Formulario Statistica

Ipotesi Statistica

Descrizione di un parametro di una popolazione.

Ipotesi Nulla

H₀ = μ

Ipotesi Alternativa

H_A ≠ μ

Ipotesi Semplice e Composta

Un'ipotesi è detta semplice quando descrive completamente la popolazione, altrimenti è detta composta.

Entrambe le Ipotesi Sono Semplici

Ipotesi Nulla Semplice e Alternativa Composta

H₀: μ = μ₀ H_A: μ ≠ μ₀

Entrambe le Ipotesi Sono Composte

H₀: μ ≥ μ₀ H_A: μ < μ₀

Ipotesi Unidirezionale e Bidirezionale

Se l'ipotesi alternativa prevede μ = costante di valore ≠ 0, è unidirezionale, altrimenti è bidimensionale g ≠ g_A.

p-value

L'area della probabilità di ottenere un valore della statistica-test uguale o più estremo del valore ottenuto del campione sotto l'ipotesi nulla.

Statistica Test

Z_X⁄_μ δ⁄√n

Decidiamo

• Accetto H₀:
  • H₀ è vera: errore 1 - α
  • H₀ è falsa: errore β
• Rifiuto H₀:
  • H₀ è vera: errore α
  • H₀ è falsa: correttezza 1 - β

Errore di Tipo I

Succede quando si rifiuta l'ipotesi nulla mentre questa è vera.

Errore di Tipo II

Succede quando non si rifiuta l'ipotesi nulla mentre questa è falsa.

Stima della media

^{f.s.a X₁ ∼ f(μ, e, f(.)) quindi:}

T(X₁, ..., X_n) = X̄

MSE(X̄) = Var(X̄) = ϑ²/n

T(X₁, ..., X_n) = X̄

E(X̄) = μ, Var(X̄) = ϑ²/n

X̄ è corretto e consistente

se X_i ∼ N(μ, ϑ²) ⇒ X̄ ∼ N(μ, ϑ²/n)

Stima di una proporzione

^{f.s.a X∼ Bernoulli(p) quindi:}

T(X₁, ..., X_n) = X̄

(correttezza)

X̄ = π̄(1−π̄)/n

X̄ è corretto e consistente

Intervallo di confidenza per la media

[^{Popolazione Normale, ϑ2 noto e μ input}]

X̄ ± Z_1−α/2 ϑ/√n

[^{Popolazione Normale, ϑ2 e μ input}]

X̄ ± t_{(n−1; 1−α/2)} s/√n

[^{Popolazione qualis..., ϑ2 e μ input}]

X̄ ± Z_1−α/2 s/√n

Varianza campionaria corretta

(stimatore)

S² = 1/(n−1) Σ(X_i − X̄)²

correttezza → E(S²) = ϑ² per ∀ ϑ² > 0

consistenza → S² → ϑ² per n

lim n→∞ MSE(S_n) = 0

Stima della varianza

^{f.s.a X₁ ∼ f(μ, ϑ2) con f(.) quindi:}

T(X₁, ..., X_n) = S² = 1/(n−1) Σ(X_i − X̄)²

E(S²) = ϑ²

S² è corretto e consistente

Intervallo di confidenza per una proporzione

[^{Popolazione Bernoulliana, p input}]

x̄ ± Z_1−α/2 √(X̄(1−X̄)/n)

Intervallo di confidenza per la varianza

[^{Popolazione Normale, ϑ2 e μ input}]

[1/(n−1)S²] {/Χ²_{n−1; 1−α/2}}

{(n−1)S²/Χ²_{n−1; α/2}}

Numerosità campionaria

n = (Z_{α/2 ⋅ϑ}/ϑ² _⋅) ϑ²

ϑ² → (errore)

n = (Z_{α/2 ⋅X̄−X̄}).

ϑ² (1−ϑ²)/ϑ²

Variabile Casuale Uniforme Continua

X indicato con X ~ U(a; b). È una v.c. che assume valori in un intervallo limitato [a; b].

Media → E(x) = (a+b) / 2

Varianza → V(X) = [(b-a)²] / 12

Variabile Casuale Normale

X, indicato con X ~ N(μ, σ² ), è una v.c. continua che può assumere valori in tutto l’asse reale, conformemente a densità f(x) = (x - μ)² / 2σ²

Media → E(X) = μ

Varianza → V(X) = σ²

Variabile Casuale Standard

Una v.c. di forma Normale con parametri μ = 0; σ = 1 è detta variabile normale standard.

Media → E(x) = k

Varianza → V(X) = 2k

Variabile Casuale Doppia

Una v.c. doppia può assumere valori associati con funzioni di densità congiunte.

V.C. Doppia Discreta → P(X ≤ x, Y ≤ y) = ΣΣ P(u, v)

V.C. Doppia Continua → F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = ∬ f(u, v) du dv