Statistica Descrittiva - Variabili Qualitative e quantitative

Statistica Descrittiva

• Proprietà della media aritmetica

E[x] = ¹/_n ∑_i=1ⁿ x_i = ∑_i=1^k x_I n_i/_n = ∑_i=1^k x_i f_I

1. La somma degli scarti tra ciascuna modalità x_i e la media aritmetica μ_X e nulla, cioè:

∑_i=1^k (x_i - μ_X) n_i = 0

Dimostrazione:

Applicando le proprietà dell'operatore "sommatore"

∑_i=1^k (x_i - μ_X) n_i = ∑_i=1^k x_i n_i - μ_X ∑_i=1^k n_i = n μ_X - μ_X n = 0

* Siccome μ_X = ¹/_n ∑_i=1^k n_I t.c. uffa fatto in auto. Esatto non è a n - n

2. La somma dei quadrati degli scarti tra ciascuna modalità x_i e una costante arbitraria a ∈ R, cioè:

φ(a) = ∑_i=1^k (x_i - a)² n_i

è minima per a = μ_X

Dimostrazione:

Innanzitutto la funzione φ(a). è per definizione, una parabola con concavità rivolta verso l'alto; pertanto il suo unico punto di minimo si determina annullando la sua derivata prima. Per trovare la derivata prima:

d/dα ( φ(a) ) = d/dα ∑_i=1^k(x_i - a)² n_i = ∑_i=1^k d/da (x_i - a)² n_i = ∑_i=1^k 2(x_i - a)(-1) n_i = -2 ∑_i=1^k (x_i - a) n_i

Quindi, ponendo la derivata prima uguale a 0 si ottiene:

∑_i=1^k (x_I - a) n_I, che può essere scritto (scomposto): ∑_i=1^k (^i=1k x_I n_I = an_I), ovvero:

∑_i=1^k (x_i n_i) - a ∑_i=1^k n_i = 0 → ∑_i=1^k (x_i n_i) = a ∑_i=1^k n_i → n μ_X = a n

Osservazione:

Si vedrà che φ(a = μ_X) fornisce una misura della dispersione dei dati, ovvero della variabilità della V.S. X.

p.1

Statistica Descrittiva

• Proprietà della media aritmetica _E(X) =¹/_n Σ _i=1ⁿ x_i =¹/_n Σ _i=1^k x_i n_i =¹/_n Σ _i=1^k x_i f_i

1. La somma degli scarti tra ciascuna modalità x_i e la media aritmetica μ_x è nulla, cioè:

   ^kΣ_i=1 (x_i - μ_x)n_i = 0

   Dimostrazione:

   Applicando le proprietà dell'operatore "sommatore"

   ^kΣ_i=1 (x_i - μ_x)n_i =^kΣ_i=1 x_i n_i - μ_x ^kΣ_i=1 n_i = nμ_x - μ_xn = 0 □

2. La somma dei quadrati degli scarti tra ciascuna modalità x_i e una costante arbitraria a ∈ R, cioè:

   φ(a)= ^kΣ_i=1 (x_i - a)²n_i

   è minima per a = μ_x

   Dimostrazione:

   Innanzitutto la funzione φ(a) è per definizione, una parabola con concavità rivolta verso l'alto; pertanto il suo unico punto di minimo si determina annullando la sua derivata prima. Per trovare la derivata prima:

   ^{d φ(a)}/_{d a} =^d/_{d a} ^kΣ_i=1 (x_i - a)²n_i =^kΣ_i=1 d/_{d a} (x_i - a)²n_i =^kΣ_i=1 2(x_i - a)(-1)n_i =-2 ^kΣ_i=1 (x_i - a)n_i

   Quindi, ponendo la derivata prima uguale a 0 si ottiene:

   ^kΣ_i=1 (x_i - a)n_i , che può essere scritto (scomposto):^kΣ_i=1 x_in_i - a^kΣ_i=1 n_i , ovvero^kΣ_i=1 (x_in_i) - a^kΣ_i=1 n_i = 0=> ^kΣ_i=1 (x_in_i)= aⁿΣ_i=1 n_i nμ_x = a n

Osservazione:

Si vedrà che φ(a - μ_x) fornisce una misura della dispersione dei dati, ovvero della variabilità della v.s. x.

3) La media aritmetica soddisfa la condizione di Cauchy (internalità):

x_i ≤ x̄_f x_i

Dimostrazione:

Per definizione x_i ≤ x̄ x_i