Statistica matematica - Appunti

Figura 3.1: Le zone ombreggiate rappresentano i risultati delle operazioni insiemistiche indicate.

Le famiglie siano chiuse sotto le varie operazioni insiemistiche (logiche): ad esempio, se A e B sono due sottinsiemi della nostra famiglia degli eventi, anche la loro unione o intersezione deve appartenere alla famiglia degli eventi.

Definizione 3.3. Diremo che una famiglia di parti di Ω costituisce un' algebra quando essa è chiusa sotto tutte le operazioni insiemistiche (∩, ∪, -) e ogni suo elemento A, A ∪ B, A ∩ B e A - B è un elemento di F.

In particolare, dato un Ω arbitrario, e A ⊆ Ω, la seguente famiglia di parti di Ω {∅, F, A, A', Ω} è un' algebra detta algebra generata da A.

Definizione 3.4. Diremo che una famiglia di parti di Ω è una decomposizione di Ω se i suoi elementi D k sono parti di Ω disgiunte e tali che D = Ω.

Una decomposizione non è un' algebra: essa, ad esempio, non contiene le operazioni insiemistiche.

unioni dei∈suoi elementi. In particolare, se A Ω, la famigliaD {A,= A}è una semplice decomposizione di Ω. Le decomposizioni giocheranno un ruolorilevante nel capitolo sul condizionamento.

42 3.3 Probabilità3.3 ProbabilitàLa probabilità P è una regola che consente di attribuire un peso probabilistico P(A)∈ F.(un numero fra 0 e 1) ad ogni evento A Il modo in cui tale regola viene assegnatavaria secondo la natura del problema considerato. In particolare, se Ω è un insiemefinito di cardinalità # Ω = N (numero dei casi possibili ) e se i suoi elementi ω kpossono essere considerati equiprobabili, si può far ricorso alla definizione classica} = 1/N ,(vedi Sezione 3.1): si assegna ad ogni evento elementare la probabilità P{ω k∈ Fe ad ogni evento A la probabilità N AP(A) = (3.1)N= # A è la cardinalità di A, ossia il numero di elementi ω appartenentidove N A kad A (numero dei casi favorevoli ).

Esempio 3.4. (Problema delle

(coincidenze) Supponiamo di estrarre con rimessa da una scatola contenente M palline numerate una successione di n palline e di registrare i numeri estratti tenendo conto dell'ordine di estrazione. Il nostro spazio dei campioni in eventi elementari ω = (a , . . . , a ) costituiti dalleΩ sarà allora formato dagli N = M 1 nn–ple di numeri estratti (con possibili ripetizioni ). Supporremo che tali ω siano tutti equiprobabili. Consideriamo ora l'evento:{ω sono tutti diversi}A = : i valori delle ak= “nelle n estrazioni non ci sono ripetizioni” e calcoliamone la probabilità secondo la definizione classica. Un momento di riflessione ci convincerà del fatto che M !− −= M (M 1) . . . (M n + 1) = N A −(M n)! per cui la probabilità richiesta è − − −M (M 1) . . . (M n + 1) 1 2 n 1− − −P(A) = = 1 1 ... 1 .nM M M MQuesto risultato permette di discutere il cosiddetto problema dei compleanni:

dateche almeno due di esse celebrino il compleanno nellon persone quale è la probabilità pnstesso giorno? Il modello discusso in questo esempio ci permette di dare una rispostaponendo M = 365; in tal caso, essendo P(A) la probabilità che tutti i compleanni cadanoin giorni differenti, si ha −2 n 11 − −− − −p 1 ... 1= 1 P(A) = 1 1n 365 365 365In particolare si ottengono i seguenti sorprendenti risultati:n 4 16 22 23 40 64 ...p 0.016 0.284 0.476 0.507 0.891 0.997 . . .n 43N. Cufaro Petroni: StatisticaÈ notevole infatti che già con n = 23 la probabilità di almeno due compleanni coincidenti≥supera 1/2, e che con solo 64 persone tale probabilità sfiora la certezza. Inoltre se n 366avremo p = 1 e P(A) = 0 dato che nel prodotto comparirà un fattore nullo: infattincon un numero di persone superiore al numero di date disponibili (365) le coincidenzediventano inevitabili. Osserviamo comunque che questi risultati sono meno sorprendentise

si riflette al fatto che essi sarebbero ben diversi se la domanda posta fosse la seguente: supponendo che io sia una delle n persone considerate nel problema precedente, quale è la probabilità q che almeno una celebri il suo compleanno nello stesso giorno in cui l'oncelebro io? Non entreremo nel dettaglio della soluzione di questo secondo problema, e ci limiteremo a riferire che nel secondo caso le probabilità delle coincidenze sono decisamente più piccole. Inoltre, per sottolinearne la differenza fra i due casi, noteremo che nel secondo q è sempre diversa da 1 (anche per n 366) in quanto, quale che sia il numero delle persone, può sempre capitare che nessuno celebri il suo compleanno nello stesso giorno in cui lo celebro io. La formula (3.1) può anche essere generalizzata al caso in cui le ω non sono equiprobabili, ma hanno ognuna una probabilità P{ωk} = p : la probabilità di un evento di tutti i risultati ω contenuti in A, cioè A sarà allora

la somma delle p k kP(A) = p . (3.2)kω ∈Ak

Le formule (3.1) e (3.2), nonostante la loro semplicità, consentono di trattare anche problemi di una certa sofisticazione, ma non possono essere adottate in situazioni più generali. I modelli finiti di probabilità si rivelano infatti ben presto insufficienti perché gli spazi dei campioni sono spesso insiemi infiniti e addirittura non numerabili. In questi casi la P(A) non può essere costruita secondo la definizione classica, ma deve essere data per altra via. Noi qui ricorderemo solo le proprietà generali che una probabilità deve sempre avere, riservandoci di discutere nei prossimi capitoli il modo in cui essa viene effettivamente calcolata nei casi di nostro interesse.

Definizione 3.5. Data un’algebra di eventi di Ω, chiameremo ogni F → additiva, applicazione P : [0, 1] che sia cioè tale che, comunque scelti A e B F, eventi disgiunti di risulta∪ ∩ ∅P(A B) = P(A) + P(B) , se A B =

(3.3) Elencheremo infine, senza dimostrazione, le proprietà più note delle probabilità:

1. P(∅) = 0 , P(Ω) = 1 ; ∪ − ∩ ∀ ∈ F
2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) , A, B ⊆ ∈ F
3. P(B) ≤ P(A) se B ⊆ A , con A, B ∈ F, spazio di probabilità

Definizione 3.6. Chiameremo una terna (Ω, P) in cui FΩ è un insieme detto spazio dei campioni, è un' algebra di eventi di Ω, e P è una F.probabilità su 44Capitolo 4Condizionamento e indipendenza

4.1 Probabilità condizionata

Il condizionamento risponde all'esigenza di fondere una certa quantità di nuova informazione con l'informazione già contenuta in un dato spazio di probabilità (Ω, P). L'acquisizione di nuova informazione, infatti, modifica le nostre conoscenze e quindi ci permette di valutare la probabilità degli eventi in una maniera diversa da quella suggerita dalle nostre informazioni iniziali.

Esempio 4.1. Supponiamo di considerare una scatola contenente M

palline delle quali−m sono bianche ed M m nere ed eseguiamo due estrazioni successive. Se le palline sono estratte tutte con la medesima probabilità, e se la prima estrazione è effettuata con rimessa, è facile convincersi del fatto che l’evento B = “alla seconda estrazione viene estratta una pallina bianca” si verifica con una probabilità . Diversa sarebbe invece la nostra valutazione se la prima estrazione venisse effettuata senza rimessa: la probabilità di estrarre una pallina bianca sapendo che in precedenza ne è stata estratta un’altra bianca m-1 sarebbe ; se invece in precedenza fosse stata estratta una pallina nera si avrebbe . M-1 M-1 F, ∈ F

Definizione 4.1. Dato uno spazio di probabilità (Ω, P) e due eventi A, B probabilità condizionata con P(A) = 0, chiameremo di B rispetto ad A (cioè probabilità che si verifichi B sapendo che si è verificato A) la quantità P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)

La quantità P(A ∩ B) prende invece il nome di probabilità congiunta dei due eventi A e B (cioè probabilità che si verifichino contemporaneamente A e B).

Si controlla facilmente che l'applicazione P(A): [0, 1] così definita non è altro che una nuova probabilità. Va inoltre ricordato che il simbolo P() non è simmetrico nei suoi due argomenti: in generale P(B|A) = P(A|B).

Teorema 4.1. (Formula della Probabilità Totale): Dati un evento A e una decomposizione D1, D2, ..., Dn con P(Di) = 0, i = 1, ..., n, risulta sempre che P(A) = Σ P(A|Di) P(Di).

Dimostrazione: Basterà osservare che gli eventi A ∩ Di sono tutti disgiunti, e che quindi per l'additività di P e per la definizione di probabilità condizionata, si ha P(A) = Σ P(A ∩ Di) = Σ P(A|Di) P(Di).

Osserviamo che in particolare, se la decomposizione è {B, B}, la formula diventa P(A) = P(A|B) P(B) + P(A|B) P(B).

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ ¬B)

A = la prima pallina estratta è bianca,
B = la seconda pallina estratta è bianca;

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) = m / M,
P(B | ¬A) = P(¬A ∩ B) / P(¬A) = 1 / M,

P(B) = P(A) * P(B | A) + P(¬A) * P(B | ¬A) = (m / M) * (M / (M + 1)) + (1 / M) * (1 / (M + 1)) = (m + 1) / (M + 1).

particolareessa non è influenzata dal risultato della prima estrazione quando questo è sconosciuto:

A) sono diversi da P(A). Infatti P(B) = P(A), mentre P(B|A) e P(B|A') sono diversi.

4.2 Indipendenza

Teorema 4.2. (Formula di Bayes): Dati due eventi A, B con P(A) = 0, P(B) =