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Probabilità

Lancio del dado 1 lancio → 6 possibili esiti Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → insieme possibili esiti Evento certo = il fatto che esca 1 dei 6 numeri {1}; {2}; {3}; {4}; {5}; {6} = eventi elementari #Ω = 6 → cardinalità (possibili elementari)

P({2}) = 1/6 = P({3}) = ... tutti stessa probabilità

P({2, 4, 6}) = 1/2 = numero eventi favorevoli / n eventi possibili = = # {2, 4, 6} / #Ω = 3/6

Def

Ω evento certo

A algebra (una famiglia) di sottoinsiemi di Ω tale che se ... B₁, B₂ ∈ A, allora B₁ ∪ B₂ ∈ A ... B₁ ∩ B₂ ∈ A se B ∈ A, allora Bᶜ ∈ A ∅, Ω ∈ A

σ-algebra

σ-algebra insieme di sottoinsiemi di Ω tale che

Se B1, B2, ..., Bn ∈ A

Allora ∅ ∈ A; Bc ∈ A

Esempio

Tirare il dado 1 volta => Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Allora A = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {1, 3}, ..., {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, ..., {2, 6}, ..., {5, 6}, {1, 2, 3} {1, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}}

Def. probabilità

Detta Ω e una sua σ-algebra A

Definisce probabilità la funzione

P: A -> [0, 1]

Tale che

  • P(Ω) = 1
  • e se B1, B2 ∈ A con B1 ∩ B2 = ∅, allora P(B1 ∪ B2) = P(B1) + P(B2)
  • se Bi ∈ A disgiunti, allora P(∪i=1∞ Bi) = Σi=1∞ P(Bi)

Calcolo combinatorio

Probabilità uniformi

Combinazioni (semplici)

n oggetti distinti

Le k-upla differenziano per il tipo di elementi e non per l'ordine

Esempio:

Le disposizioni tengono conto dell'ordine

#Dxm = m!⁄(m-k)!

Cardinalità delle combinazioni

#Ckm = #Dkm / k!

#Ckm = m!⁄(m-k)! k! = (m)⁄(k) -> Coefficiente binomiale

Coefficiente binomiale

(m⁄k)

(a+b)2

(a+b)3

(a+b)4

(a+b)m = m⁄∑k=0 (m⁄k) ak bm-k

Proprietà

(m⁄k) = m!⁄(m-k)! k!

(m⁄m) = 1

(0⁄0)

(m⁄m-k) = (m⁄k)

Trucco urne con 1, 2, 3

palline 2, 1 (S1, S2, S3)

A1 (1, S1 x 1,2)

A2 (2, S1 x 1,2)

A3 (3, S1 x 1,2)

P(A1 ∪ A2 ∪ A3) = ?

Non sono insiemi

disgiunti

P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2)

>> P(A1 ∪ A2 ∪ A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - (P(A1 ∩ A2)

+ P(A1 ∩ A2 ∩ A3))

Altrono pero nel nostro caso che

P(A1 ∩ A2 ∩ A3) e nullo perche scegliamo 6 volte...

#A2 = C63 = 8 ÷ 1

#A3 = C33 = 8 ÷ 3

PA1 = #A1 = 8 ÷ 1!

#Ω 8 ÷ 3!

A1 ∩ A2 = {2, 1, 91, 82, 23}

#(A1 ∩ A2) = 3 - 6 = 9

P(A1 ∩ A2) = 8 ÷ 3

Esempio

3 macchine che posso produrre problemi.

  • M1 = 30%
  • M2 = 50%
  • M3 = 20%
  • D1 = 1%
  • D2 = 2%
  • D3 = 0,1%

Probabilità che un pezzo difettoso sia stato fatto da M2

P(D1|M1) = 0,01

P(D1|M2) = 0,02

P(D1|M3) = 0,001

P(M1) = 0,3

P(M2) = 0,5

P(M3) = 0,2

PD = P(D1|M1) · P(M1) + P(D1|M2) · P(M2) + P(D1|M3) · P(M3) = 0,003 + 0,01 + 0,0002 = 0,0132

P(M2|D) = P(D|M2) · P(M2) / P(D) = 76%

25

D1: c'è il primo difetto.

P2: c'è il secondo difetto.

P(D1) = 0,03

P(D2) = 0,07

a. Sommando: o difetto = ?

b. Almeno (sono uno difetto) = P(D2) + P(D1 ∩ D2)

c. D1 sapendo che c'è difetto => P(D1 | D) = ?

d. P(D2 | D) = ?

a. P(D1) = 0,1 = 10%

b. 0,87 %

a. P(D1 ∩ D2) = 0,0021

D. P(D1 ∪ D2) = P(D1) + P(D2) - P(D1 ∩ D2) = 0,0878

c. P0: P(0,1 | D) = P(D1)

c. P(D1 | D) = P(D1 ∩ D)/P(D)

P(D1 | D) = 0,03/0,0878 = 0,3069

b. P(i | D) = 1 - P(D1 ∩ D2 | D)

= 1 - P(D1 ∩ D2)/P(D) + P(D2 ∩ D1 ∩ D)/P(D)

= 1 - 0,0021/0,0878 = 0,9785

Le variabili aleatorie (v.a.) possono essere:

  • discrete
  • continue

X ∼ B(m, p)

P(X = k) = mCk pk (1-p)m-k   Θk = 1, …, m

P{{X = k}} = P(Ω) •

k=0Σm P(X = k) = 1   ver. teorema

k=0Σm (mCk) pk (1-p)m-k = (p + (1-p))m = 1m = 1

Se m = 1 si dicono v.a. di schema di Bernoulli

quindi: per Bernoulli P(X = 0) = 1 − p   P(X = 1) = p

Proprietà / Legge

Se Xi v.a. associato due assunse

X1, X2

Interessa P(X = xi)

→ Necessità di probabilità per la X → per ciò si deve avere che definisce la legge (o distribuzione) di X

  • P(X = xi) ≥ 0
  • Σ P(X = xi) = 1

Esercizio 1

produzione lampadine

P(D) = 0,03

P(ND) = 0,97

B(100, 0,03)

P11(100; 3)

P(x = 2) = 100C20,032(1-0,03)98

4 - di - classe?

P4(x = 2)

e-3 3C23 . . . = 0,27404

Esercizio 2

Probabilità allegato al fumo

2,000 persone

P(x ≥ 2)

P(x = 2) = P(x = 0) + P(x = 1)

P(x ≥ 2) = 2000C00,0010(1-0,001)2000 . + 2000C10,0011(1-0,001)1999 = 0,135 + ... + 0,2706 + 0,4056

P4(λx1 = 2) e-2+ λx1C2 = 0,406

P4(λx3 = 3) e-2 23 3! = 0,1804

Dettagli
Publisher
Lociano94
A.A. 2013-2014
108 pagine
1 download
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Lociano94 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Complementi di analisi matematica e statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Pavia o del prof Ferrario Benedetta.