Statistica Descrittiva - Variabili Qualitative e quantitative

Statistica Descrittiva

Proprietà della media aritmetica

E(X) =

1. La somma degli scarti tra ciascuna modalità x_i e la media aritmetica μ_x è nulla cioè:

(x_i - μ_x)n_i = 0

Dimostrazione

Applicando le proprietà dell'operatore "sommatoria"

Σ(x_i - μ_x)n_i = Σx_in_i - μ_xΣn_i = nμ_x - μ_xn = 0

2. La somma dei quadrati degli scarti tra ciascuna modalità x_i e una costante arbitraria a ∈ R, cioè:

φ(a)= Σ(x_i - a)²n_i

è minima per a = μ_x

Dimostrazione:

Innanzitutto la funzione φ(a) è, per definizione, una parabola con concavità rivolta verso l'alto; pertanto il suo unico punto di minimo si determina annullando la sua derivata prima. Per trovare la derivata prima:

d/da φ(a) = d/da Σ(x_i - a)²n_i = Σ2(x_i - a)(-1)n_i = -2 Σ(x_i - a)n_i

Quindi, ponendo la derivata prima uguale a 0 si ottiene:

Σ(x_i - a)n_i, che può essere scomposto: Σx_in_i - aΣn_i, ovvero:

Σ(x_in_i) - a Σn_i = 0 → Σ(x_in_i) = a Σn_i

a = μ_x

Osservazione:

Si vedrà che φ(a = μ_x) fornisce una misura della dispersione dei dati, ovvero della variabilità della variabile V.S. X.

3) LA MEDIA ARITMETICA SODDISFA LA CONDIZIONE DI CAUCHY (INTERNALITÀ):

x₁ ≤ μ_k ≤ x_k

DIMOSTRAZIONE:

PER DEFINIZIONE x₁ ≤ x_i ≤ x_k ∀i. MOLTIPLICANDO TUTTI I TERMINI PER LA COSTANTE POSITIVA f_i, LA DISUGUAGLIANZA RIMANE INVARIATA.

x₁f_i ≤ x_if_i ≤ x_kf_i. SOMMANDO RISPETTO ALL'INDICE i CIASCUN TERMINE:

x₁ ∑_i=1^k f_i ≤ ∑_i=1^k x_if_i ≤ x_k ∑_i=1^k f_i, SI OTTIENE

x₁ ≤ μ_k ≤ x_k □

4) LA MEDIA DELLA TRASFORMATA LINEARE DI UNA VARIABILE STATISTICA CORRISPONDE ALLA TRASFORMATA LINEARE DELLA SUA MEDIA. OVVERO DATA LA V.S. X E LA TRASFORMATA LINEARE y = a + bx, CON a,b ∈ R, SI HA

μ_y = a + bμ_x.

DIMOSTRAZIONE:

È SUFFICIENTE APPLICARE LA DEF. DI MEDIA ALLA NUOVA V.S. y:

μ_y = ∑_i=1^k (a + bx_i) f_i = ∑_i=1^k [a f_i + bx_i f_i] = a ∑_i=1^k f_i + b ∑_i=1^k x_i f_i = a + bμ_x □

OSSERVAZIONE:

QUESTA PROPRIETÀ APPENA DIMOSTRATA CONSENTE DI AFFERMARE CHE L'OPERATORE E[.], CHE APPLICATO A UNA V.S. NE RESTITUISCE LA MEDIA, È UN "OPERATORE LINEARE", NEL SENSO CHE SE APPLICATO A UNA TRASFORMATA LINEARE DI UNA V.S. FORNISCE LA TRASFORMATA LINEARE DELLA MEDIA ARITMETICA DELLA VARIABILE STATISTICA OGGETTO DELLA TRASFORMAZIONE LINEARE.

p.2

PROPRIETÀ DELLA COVARIANZA

Cov[X,Y] = ¹⁄_n Σⁿ_i=1 (x_i - μ_x)(y_i - μ_y) = ¹⁄_n Σⁿ_i=1 Σ^m_j=1 (x_i - μ_x)(y_i - μ_y)/(n-1)

1) LA COVARIANZA È SIMMETRICA NEGLI ARGOMENTI

Cov[X,Y] = Cov[Y,X]

2) LA COVARIANZA PUÒ ESSERE ESPRESSA COME DIFFERENZA TRA DUE VALORI MEDI

Cov[X,Y] = E[XY] - E[X]E[Y]

DIMOSTRAZIONE

DALLA DEFINIZIONE DI "COVARIANZA" ("MEDIA ARITMETICA DEL PRODOTTO DEGLI SCARTI FRA LE DUE COMPONENTI DELLA V.S. DOPPIA E LE LORO RESPECTIVE MEDIE"):

Cov[X,Y] = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[XY - XE[Y] - YE[X] + E[X]E[Y]] = E[XY] - E[X]E[Y] - E[Y]E[X] + E[X]E[Y] = E[XY] - E[X]E[Y] - E[Y]E[X] + E[X]E[Y] = E[XY] - E[X]E[Y] ▤

3) LA COVARIANZA AMMETTE SEMPRE LA RELAZIONE

|Cov[X,Y]| = √Var[X]Var[Y]

DIMOSTRAZIONE

¹⁄_n Σ _i=1...n (x_i-μ_i)(y_i-μ_i))²NI₁ - CHE È SEMPRE MAGGIORE DI ZERO PER OGNI t e r in QUANTO SOMMA DI QUANTITÀ POSITIVE E SVILUPPANDO IL QUADRATO CHE C'È ALL'INTERNO RISULTA:

φ(t) = t²(y_j - y_i))n₁ + 2t ¹⁄_n Σ _i=1...n Σ _j=1...m ( y_i - y_i))-n^TJ 2t ¹⁄_n(y_i - μ_j))(y_i - μ_x > < 0/p>

OUVERO:

φ(t) = 2t Var[Y] ± 2t Cov(X, Y) + VX(T) 0

CHE È UNA PARABOLA AI VALORI SEMPRE MAGGLIORI DI ZERO 0 (UGUALI), CON LA CONCAVITTÀ RIVOLTA VERSO L'ALTO E NON AMMETTE RADICI REALI DISTINTE. PERTANTO LA DISCRIMINANTE È MINORE/O UGALE A ZERO (Δ ≤ 0)

4 Cov(x,y)² = 4 V[x]v[y][e[x] ≤ 0 =→ Cov[x,y]² ≤ V[x]v[y][x], [ Cov(x,y)]≤√[V[Y]v[x]*

[ Cov(x,y)] ≤ √[v[y]*)][x]

DALL'ULTIMA DIMOSTRAZIONE RICAVANDO IL "COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE" (p) UTILE NEL CALICOLO DELLA "REGRESSIONE LINEARE" CON VALORI FRA ± 1

Cov(X,Y)]/ ^σ√_x,y, (V3[_σ^x*y](v)più]

rig(quasi[equ&ultiv[X][e [Y])]/mi[va = e 4

[PROPERTIES OF COVARIANCE] 0

Varianza di Regressione

V[Y-Ŷ] = 1/n Σ(y_i - ŷ_i)²

È lo scarto al quadrato fra valori osservati e valori teorici, ovvero i residui di regressione. Rappresenta quindi una misura di bontà di adattamento della retta di regressione ai valori osservati.

1. La varianza di Y (V[Y]) è composta da varianza dei residui di regressione + la varianza del modello di regressione.

   V[Y] = V[Y-Ŷ] + V[Ŷ -E[Y]]

   Dimostrazione

   Ricordando che Y = E[Y] + (Y-Ŷ) + (Ŷ-E[Y])

   V[Y] = E[(Y-Ŷ) + (Ŷ-E[Y])] = E[(Y-Ŷ) + E[(Ŷ-E[Y])] = E[(Y - E[Y])²] = V[Y]

   Nota: quindi V[Y-Ŷ] ≤ V[Y], quindi V[Y-Ŷ]/V[Y] sarà compreso fra 0, 1. Da cui:

   R² (coef. di determinazione) = 1 - V[Y-Ŷ] / V[Y] → misura normalizzata di bontà d'adattamento.

   Ottenibile per la proprietà a) anche così:

   R² = V[Ŷ - E[Y]] / V[Y]

   Nel caso in cui si adotti come modello la retta, esso coincide con il quadrato di correlazione lineare ρ ^*

2. La varianza dei residui della retta di regressione è proporzionale alla varianza di Y tramite il fattore (1 - ρ²)

   V[Y-Ŷ] = V[Y] (1 - ρ²)

   * R² = λ V[Ŷ] / V[Y] ma siccome per la proprietà z) V[Y-Ŷ] = V[Y] (1-ρ²)

   R² = 1 - V[Y] (1 - ρ²)² / V[Y] = 1 - (1 - ρ²) = ρ²

P. A