Statistica - Formulario

Calcolo delle medie delle differenze

S = ( x - M + X - M ...+ X - M ) / n

Le medie delle differenze sono di ordine k=1, allora si1 2 n

Il valore ottenuto sta ad indicare lo scostamento che avrà la differenza semplice media, o di ordine k=2 e ogni valore assume, in più o in meno, dalla media allora si avrà la differenza quadratica media.

Per la distribuzione di frequenza: DIFFERENZA SEMPLICE MEDIA

Σ Σ | S = X - M fi / fi

La differenza media è la media aritmetica delle differenze prese in valore assoluto:

S = ( X - M fi + X - M fi ...+ X - M fn ) / n

∆ Σ Σ | (f + f + ........+ f ) = x - x / N(N-1)

1 2 n 1 i=1 j=1 i j

Se la distribuzione di frequenza è per classi di valore se si considera le differenze nulle, x - x con i=j

la variabile scarto è uguale alla differenza fra il valore centrale della classe e la media aritmetica.

∆ Σ Σ | (f + f + ........+ f ) = x - x /

1. NR 1 i=1 j=1 i jb) SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO DALLA se invece si verifica una distribuzione di frequenze siMEDIANA utilizza la formula del Gini:Si definisce scostamento semplice medio dalla ∆ Σ= 2 (A – B ) f / N(N-1)1 j=1 i i imediana, la media aritmetica delle variabili scarto in cuidalla mediana prese in valore assoluto. f = le frequenze dei valori o delle classiiΣ  Smd = x – Md / n N = totale osservazioni1     Smd = ( X – Md + X – Md ….+ X – Md ) / A = alle intensità (x f ) decumulate1 2 n i i in B = alle intensità (x f ) accumulatei i iIl valore ottenuto sta ad indicare lo scostamento che DIFFERENZA QUADRATICA MEDIAogni valore assume, in più o in meno, dalla mediana. Si definisce differenza quadratica media la mediaPer la distribuzione di frequenza: quadratica delle differenzeΣΣ  – Md fi / fiSmd = X a) Differenza quadratica media senza ripetizioni1• Dati 2

eventi la probabilità che tali eventi si verifichinoper dati non raggruppati∆ Σ Σ 2 1/2 congiuntamente è uguale al prodotto della probabilità= [Σ (x - x ) / N(N-1)]2 i=1 j=1 i j• dell’evento A per il prodotto della probabilitàper dati raggruppati∆ Σ Σ dell’evento B.2 1/2= [Σ (x - x ) f f / N(N-1)]2 i=1 j=1 i j i i .P(A e B) = P(A) P(B)

b) Differenza quadratica media con ripetizioni TEORIA DI BAYES• per dati non raggruppati Assumendo essere A una ripartizione di eventi∆ Σ Σ 2 1/2= [Σ (x - x ) / N(N-1)]R 1 i=1 j=1 i j ,a ,a ….a , posta in relazione con B, ed ammettendoa• 1 2 3 nper dati raggruppati che sono note le probabilità di P(a ) e P(B) per riuscire∆ Σ Σ i2 2 1/2= [Σ (x - x ) f f / N ]R 2 i=1 j=1 i j i i a trovare P(a /B) si avrà:i Σ ./B) = Pa x P(b/a ) / P(a ) P(B/a ).P(a i i i i iMOMENTII momenti sono costanti

Statistiche che caratterizzano la distribuzione di Pascal. La distribuzione di Pascal si genera quando:

Definizione: scelta un'origine m ed un grado r, si l'esperimento in un numero non prefissato di prove idefinisce momento di origine m e grado r la media cui risultati possibili E con probabilità costante P eponderata di grado r della variabile scarto dall'origine ~E.

L'evento con probabilità costante 1-p=q, si arresta quando l'evento E si verifica;

μ = Σ Σr= (x - m) f / f se si intende con x l'ennesima prova in cui si verifica m,r i i i

I momenti più importanti sono:

μ = + m = M (media)

P(x) = p q per x = 1,2,3,4....n.0,i m,1

μ = + (varianza) SCHEMA DI BERNOULLI E DISTRIBUZIONE

2 m,2 = μ μ μ μ μ3m,1 = + 3μ + 2μ BINOMIALE

3 m,3 m,2 m,1μ μ μ μ μ μ μ2m,1

4m,1= + 4µ 3µ + 6µ - 3µ

In un esperimento se si effettuano n. prove4 m,4 m,3 m,1 m,2

Per trovare i momenti in una distribuzione di classi di indipendenti, in cui l’evento E si manifesta con∼E,frequenza la formula sarà: probabilità costante p, e l’evento con probabilitàΣµ ur= c f / N costante q=1-p, la probabilità che l’evento E si verifichim,r r ∼E

dove k volte e l’evento n-k volte, secondo un ordinec = intervallo della classe prestabilito, sarà:k . n-kP = p qn,k(la probabilità che in n prove l’evento E si verifichi k

MUTABILITA’ volte è uguale alla probabilità dell’evento p elevato a k

Per mutabilità si intende l’attitudine di un fenomeno ad [n. delle volte] per la probabilità dell’evento contrario qacquisire modalità qualitative o attributi differenti. elevato a n-k);

Nello studio della mutabile sono due i concetti

se si prescinde dall'ordine prefissato si avrà: fondamentali: omogeneità o eterogeneità nulla e k . n-k P = C . p q massima eterogeneità. n,k n,k dove La mutabilità deve soddisfare le seguenti 2 condizioni: n! a) Essere uguale a zero se la popolazione statica è Cn,k = k!(n-k)! omogenea rispetto ad un carattere dato; Dalla distribuzione di probabilità si ha: b) Aumentare al crescere dell'eterogeneità nella .Media = m = n p popolazione statica. σ2 . Indice di eterogeneità di Gini: Varianza = = n p q Σ σ2 . . 1\2 G = [1- (n /N) ] / (1 - 1/K) Scostamento quadratico medio = = (n p q)rel i Dove i = 1…2…3…4…K frequenze della modalità Per potersi adottare tale schema è necessario che sia Σ soddisfatta la seguente condizione: N = ni 2m>σ . PROBABILITÀ (principi di calcolo) Da un sistema di equazioni poi si ritrovano p e n2 Dati due eventi, A e B, con

probabilità P(A) e P(B), la P = (m-s )/m2 2probabilità che uno dei due eventi si verifichi è minore N = m / (m-s )o uguale alla somma delle singole probabilità: Tale procedura viene utilizzata per adattare lo schema≤ → di Bertoulli a distribuzioni di frequenza.

P(A o B) = P(A) + P(B) (disuguaglianza di Boole).

a) se gli eventi sono tali da escludersi a vicenda cioè DISTRIBUZIONE NORMALE sono fra loro compatibili il connettivo “o” è inclusivo: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(AB)

La distribuzione normale o curva Gauss è definita dalla seguente formula:

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(AB) σ^2 – 1/2 (x-µ)^2

Y = 1/σ√2π e

In cui P(AB) viene sottratto poiché viene contato 2 volte in P(A) e in P(B) µ = Np = media

b) se gli eventi sono tali da escludersi a vicenda cioè σ √= Npq = scarto quadratico medio sono fra loro incompatibili il connettivo “o” è esclusivo, π = 3,14159…

Quindi: ≤ e = 2,71828… P(A o B) = P(A) + P(B) Quando per distribuzioni continue sono applicati a dati, l'area sottostante la curva rappresenta la probabilità che X sia compreso tra a e b. Quando X viene espresso in termini di unità standard, si avrà la formula di Yates: Y = (o - e - 0.5) / √(e + (o - e - 0.5) / e^2 + (o - e - 0.5) / e^2 + ...+ (o - e - 0.5) / e^k) dove e ... sono i valori osservati, k è il numero dei gradi di libertà, µ è la media e σ è la deviazione standard. La correzione viene fatta solo quando il numero dei gradi di libertà è v > 1. Per il calcolo dell'area sottesa alla curva si avrà: z = (x - µ) / σ È lo studio delle relazioni tra una popolazione e i campioni.

----Asimmetriax1 1 1 campioni estratti dalla stessa.x = z2 = (x -µ )/σ2 2 DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA MEDIAViene usata per calcolare un campione di popolazioneADATTAMENTO DELLA DISTR. NORMALE finita Np>N la formula è:Data un tab. di dati per adattare una curva normale si µ µ σ σ/√N(√= = Np-N/Np-1)deve: x xdovecalcolare la M Aritmetica della tab. e trovare la p=M/n; Np = popolazione completaN(x) Pr(x) Freq.teoriche Freq.osservate N = campione0 0,0332 33,2 o 33 38 σ = scarto quadratico medio1 0,1619 161,9 o 162 144 se la popolazione è infinita:2 µ µ σ σ/√N= =x xDISTRIB. CAMPIONARIA DELLE PROPORZIONIper quanto riguarda le distr. per classi: Viene usata per calcolare l’ipotesi esistente tra unaClass Limit Z dei Area Area Freq. Freq. popolazione e il verificarsi di una proporzione p:i limiti Norm classe Attese Osser µ σ √pq/N √µ(Prec. x N) = = =p

p60-62 59,5 -2,72 0,4967 0.0413 4,13 o 4 5 poi si calcola il resto tramite la formula della distr.20,68 o 2163-65 62,5 -1,70 04554 0,2068 18 normale38,92 o 3966-68 65,5 -0,67 0,2486 0,3892 42 TEORIA DEI PICCOLI CAMPIONI (t di Student)DISTRIBUZIONE DI POISSON νt = x-µ/σ√N-1 = N-1 (grado di libertà)Viene usata in alternativa alla distribuzione normale INTERVALLO DI CONFIDENZAper casi in cui Np = media sia minore di 5 e le prove N I limiti di confidenza possono essere rappresentati dallasiano maggiori di 50, si avrà: formula:λ-λ ke /k!P(k) = σ/√.X = tc N-1λ = Np = media Per verificare le ipotesi si usano i test di ipotesi e quelliσ2 . .= N P q di significatività :σ √ . .= N P q t = x-µ/σ√N-1ADATTAMENTO DELLA DISTR. DI POISSON DIFFERENZA DI MEDIEk f N P(k) f – Np(k) Per provare l’ipotesi che 2 campioni provengano dallai i i0 43 45,03 - 2,03 stessa popolazione si attua

la differenza delle medie.1 88 85,38 + 2,62 Se 2 campioni N e N esstratti da popolazioni normali1 2σ2 con = (σ =σ ) e con madia e con media X e X1 2 1 2usando la formula t si avrà:TEST CHI – QUADRATO t = X e X /σ√ 1/N + 1/N1 2 1 2Viene utilizzato per concordare esattamente i risultati doveσ &ra