Vacca - Statistica per le decisioni economiche

Esercitazioni Prof. Vacca

Introduzione 2

Procedure inferenziali 14

R2 e verosimiglianza 20

Applicazione del modello e bontà di adattamento 40

Pagina 1 28/04/2021

Introduzione

Il primo obiettivo quando si parla di regressione lineare è quello di studiare la relazione tra una

variabile esogena X e una variabile endogena Y.

Questa relazione è contaminata da un termine di errore che indicheremo con ε perché si presume

che ci sano cose che la relazione lineare non riesce a cogliere e quindi tutto ciò che la relazione

lineare non riesce a cogliere sta in questo termine di errore.

L’obiettivo secondo il procedimento dei minimi quadrati ordinari è trovare una retta che minimizza

l’errore complessivo. Nella fattispecie quello che si fa è minimizzare per α e per β una funzione di

perdita che dipende da ε cioè la somma per le n osservazioni dove i va da 1 fino a n dei residui al

quadrato. Siccome questo dipende direttamente dai coefficienti allora posso minimizzare questa

funzione rispetto ai parametri di interesse quindi rispetto ad α e β.

Si chiama minimi quadrati perché la funzione di perdita è quadratica, infatti, ho una potenza

al quadrato.

Questa funzione di perdita viene minimizzata attraverso un processo matematico di

α

minimizzazione quindi si calcolano le derivate prime rispetto ad e β. α

La stima di β è pari alla covarianza tra x e y diviso la varianza di x, mentre l’intercetta è pari alla

media di y meno β per la media di X.

Finora non abbiamo detto niente circa il fatto di avere un campione casuale, infatti, quanto detto fin

ora funziona anche a livello di popolazione

Una volta ottenute queste stime possiamo dividere il problema in due parti.

Abbiamo X ed Y, disegniamo dei punti e vediamo che la retta dei minimi quadrati passa in mezzo a

quei punti.

In corrispondenza dello stesso valore X osservato ho due quantità: la prima è Y cioè il valore

i

osservato, la seconda è il valore in corrispondenza della retta quindi Y stimato ed ho anche la

i

discrepanza tra i due punti che è e cioè il residuo dato dalla differenza da valore osservato e

i

valore stimato.

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Il dataset a cui facciamo riferimento è nei Il dataset

Il dataset a cui facciamo riferimento

Il dataset a cui facciamo riferiment

file Gretl ed è: Engel’s income and food nei file G

nei file Gretl ed è: Engel’s income a

nei file Gretl ed è: Engel’s income

expenditure data. food expe

food expenditure data.

food expenditure data.

Applichiamo quanto abbiamo detto nella Applichia

Applichiamo quanto abbiamo detto

Applichiamo quanto abbiamo detto

pratica e prendiamo il dataset. nella prat

nella pratica e prendiamo il dataset

nella pratica e prendiamo il datase

Qui mett

Qui mettiamo nella X income e nell

Qui mettiamo nella X income e nel

Ora mettiamo nella X income e nella Y foodexp.

foodexp.

foodexp.

foodexp. In questo

In questo grafico ci sono dei proble

In questo grafico ci sono dei proble

In questo grafico ci sono dei problemi che che risolv

che risolveremo più avanti perché

che risolveremo più avanti perché

risolveremo più avanti perché come come ved

come vediamo abbiamo una

come vediamo abbiamo una

vediamo abbiamo una concentrazione dei concentra

concentrazione dei punti all’inizio.

concentrazione dei punti all’inizio.

punti all’inizio.

Mettiamo nella variabile dipendente foodexp, nella variabile indipendente income più la costante

Qui mettiamo nella variabile dipendente foodexp, nella va

Qui mettiamo nella variabile dipendente foodexp, nella variabile indipendente incom

Qui mettiamo nella variabile dipendente foodexp, nella variabile indipendente incom

ed ottengo queste stime: più la costante ed ottengo queste stime:

più la costante ed ottengo queste stime:

più la costante ed ottengo queste stime: α

Partiamo dall’intercetta cioè da che è il valore di Y in co

α

Partiamo dall’intercetta cioè da che è il valore di Y in corrispondenza di X uguale a

α

Partiamo dall’intercetta cioè da che è il valore di Y in corrispondenza di X uguale

quindi se torniamo al nostro dataset vuol dire che per un

α

Partiamo dall’intercetta cioè da che è il valore di Y in corrispondenza di X uguale a 0 quindi se

quindi se torniamo al nostro dataset vuol dire che per un income pari a 0 la spesa p

quindi se torniamo al nostro dataset vuol dire che per un income pari a 0 la spesa

cibo è pari a 147.

torniamo al nostro dataset vuol dire che per un income pari a 0 la spesa per cibo è pari a 147.

cibo è pari a 147.

cibo è pari a 147. Questa cosa può avere senso oppure no nella realtà dipen

Questa cosa può avere senso oppure no nella realtà dipende da che cosa sto considerando. Per

Questa cosa può avere senso oppure no nella realtà dipende da che cosa sto

Questa cosa può avere senso oppure no nella realtà dipende da che cosa sto

considerando. Per esempio se analizziamo il salario con a

esempio se analizziamo il salario con anni di esperienza lavorativa e l’età dell’individuo vediamo

considerando. Per esempio se analizziamo il salario con anni di esperienza lavorativ

considerando. Per esempio se analizziamo il salario con anni di esperienza lavorativ

l’età dell’individuo vediamo che porre l’età dell’individuo n

che porre l’età dell’individuo non ha senso.

l’età dell’individuo vediamo che porre l’età dell’individuo non ha senso.

l’età dell’individuo vediamo che porre l’età dell’individuo non ha senso.

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Ci sono situazioni in cui porre uguale a 0 la variabile non ha senso e quindi in questi casi si crea

Ci sono situazioni in cui porre uguale a 0 la variabile non ha senso e quindi in questi

una nuova variabile che è pari alla variabile meno la sua media e si rifà il modello.

casi si crea una nuova variabile che è pari alla variabile meno la sua media e si rifà il

Adesso l’intercetta di β è sempre il valore di Y in corrispondenza di X =0 e X *=0 dove X *

0 1 2 2

modello.

significa X pari alla sua media.

Adesso l’intercetta di β è sempre il valore di Y in corrispondenza di X =0 e X *=0

2 0 1 2

Questa è una prima accortezza più pratica quando si analizzano i dati che di solito quando si fa

dove X * significa X pari alla sua media.

2 2

la teoria viene un po' tralasciata perché la si da per scontato.

Questa è una prima accortezza più pratica quando si analizzano i dati che di solito

quando si fa la teoria viene un po' tralasciata perché la si da per scontato.

Quando si passa al coefficiente angolare della retta quindi alla pendenza questa è pari

a 0.485 quindi passo a β. Come si ragiona quando si commenta il coefficiente

angolare?

Quando si passa al coefficiente angolare della retta quindi alla pendenza questa è pari a 0.485

Suppongo di passare da X a X+1 in termini di equazione. La differenza quindi il passo

quindi passo a β. Come si ragiona quando si commenta il coefficiente angolare?

in avanti è stato di un’unità. Il passo avanti di Y è dato dalla differenza e quindi

Suppongo di passare da X a X+1 in termini di equazione. La differenza quindi il passo in avanti è

rimane β il che significa che aumentando di un’unità la X succede che la Y aumenta di

stato di un’unità. Il passo avanti di Y è dato dalla differenza e quindi rimane β il che significa che

β. In altri termini β è interpretabile come l’incremento di Y a fronte di un incremento

unitario di X quindi la mia X aumenta di 1 allora la mia Y aumenta di β.

aumentando di un’unità la X succede che la Y aumenta di β. In altri termini β è interpretabile come

Un altro modo per chiamare β è il cosiddetto effetto marginale cioè quanto varia la Y

l’incremento di Y a fronte di un incremento unitario di X quindi la mia X aumenta di 1 allora la mia Y

se faccio variare la X? È la derivata di X rispetto a Y dove derivata vuol dire

aumenta di β. incremento di Y quando vado a toccare la X.

Un altro modo per chiamare β è il cosiddetto effetto marginale cioè quanto varia la Y se faccio

Nel caso del modello lineare rimane β che è proprio l’effetto marginale. Ci sono

variare la X? È la derivata di X rispetto a Y dove derivata vuol dire incremento di Y quando vado a

situazioni in cui questa cosa non vale più.

toccare la X.

Nel caso del modello lineare rimane β che è proprio l’effetto marginale. Ci sono situazioni in cui

questa cosa non vale più.

Passando al caso pratico che abbiamo visto prima se aumento income di 1 unità metà

di quello che viene guadagnato in più cioè 0.485 viene speso in alimenti.

Passando al caso pratico che abbiamo visto prima se aumento income di 1 unità metà di quello

che viene guadagnato in più cioè 0.485 viene speso in alimenti.

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Il modello espresso in questo modo è problematico,

infatti, tutte le misurazioni sono sul semiasse positivo.

Ma perché è un problema?

Questo è un problema perché quando nella fase

successiva si va ad applicate le tecniche inferenziali

Il modello espresso in questo modo

una delle ipotesi fondanti è che la variabile Y sia una

abbiamo già anticipato che è

distribuzione normale, la quale ha come dominio tutta

problematico, infatti, tutte le

l’asse reale. Quindi avendo come dominio tutta l’asse

misurazioni sono sul semiasse positivo.

Ma perché è un problema?

reale vediamo che questo caso qua non è coerente Il modello e

Questo è un problema perché quando nella fase successiva si va ad applicate le

con questa ipotesi della distribuzione normale. abbiamo già

tecniche inferenziali una delle ipotesi fondanti è che la variabile Y sia una distribuzione

Vogliamo è che la Y sia lungo tutta l’asse reale e non problematico

normale, la quale ha come dominio tutta l’asse reale. Quindi avendo come dominio

tutta l’asse reale vediamo che questo caso qua non è coerente con questa ipotesi della misurazioni

solo lungo il semiasse positivo. Come fare?

distribuzione normale. Ma perché è

Esistono delle trasformazioni opportune.

Quindi quello che vogliamo è che la Y sia lungo tutta l’asse reale e non solo lungo il

Questo è un problema perché quando nella fase successiva

Possiamo notare come ci sia una forte concentrazione nella parte iniziale e poi abbiamo

semiasse positivo. Come fare? tecniche inferenziali una delle ipotesi fondanti è che la varia

Esistono delle trasformazioni opportune per fare queste cose.

dispersione nella parte finale. Siccome si parla di reddito e di spesa abbiamo sempre un fattore di

normale, la quale ha come dominio tutta l’asse reale. Quind

Possiamo notare come ci sia una forte concentrazione nella parte inziale e poi

simmetria quindi molte delle distribuzioni economiche anche come i salari sono molto concentrati

tutta l’asse reale vediamo che questo caso qua non è coere

abbiamo dispersione nella parte finale. Siccome si parla di reddito e di spesa abbiamo

distribuzione normale.

nella parte iniziale del grafico.

sempre un fattore di simmetria quindi molte delle distribuzioni economiche anche

Quindi quello che vogliamo è che la Y sia lungo tutta l’asse

come i salari sono molto concentrati nella parte iniziale del grafico.

semiasse positivo. Come fare?

Se facciamo ad esempio l’istogramma

Esistono delle trasformazioni opportune per fare queste cos

abbiamo una forte asimmetria dei dati perché

Se facciamo ad esempio l’istogramma abbiamo una forte

Possiamo notare come ci sia una forte concentrazione nella

abbiamo una grossa coda sulla destra. Per

asimmetria dei dati perché abbiamo una grossa coda sulla

questo motivo si deve attuare una

abbiamo dispersione nella parte finale. Siccome si parla di

trasformazione che sposti il baricentro di

sempre un fattore di simmetria quindi molte delle distribuz

destra. Per questo motivo si deve attuare una

questa variabile in modo tale che la

come i salari sono molto concentrati nella parte iniziale del

trasformazione che sposti il baricentro di questa variabile

distribuzione normale funzioni meglio. Se facciamo ad es

in modo tale che la distribuzione normale funzioni meglio.

Per fare questo quello che si fa è una abbiamo una forte

trasformazione logaritmica o sulla X, o sulla Y

Per fare questo quello che si fa è una trasformazione

abbiamo una gros

oppure su entrambe.

logaritmica o sulla X, o sulla Y oppure su entrambe. questo motivo si d

trasformazione ch

questa variabile in

distribuzione norm

Per fare questo qu

MODELLI TRASFORMATI

MODELLI TRASFORMATI trasformazione log

Adesso analizzeremo i modelli trasformati. Qui in questi modelli vogliamo che i nostri

Adesso analizzeremo i modelli trasformati. In questi modelli vogliamo che i nostri dati siano più

oppure su entram

dati siano più vicini alla condizione di normalità, condizione che ci serve per fare

vicini alla condizione di normalità, condizione che ci serve per fare inferenza statistica e per

inferenza statistica e per risolvere questo problema trasformo in logaritmo. Si parla di

risolvere questo problema trasformo in logaritmo. Si parla di modelli trasformati. Per fare questo

modelli trasformati. Per fare questo quello che si fa è una trasformazione logaritmica o

sulla X, o sulla Y oppure su entrambe.

quello che si fa è una trasformazione logaritmica o sulla X, o sulla Y oppure su entrambe.

PRIMO MODELLO TRASFORMATO: TRASFORMAZIONE DELLA Y IN LOGARITMO

MODELLI TRASFORMATI

Adesso analizzeremo i modelli trasformati. Qui in questi mo

PRIMO MODELLO TRASFORMATO Cosa succede se calcolo l’effetto marginale

dati siano più vicini alla condizione di normalità, condizione

in questa equazione?

inferenza statistica e per risolvere questo problema trasform

Devo fare la derivata di Y su X quindi quello

modelli trasformati. Per fare questo quello che si fa è una t

che faccio adesso è tornare all’equazione

sulla X, o sulla Y oppure su entrambe.

originaria e fare l’esponenziale. Quindi se

facciamo derivata di X rispetto a Y ottengo

l’esponenziale stesso che moltiplica β.

L’effetto marginale non è più β, ma è

qualcos’altro. Si isola β e vediamo che la X

ha incremento unitario, ma la Y ha un

incremento che non è unitario, ma è relativo.

Il parametro β non lo possiamo più

commentare come prima, ma va adattato.

β è l’incremento percentuale di Y a fronte di

Il primo dei modelli trasformati che vediamo è quello in cui trasformo in logaritmo la

un incremento unitario di X

Y. Cosa succede se calcolo l’effetto marginale in questa equazione?

Devo fare la derivata di Y su X quindi quello che faccio adesso è tornare all’equazione

originaria e fare l’esponenziale. Quindi se facciamo derivata di X rispetto a Y ottengo

l’esponenziale stesso che moltiplica β.

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L’effetto marginale non è più β, ma è qualcos’altro. Si isola β e vediamo che la X ha

incremento unitario, ma la Y ha un incremento che non è unitario, ma è relativo.

Qui il parametro β non lo possiamo più commentare come prima, ma va adattato.

β è l’incremento percentuale di Y a fronte di un incremento unitario di X

incremento unitario, ma la Y ha un incremento che non è unitario, ma è relativo.

Qui il parametro β non lo possiamo più commentare come prima, ma va adattato.

β è l’incremento percentuale di Y a fronte di un incremento unitario di X

Qui abbiamo fatto un nuovo modello. Se andiamo al caso pratico, creo una nuova

Abbiamo fatto un nuovo modello. Se andiamo al caso pratico, creo una nuova variabile e stimo un

variabile e stimo un modello in cui la variabile dipendente è log di foodexp e la

modello in cui la variabile dipendente è log di foodexp e la variabile indipendente è income.

variabile indipendente è income.

Partiamo dalla pendenza. Se aumento di una unità la disponibilità economica, il mio income, la

Partiamo dalla pendenza. Se aumento di una unità la disponibilità economica, il mio

spesa per cibo aumento dello 0.06615% quindi qui ho un incremento percentuale.

income, la spesa per cibo aumento dello 0.06615% quindi qui ho un incremento

Anche la costante va rimodulata. Se pongo a 0 la X allora si ottiene logY uguale ad α

percentuale.

che è la costante che ho stimato. Ma attenzione che adesso la costante non è più quel

valore di Y in corrispondenza di X uguale a 0, ma è quel valore di logY in

corrispondenza di X uguale a 0. Quindi se devo tornare indietro nel ragionamento

devo fare l’esponenziale quindi devo fare exp5.70349 ed ottengo 300

Anche la costante va rimodulata. Se pongo a 0 la X allora si ottiene logY uguale ad α

Anche la costante va rimodulata. Se pongo a 0 la X allora si ottiene logY uguale ad α che è la

che è la costante che ho stimato. Ma attenzione che adesso la costante non è più quel

valore di Y in corrispondenza di X uguale a 0, ma è quel valore di logY in

costante che ho stimato. Ma attenzione che adesso la costante non è