¹⁄₂)⁵⁰⁰(¹⁄₂)⁵⁰⁰

se P(400 < S₁₀₀₀ < 600)=

Σ P(S₁₀₀₀-X)

S₁₀₀₀ ∼ N (1000 · ¹⁄₂; ^{1000 · 1⁄₂ · 1⁄₂}⁄₅₀₀)

P(400 < S₁₀₀₀ < 600)=P(^400-500⁄_√250 < Z < ^600-500⁄_√250)

TEORIA_

• Distribuzione χ²

Sia X₁,...,X_m m Vc IID, tutte quante normali

standard, cioè

X_i ∼ N (0,1)

Y è definita come la somma di quadrati dell' m

normali standard cioè:

Y=X₁² + X₂² + ... + X_m² ∼ χ²_m

dove m sono i gradi di libertà

S_Y∈ ℝ ^{[0; +∞)}, E(y)=m, V(x)=2m

• T di Student

Siano Z ∼ N (0,1) e y ∼ χ²_m con m gradi di

libertà, la vc

T= ^Z⁄_√^Y⁄m ∼ t_m (è una t student con m gradi di

libertà)