Esercizi statistica

1A.

Trova la probabilità che almeno due fra 11 persone abbiano la stessa data di compleanno.R: 0.14

1B.

In uno scaffale ci sono 15 libri, 4 di matematica e 11 di fisica; trova la probabilità che i 4 libri di matematica si trovino insieme.R: 0.0088

1C.

Un carattere è una lettera o una cifra. Una password è formata da 11 caratteri col vincolo che almeno un carattere sia una cifra. a) Quante password possono esserci? b) Se vengono generati a caso 11 caratteri, e ogni carattere ha la stessa probabilità di essere una delle 26 lettere o una delle 10 cifre, trova la probabilità che sia generata una password valida.

• a) 1.28 ⋅ 10¹⁷
• b) 0.97

1D.

Un compilatore assegna ad ognuna delle variabili che intervengono in un programma una cella di memoria a caso, con indipendenza da una variabile all'altra. In caso di conflitto (cioè se due variabili sono assegnate alla stessa cella), l'operazione di assegnazione deve essere ripetuta. Se vi sono 80 celle di memoria e 7 variabili, qual è la probabilità che si verifichi almeno un conflitto?R: 0.24

1E.

a) Un programma deve usare 8 processori fra A₁, ..., A₁₀. Trova la probabilità che venga usato il processore A₁.b) Il programma deve usare 8 processori fra A₁, ..., A₃₀. Trova la probabilità che vengano usati esattamente due processori tra i processori A₁, A₂, A₃, A₄.

• a) 0.8
• b) 0.23

(2.1) Un sistema antincendio ha due congegni di attivazione. Il primo ha affidabilità 0,8, cioè quando c'è il fuoco si attiva con probabilità 0,8. Il secondo, che lavora indipendentemente, ha un'affidabilità 0,7. Se almeno uno dei congegni si attiva, il sistema funziona. Se si sviluppa il fuoco, trova la probabilità: a) che il sistema funzioni; b) che il sistema non funzioni; c) che ambedue i congegni si attivino; d) che solo il primo congegno si attivi. a) 0.94 b) 0.06 c) 0.56 d) 0.24

(2.2) Un lotto di 20 componenti ne contiene 5 che sono difettose. Vengono estratte senza rimessa due componenti. Sia D₁ l'evento per cui la prima è difettosa. Sia D₂ l'evento per cui la seconda è difettosa. Trovare: a) P(D₂|D₁), b) P(D₂), c) P(D₁|D₂), d) P(D₁ ∩ D₂), e) P(D₁ ∪ D₂). a) 4/19 b) 1/19 c) 15/76 d) 1/76 e) 19/76; f) 0.21

(2.3) Uno studente studia con probabilità 1/3. Gli viene presentato un quiz con 6 risposte possibili. Se ha studiato dà certamente la risposta esatta; se non ha studiato sceglie a caso una delle 6 risposte. Supponiamo che abbia dato risposta esatta: con che probabilità ha studiato davvero? R.J. 0.75

3A)

X = numero di difetti di un certo prodotto = 0, 1, 2, 3 con rispettive probabilità:

P(X = 0) = 0,38; P(X = 1) = 0,29; P(X = 2) = 0,20; P(X = 3) = 0,13

1. Trova la varianza di X; b) trova i valori della standardizzata di X.

_X~(0, 0,38 1, 0,29 2, 0,20 0,12)

E(X) = μ²

μ = 0,38 * 0 + 0,29 * 1 + 0,20 * 2 + 0,13 * 3 = 1,08

σ² = 0 * 0,38 + 1² * 0,29 + 2² * 0,20 + 3² * 0,13 = 2,83

σ² = 0,29 + 0,80 - 1,16 = 1,09

σ² = 0,23 + 0,08 + 0,14 + 0,1666 = 1,09

1,09/1,09 = 1,09

=

σ = 1,04

3B)

Una ditta chimica vende un certo solvente in fusti da 10 Kg. Il numero di fusti acquistati da un cliente a caso è una v.a. discreta con la seguente funzione di ripartizione:

per x = 1, 2, 3, 4, 5, F(x) = 4/10, 6/10, 8/10, 9/10, 1.

Inoltre chiamiamo Y il numero di Kg acquistati. Trova: a) il numero medio di fusti acquistati; b) la varianza del numero di Kg acquistati.

a) μₓ = 2,3; b) σy² = 1,84

Y = 10 * X 10⁰²

Ver(Y) = Ver(10 * X) = 10² * Ver(X) = ¹

4.A

Siano X, Y v.a. discrete con funzione di probabilità

• f(1,1) = 3/12
• f(1,2) = 1/12
• f(1,3) = 0
• f(2,1) = 3/12
• f(2,2) = 0
• f(2,3) = 2/12
• f(3,1) = 1/12
• f(3,2) = 1/12
• f(3,3) = 1/12

Trova a) le medie di X, Y; b) la covarianza di X, Y; c) la varianza di

a) _E(X) = ²³/_{12 E}(Y) = ⁵/₃

b) _Cov(X, Y) = ²/₉

c) ²⁹⁵/₃₆

5.A

Viene lanciata 100 volte una coppia di dadi equi contando quante volte esce "7". Trova a) la probabilità che esca più di 20 volte; b) la probabilità che esca da 14 a 20 volte (estremi compresi).

Viene lanciata 100 volte una coppia di dadi equi

P(X > 20) = ?

P(14 ≤ X ≤ 20) = ?

X ~ Bin

P(X ≥ 21) =

P(N(0,1) ≥

= 1 - 0.9850 = 0.2515

P(15 ≤ X ≤ 20) =

= P(N(0,1)

= P(-0.85 ≤ N(0,1) ≤ 1.03) - P(0,55)

= 0.8485 - (1 - 0,9332)

= 0,8485 - 1 + 0,80234 = 0,65084

6.A

Sia X una v.a. normale con media 0 e varianza 5. Sia Y = |X|. Trova:

1. a) la densità di probabilità di Y;
2. b) la media di Y.

a)

f_Y(y) = ...

b) ∫_R |x|f_X(x) dx = ... √(10/π)

∀ x ∈ R

δ(t) = 0

Y = |X|

δ(t) = Σ ...

y = 0

= ²/_{√5 √(2π) e}

= Σ ... I