Formulario statistica

Formulari di distribuzioni probabilistiche

Distribuzione binomiale

X ~ bin (n; p)

P(x) = ⁿC_x p^x (1-p)^n-x

Distribuzione binomiale negativa

X ~ nbin (k; p)

P(x) = ^x-1C_k-1 p^k (1-p)^x-k

Distribuzione geometrica

X ~ nbin (1; p)

P(x) = p (1-p)^x-1

Distribuzione di Poisson

X ~ Po(λ)

P(x) = ^λx e^-λ / x!

Distribuzione normale

X ~ N (μ; σ²)

f(x) = ^{e-1/2 (x - μ)2 / σ2} / √(2π)σ

Funzione gamma

Γ(k) = ∫₀^∞ t^k-1 e^-t dt, k>0

Distribuzione gamma

X ~ ga (k; λ)

f(x) = ^λk / Γ(k) x^k-1 e^-λx

Distribuzione esponenziale negativa

X ~ ga (1; λ)

f(x) = λe^-λx

Distribuzione chi quadro

X ~ go (^k / ₂ ; ¹ / ₂)

X ~ χ²_k

Funzione beta

B(α, β) = ∫₀¹ x^α-1 (1-x)^β-1 dx

Distribuzione beta

X ~ be (α; β)

f(x) = ^(3)B / ((α)β)

Distribuzione uniforme

X ~ U(1; 1)

f(x) = ¹ / _b-a

Formulari di distribuzioni probabilistiche (variante)

Distribuzione binomiale

X ~ bin (n; P)

P(x) = ⁿC_xP^x(1-P)^n-x

Distribuzione binomiale negativa

X ~ nebin (k; P)

P(x) = _k+x-1C_xP^k(1-P)^x

Distribuzione geometrica

X ~ geo (1; P)

P(x) = P^x(1-P)

Distribuzione di Poisson

X ~ po(λ)

P(x) = ^λxe-λ/_x!

Distribuzione normale

X ~ N(μ; δ²)

f(x) = ^{e-1/2(x-μ)2/δ2}/_√2π

Funzione gamma

Γ(k) = ∫₀^∞ x^k-1e^-x dx k>0

Γ(x+1) = xΓ(x)

Distribuzione gamma

X ~ ga(k;λ)

f(x) = ^λkxk-1e-λx

Distribuzione esponenziale negativa

X ~ geo (1;λ)

f(x) = λe^-λx

Distribuzione chi quadro

X ~ go(^k/₂; ¹/₂)

f(x) = ¹/_{2^ν/2Γ(ν/2)} x^ν/2-1e^-x/2

Funzione beta

B(α;β) = ∫₀¹x^α-1(1-x)^β-1 dx

B(α;β) = ^{δ(α) · δ(β)}/_δ(α+β)

Distribuzione beta

X ~ be(α;β)

f(x) = ^Γ(α+β)/_{x^α-1(1-x)^β-1}

Funzioni di distribuzione e proprietà

Funzione di distribuzione

F(x; y) = ∫_-∞^x ds ∫_-∞^y f_(s;t) dt

Distribuzioni marginali

• f_X(x) = ∫_Ry f_*(x; y) dy
• f_Y(y) = ∫_Rx f_*(x; y) dx

Distribuzioni condizionali

• f_*(y|x) = f_*(x; y) / f_*(x)
• f_*(x|y) = f_*(x; y) / f_*(y)
• E(Y|X=x) = ∫_Ryk y f_*(y|x) dy
• VAR (Y|X=x) = ∫_Ryk [Y - μ_Y|x(x)]² f_*(y|x) dy

Legge del valore atteso iterato

E(Y) = E (E(N|X))

Scomposizione della varianza

VAR(Y) = VAR (E(Y|X)) + E (VAR(Y|X))

Covarianza

COV(X; Y) = E_t [(X-μ_X)(Y-μ_Y)] = E(XY) - E(X)E(Y) = μ_XY - μ_Xμ_Y

Coefficiente di correlazione

ρ = COV(X; Y) / σ_Xσ_Y

Distribuzione normale bivariata

(X; Y) ~ N₂( μ_X, μ_Y, σ_X², σ_Y², ρ )

f_{(x; y)} = (1 / 2πσ_Xσ_Y √(1-ρ²)) exp { -1/2(1-ρ²) · [ (x-μ_X²)/σ_X² + (y-μ_Y²)/σ_Y² - 2ρ(x-μ_X)(y-μ_Y)/σ_Xσ_Y ] }

Distribuzioni marginali

• X ~ N( μ_Y ; σ_X² )
• Y ~ N( μ_Y ; σ_Y² )

Distribuzioni condizionate

• Y|X ~ N( μ_Y + ρσ_Y/σ_X · (x-μ_X); G_y^(1-ρ2))
• X|Y ~ N( μ_X + ρσ_X/σ_Y · (y-μ_Y); G_x^(1-ρ2))

Distribuzione normale multivariata

X ~ N_m( μ_i ; ∑ )

f_m^X(x) = (2π)^-n/2 |∑|^-1/2 exp{ -1/2 (x - ∧)^T ∑^-1 (x - ∧) }

Distribuzione multinomiale

P^(x) = (n__x₁, x₂, ..., x_k) ∏_i=1^k P_i^x_i

Distribuzioni marginali

• P(x) ~ bi_n (n ; p_i)
• COV (x_i, x_j) = -∼∼∼ P_iP_j