Bagnato - Statistica per le decisioni economiche

Statistica per le decisioni economiche

Modulo 1 Bagnato

Econometria classica

L’econometria classica può essere definita come l’analisi quantitativa dei fenomeni economici. Un’altra definizione la considera anche come quell’analisi che ne previene i trend. I principali strumenti sono la matematica e la statistica, tali strumenti sono nati per creare questo ponte tra la teoria economica e l’evidenza empirica, quindi tra quello che suppongo che sia la relazione e quello che osservo.

Il modello è la rappresentazione matematica, mentre la stima del modello assegna i numeri ai parametri che costituiscono il modello. La società di econometria è internazionale e cerca di mettere in relazione la matematica e la statistica con la teoria economica. Si intende studiare l’economia in maniera simile a come fanno le variabili quantitative nelle scienze naturali. Può anche considerarsi un cocktail, ovvero un insieme di economia, matematica, statistica ed evidenza empirica (come trattare le osservazioni). Da ciò possiamo fare le analisi.

La corretta formulazione della teoria economica, da cui parte l’econometria, ci permette di fare le analisi corrette e dipende dalla conoscenza riguardo ai quattro elementi sopracitati. Nell’economia classica si parte dalla teoria economica e poi si utilizzano gli altri tre elementi:

• La teoria economica fornisce le variabili per studiare il sistema e le associazioni tra le varie variabili.
• La matematica formula i modelli, partendo dalla teoria economica, che descrivono il sistema economico.
• La statistica permette, una volta formulato il modello, di assegnare i valori (stime) ai parametri. Permette di valutare se il modello è adeguato e si considera anche l’incertezza del modello.
• I dati empirici permettono di quantificare e validare il modello.

Gli scopi dell’econometria sono:

• L’analisi della struttura, quindi verificare le mie ipotesi economiche, ovvero capire come si muovono le variabili in un sistema economico.
• La previsione del sistema economico.
• La valutazione delle politiche che potrebbero esserci, come impattano sul sistema economico.

Le principali attività di un econometrico sono:

• La scelta del modello più opportuno.
• Capire quali sono quelle tecniche che mi permettono di stimare il modello, capire se il modello va bene.
• Individuare i dati e quindi la scelta del campione, che deve essere fatta in modo che venga rappresentata nel miglior modo la realtà.

Questo è lo schema dell’econometria classica: la teoria economica è il punto di partenza, si specifica poi il modello attraverso la matematica, si stima successivamente il modello attraverso l’utilizzo dei dati attraverso la statistica, quindi quantifico le relazioni tra le variabili. Dopo ciò posso validare il modello ed interviene l’inferenza parametrica, si cerca di capire se il modello funziona o no. Se funziona si potrà utilizzare.

A differenza dell’analisi classica, nei modelli di serie storiche l’evidenza empirica non è più utilizzata a valle per la stima del modello, ma diventa il punto di partenza. Ovvero, sono i dati che dettano la linea da seguire, diventano il building block, il mattone portante. Quindi da ciò possiamo definire i VAR (Vector Auto-Regressive) models, si tratta di modelli per le serie storiche. Una volta specificato il modello attraverso la statistica si fanno dei test, una volta ottenuto il modello si può formulare una teoria economica. Se i test dicono che il modello funziona si può utilizzare.

Come mostra l’immagine, i due modelli sono diversi, poiché i modelli per le serie storiche sono trainati dai dati. Per capire quale modello utilizzare, ci si domanda se si ha una sufficiente teoria economica. Se la risposta è affermativa, si può utilizzare l’econometria classica, se no si utilizzano i dati per formulare il modello.

Il modello nell’econometria classica è la rappresentazione formale dei fenomeni studiati. Ovviamente è difficile riprodurre in maniera esatta i modelli, per questo motivo si utilizza il termine rappresentazione. I modelli sono:

• Simultanei: contengono molte equazioni, quindi molte variabili, provocano causa ed effetto con altre variabili in maniera simultanea.
• Dinamici: contengono variabili che sono ritardate, gli effetti possono essere diversi rispetto a quando si osservano, poiché le situazioni cambiano.
• Quantitativi: utilizzano variabili quantitative che quindi possono essere misurate, permettendo di quantificare le relazioni tra le variabili e valutare se il modello è inerente alla realtà.
• Hanno una forma parametrica: le variabili hanno dei parametri che devono essere stimati.
• Precisione e parsimonia: il modello può essere tanto preciso o tanto parsimonioso, vi è un trade off tra i due fattori, ovvero più aumenta uno più diminuisce l’altro. La parsimonia ha a che fare con l’interpretabilità del modello, quindi più è caotico meno è interpretabile quindi meno parsimonioso. È quindi necessario trovare un equilibrio, in cui scelgo il modello che rappresenta la realtà, che quindi sia semplice e quindi parsimonioso, che allo stesso tempo non è preciso però e quindi potrei aggiungere delle variabili per renderlo più preciso ma meno parsimonioso. In entrambe le situazioni ottengo dei oversized models, cerco quindi un equilibrio, un modello corretto che sia una via di mezzo tra i due estremi.
• Vi è l’importanza della statistica: che mi permette di approssimare la realtà.
• Incerti: l’incertezza è formalizzata nei modelli tramite delle variabili casuali, può essere dovuta ad una mancanza di teoria e le variabili sono in grado di catturare queste mancanze. Potrebbero esserci se no dei problemi nella quantificazione, le variabili casuali sono quindi in grado di risolvere questi problemi.
• È fatto da equazioni simultanee e sono dinamici.
• Hanno una componente stocastica: racchiude e descrive tutta l’incertezza del modello.
• All’interno del modello abbiamo le equazioni: ogni equazione racchiude una relazione tra alcune variabili, e a seconda della loro natura possono descrivere:

• Relazioni di comportamento: tra i vari fenomeni e soggetti economici, per esempio i consumi di un determinato prodotto.
• Relazioni tecniche: riguardano la cronologia ed i vincoli di produzione.
• Relazioni istituzionali: riguardano i meccanismi che governano le leggi ed i consumi.
• Relazioni di contabilità.

Le variabili sono inserite nelle equazioni che fanno parte del modello, ne esistono due tipologie:

• Endogene: le variabili non note che il modello intende spiegare.
• Esogene: le variabili che non si vogliono spiegare e si utilizzano per spiegare.

A livello quantitativo nei modelli dinamici abbiamo:

• Variabili endogene attuali: sono quelle che intendo spiegare.
• Variabili predeterminate: sono quelle che utilizzo per spiegare, sono costituite da quelle esogene e quelle endogene ritardate (lagged), che io conosco.

Esiste un’ultima tipologia, quella di natura stocastica, definite casuali, includono tutta la distorsione, incertezza ed errori del modello. Due elementi importanti sono la causalità e l’interdipendenza, se è chiaro che quando uso le esogene io spiego le endogene, per questo c’è un’interdipendenza e a seconda di quali siano le cause, i modelli si dividono in:

• Ricorsivi: se esiste un ordine tra le equazioni, cosicché la generica equazione esprime la iesima (i-th) variabile endogena solo attraverso la variabile endogena precedente. Riesco quindi a dare un ordine preciso alle mie equazioni.
• Ricorsivi in blocchi: modello in cui la ricorsività può essere fatta per blocchi di equazioni e non per singole equazioni, quindi posso stabilire un ordine tra i vari blocchi.
• Interdipendenti: non ci sono relazioni e quindi non posso riordinare le equazioni.

Modello ricorsivo:

X, Y, Z: variabili. Nella X spiego l’esogena attraverso un’endogena ritardata, è un’endogena perché è spiegata nel modello quindi è predeterminata. Nella Y ho un’endogena che è spiegata da un’endogena, ovvero dalla X. Z è spiegata da un’endogena spiegata nell’equazione precedente. Quindi vi è un ordine e per questo si dice ricorsivo.

Modello interdipendente:

Non si riesce a dare un ordine. Le equazioni si definiscono strutturali e rappresentano insieme la forma strutturale del modello. Le endogene sono rappresentate dalle esogene o dalle endogene ritardate, con una componente catturata dalle variabili casuali. Ci sono varie forme, come quella ridotta e finale. Con il termine struttura definiamo il modello a cui vengono assegnati i parametri, mentre il modello è un insieme di strutture, ogni struttura è definita in base alla parametrizzazione che gli diamo. Per esempio, nel modello ricorsivo precedente, si notano dei parametri a, b, c, d, e che sono liberi, solo mettendo dei numeri, e quindi fissando dei parametri, ho delle strutture che rappresentano una determinata situazione, come per esempio il mercato in un determinato Paese.

Quando utilizziamo un modello, si suppone che una particolare configurazione dei parametri (=struttura) sia la realtà, che quindi sia la più adatta a rappresentare il fenomeno. Si suppone di avere M come l’insieme delle strutture, quindi il M è il modello, è una singola struttura che tra tutte le parametrizzazioni è la più adatta a rappresentare la realtà. Quando inizio un’analisi econometrica posso formulare un modello, ho delle osservazioni, ovvero delle ipotesi, dei campioni che mi permettono di stimare il modello. Le osservazioni vengono definite sample, ovvero campione. Ciò è solo una delle possibili ed infinite configurazioni che posso ottenere. Quindi definiamo sample space, o C, ovvero spazio campionario, come l’insieme di tutte queste possibili configurazioni del modello.

L’identificabilità e stima si può intuire graficamente così: L’identificabilità ha a che fare con il fatto che, idealmente, supponendo di conoscere tutte le possibili configurazioni, posso riconoscere la vera struttura più adatta alla realtà, se questo non accade, il modello non è identificabile, quindi ci sono più strutture che conducono allo stesso risultato. La stima invece permette di dare una determinata forma al modello. Bisogna cercare la struttura migliore che mi approssima meglio difficilmente è possibile trovare la vera struttura, ma si può stimare.

Se si considera S1 e si utilizza il campione per stimare, e quindi per dare dei numeri ai parametri a, aÙ.b, c, d, e (esempio precedente), posso ottenere una struttura che sia la stima quindi mi permette di passare dal campione all’assegnazione e stima dei parametri del modello. Se utilizzo a-.S2 ottengo una volta stimato il modello, quindi una volta aver assegnato i valori ai parametri, avviene la validazione, che consiste nel verificare che il modello sia corretto. Ci sono vari modi, per esempio, si può validare se il modello è:

• Specificato bene.
• Descrive bene le variabili.
• C’è coerenza tra la mia teoria e quello che ho ottenuto.
• Prevede bene.
• Prevede bene i cambiamenti dovuti a politiche economiche diverse.

Bisogna quindi fare dei test ovvero verificare l’inferenza parametrica per capire se il modello funziona bene. Dopo di ciò si può utilizzare il modello per descrivere la relazione tra le variabili, fare la previsione e valutare come cambiano le variabili con le politiche economiche.

Algebra lineare

Il vettore è una collezione di elementi messi uno sopra l’altro e viene definito vettore colonna o riga. Si può fare la trasposizione, ovvero trasformare il vettore colonna a riga, che si può sempre riconoscere con il pedice X o X’.

Le operazioni tra i vettori sono la somma, e si possono sommare solo se hanno la stessa dimensione, ovvero lo stesso numero di elementi. Il risultato è un altro vettore che sarà la somma dei due termini. Non si può fare la somma tra vettori riga e colonna ma devono avere la stessa dimensione.

Un’altra operazione è la moltiplicazione per uno scalare, posso moltiplicare il vettore per una costante.

Il prodotto tra due vettori è differente e non è così semplice, si può moltiplicare vettore riga per vettore colonna, devono però avere la stessa dimensione, si ottiene la somma dei vettori incrociati.

La matrice (A) invece, è una collezione di elementi messi in riga ed in colonna. Ogni elemento è identificato da due pedici, che indicano il numero della riga e della colonna. Il totale degli elementi sarà quindi r (riga) X c (colonna). La matrice può essere vista come un vettore riga, come ogni elemento è un vettore colonna e viceversa.

Per quanto riguarda la trasposizione della matrice, si tratta di cambiare i pedici degli elementi, quindi creo una matrice in cui inverto gli elementi.

Il prodotto tra matrici invece ha un vincolo, ovvero il fatto che il numero delle colonne della prima matrice (A) deve essere uguale al numero di colonne della seconda matrice (B), devono quindi essere conformabili.

Ricordiamo le matrici:

• Quadrate: se il numero di righe coincide con il numero di colonne.
• Diagonali: se la matrice è fatta solo di ZERI, tranne nella diagonale principale.
• Identità: fa parte di quelle diagonali e ha 3 identificativi:
  • È quadrata.
  • È diagonale.
  • Sulla diagonale principale ci sono solo elementi UNO, che è l’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione matriciale. L’elemento neutro è il numero tale per cui moltiplicando qualunque altro numero ottengo sempre lo stesso numero. Nella moltiplicazione tra matrici, l’elemento neutro è la matrice identità.

La determinante è un operatore che associa un numero ad una matrice. Una matrice è con determinante ZERO se e solo se le righe o colonne possono essere ottenute da una combinazione lineare dell’altra (righe o colonne). Ci permette di capire se una matrice può essere invertita o meno. Per matrice inversa intendiamo: si suppone di avere una matrice quadrata, se esiste una matrice tale per cui è vero che A per B sia uguale alla matrice identità, allora B si chiama inversa di A, quindi è la matrice che moltiplicata per A, restituisce l’elemento neutro nella moltiplicazione. Nel contesto scalare, l’inverso di 5 è 1/5 che restituisce la matrice identità. Se il determinante di A è 0, la matrice non esiste, mentre se il determinante è diverso da 0, quindi se le colonne di A sono indipendenti, allora la matrice A esiste e si può scrivere come inversa. Se si considera una matrice diagonale, l’inverso è una matrice in cui tutti gli elementi della diagonale vengono invertiti.

Per la forma quadratica, si suppone di avere una matrice A ed un vettore che ha dimensione n, tale vettore ha quindi forma quadratica perché la matrice è moltiplicata pre e post per un vettore riga X ed un vettore colonna X’. Il risultato è un numero, che se è positivo per qualsiasi vettore X, A è positiva definita. Se il risultato è positivo o uguale a zero, allora A si definisce semi positiva.

Elementi di probabilità

Gli elementi di probabilità sono essenziali ed indispensabili per spiegare le variabili casuali, che servono nei modelli e nell’inferenza parametrica. Consideriamo un esempio casuale, in cui appunto non si conosce l’esito e possiamo strutturarne la sua formulazione, si costruisce lo spazio probabilistico, che definiscono l’esperimento:

• Spazio campionario: sample space, è l’insieme degli elementi elementari, quindi da tutti i risultati elementari che possono uscire dall’esperimento.
• Sigma algebra F: è un sottoinsieme dello spazio, è un insieme formato da sottoinsiemi di eventi, per la cui noi vogliamo associare una probabilità. Deve sottostare a tre regole:
  • W deve appartenere al sigma algebra.
  • Se l’evento appartiene a sigma algebra anche il suo complementare appartiene a sigma algebra.
  • Se ho una serie di eventi che appartengono al sigma algebra, anche la loro unione appartiene a sigma algebra.
• Come conseguenza si ha che anche l’insieme vuoto di W appartiene a sigma algebra.
• Probabilità: è la misura della probabilità, è una funzione che prende valori da W ed in particolare da F, e trova valori tra 0 e 1. Definisce la probabilità che un evento accada o meno, è una funzione, ovvero un qualcosa che prende in input un qualcosa e restituisce qualcos’altro. Per quanto riguarda la probabilità, l’input sono gli oggetti di W o di sigma algebra, e restituisce un numero, in questo caso compreso tra 0 e 1. Ricordiamo che tutto ciò che non è W non può accadere, quindi tutto ciò che fa parte dell’insieme vuoto è pari a 0.

La proprietà più importante della probabilità è che se si considerano due insiemi disgiunti, ovvero che la loro intersezione è uguale all’insieme vuoto (a differenza dell’unione, ovvero che l’intersezione è vuota se non hanno elementi in comune).