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In caso di distribuzioni di frequenza per classi di valore

MEDIE si ha tale formula:

GEOMETRICA

MEDIA

La media geometrica è uguale alla radice n.sima del Q = l + (N/4 – F ) x (l - l )/f

1 1 i-1 2 1 i

prodotto delle N quantità date. Q = l + (3N/4 – F ) x (l - l )/f

3 1 i-1 2 1 i

1F1 . 2F2 . 3F3 kFk 1/n dove

Mo = (X X X …… X )

Oppure l l = limiti inferiori e superiori delle classe di

1 e 2

N 1. 2. 3… … . frequenza

G = (x x x x )

k l - l = intervallo della classe che comprende Q o Q

MEDIA ARMONICA 2 1 1 3

N = totale osservazioni

La media armonica è uguale al reciproco delle media F = frequenze cumulate della classe che precede Q o

aritmetica dei reciproci dei valori dati. i-1 1

1 1 1 1 Q

M = n/( / + / + / ...... + / ) 3

–1 X1 X2 X3 Xn f = frequenza della classe che comprende Q o Q

i 1 3

MEDIA QUADRATICA CENTILI, DECILI, SESTILI …….

La media quadratica è uguale alla radice quadrata della Valori medi simili alla mediana.

somma dei quadrati dei valori, divisa per il loro Tali valori dividono la serie data in più frazioni

numero. 12 22 32 n2 ½ (quartili, sestili, decili, centili ecc.)

M = [(X +X +X + ………. +X )/ N]

2 La formula generale è:

MODA Q l + (K – F ) x (l - l )/f

K/N 1 n/m i-1 2 1 i

Si definisce moda quel valore o quell’attributo su cui si dove

addensa la massima frequenza. m = numero di frazioni in cui viene ripartita la serie di

valori

Se la distribuzione avviene per classi di valori la classe

modale è: K = uno degli m-1 valori che dividono la serie in m

∆ ∆ ∆

≅ frazioni uguali

+ (l - l )/( +∆ )

Mo l

1 1 2 1 1 2 N = totale osservazioni

dove l = limiti inferiori e superiori della classe che

l

l l = limiti inferiori e superiori delle classe di 1 e 2

1 e 2 contiene il quantile

frequenza l - l = intervallo della classe che comprende il quantile

l - l = intervallo della classe di frequenza 2 1

2 1

∆ F = frequenze cumulate della classe che precede

= differenza fra la densità della classe modale e i-1

1 immediatamente la classe che comprende il quantile

quella della classe immediatamente precedente

∆ f = frequenza della classe che comprende il quantile

= differenza fra la densità della classe modale e i

2 ASIMMETRIA

quella della classe immediatamente seguente L’asimmetria di una distribuzione è il grodo do di

scostamento dalla simmetria, se il grado è positivo la

MEDIANA distribuzione si dice positivamente asimmetrica, se il

La mediana, in una successione di valori disposti in risultato è negativo la distribuzione sarà negativamente

ordine non decrescente, equivale a quel valore della asimmetrica.

successione preceduto e seguito dallo stesso numero di As = M – Mo Media aritmetica – Moda

termini. S Scostamento quadratico medio

Se i termini sono dispari: oppure

Md = (N + 1) / 2 As = 3(M - Md) Media aritmetica – Mediana

Se i termini sono pari: S Scostamento quadratico medio

Md = [(N/2)+(N/2+1)] / 2 Nelle distribuzioni di frequenza unimodali simmetriche

Se la distribuzione è per classi di valore: la media aritmetica, la moda e la mediana coincidono.

Md l +(N/2 – F ) x (l - l )/f

1 i-1 2 1 i Se le distribuzioni sono lievemente asimmetriche si

dove avrà tale relazione:

N = totale osservazioni M – Mo = 3(M - Md)

l l = limiti inferiori e superiori delle classe di

1 e 2 Se l’asimmetria è più accentuata si potrà avere:

frequenza Mo < Md < M asimmetria positiva

l - l = intervallo della classe mediana

2 1 oppure

F = frequenze cumulate delle classi che precedono

i-1 M < Md < Mo asimmetria negativa

immediatamente la classe mediana Per misurare il grado di asimmetria si usa la seguente

f = frequenza della classe mediana

i formula con 3 diversi quartili:

As = [(Q – Q ) – (Q – Q )/(Q –Q ) + (Q – Q )]

QUARTILI 3 2 2 1 3 2 2 1

L’assimetria in termini di momenti è :

Data una serie non decrescente, i quartili sono quei As = q-p/σ

valori che dividono la serie in 4 parti uguali. CURTOSI

a) Il 1° quartile è quel valore preceduto dal 25% La curtosi è il grado di altezza raggiunto da una

delle osservazioni e seguito dal 75% (Q ).

1 distribuzione:

b) Il 2° quartile coincide con la mediana (Md = molto alta – lepocurtica

)

Q 2 normale – mesocurtica

c) Il 3° quartile è quel valore preceduto dal 75% molto bassa – palticurtica

delle osservazioni e seguito dal 25% (Q )

3 c) SCOSTAMENTO QUADRATICO MEDIO (o

per calcolare la curtosi si adopera il quarto momento

della media aritmetica: devianza standard)

4 4 4 4 22

a si definisce scostamento quadratico medio, la media

= m /s = m /m quadratica delle variabili scarto.

la distribuzione normale si dice che ha valore:

2 4 σ Σ 2 1\2

b = a =3 = [ (X – M) fx / n ]

1

σ { 2 2 2

di conseguenza la curtosi è anche definita dalla = [( X – M) / fi + (X – M) fi + (X – M) fi

1 2 3

}

formula: 2 1/2

...... + Xn – M) fi ] / f + f + f +.......+ fn )}

1 2 3

2

(b - 3) = 0 distribuzione normale

2

(b - 3) = risultato pos. distribuzione leptocurtica CORREZZIONE DI SHEPPARD

2

(b - 3) = risultato neg distribuzione platicurtica Il calcolo dello scarto quadratico medio è in qualche

Con un altro calcolo si adoperano i percentili: misura errato. Per eliminare tale errore si deve che :

k = Q/ (p – p ) 2

varianza corretta = varianza dati raggruppati – C /12

90 10

dove Q = ½(Q – Q ) dove

3 1

per la distribuzione normale questo coefficiente ha C = ampiezza delle classi

valore 0,263. d) VARIANVA E DEVIANZA

Il quadrato dello scarto quadratico medio è detto

varianza:

VARAIBILITA’ σ Σ Σ

2 2

La variabilità è l’attitudine dei fenomeni ad acquistare = (X – M) fi / fi

1

modalità quantitative o valori differenti, tale attitudine mentre la somma dei quadrati degli scarti, il

viene definita come “variazione”, cioè come numeratore della varianza, è detta devianza:

Σ

σ 2 2

“differenza tra valori”. = (X – M) / fi

N 1

Σ

Si hanno 3 tipi di misure di variabilità: dove N = fi

1. Prende in considerazione le “differenze tra ciascun Il calcolo della varianza può esse svolto in due

valore rappresentativo di una distribuzione”: procedimenti:

a) CAMPO DI VARIANZA 1° procedimento

differenza tra il valore più grande e quello più σ Σ Σ

2 2

= (X – M) fi / fi

1

piccolo di una distribuzione. svolgendo il quadrato del numeratore e semplificando

C = X max – X min si ottiene,

b) DIFFERENZA INTERQUARTILE σ 2 22 2

= M – M

Differenza tra il 3° e il 1° quartile. la variabile è uguale alla differenza tra la media

Q = Q -Q quadratica al quadrato e la media aritmetica al

3 1

2. Prende in considerazione le “differenze fra ciascun quadrato.

valore della distribuzione e una costante” (tale 2° procedimento:

costante è quasi sempre la Media aritmetica): se si considera la variabile scarto da un’origine

a) SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO DALLA arbitraria m si ha

MEDIA Σ Σ Σ Σ

σ 2 2 2

= (X – m) fi / fi – [ (X – m) / fi / fi ]

1 1

si definisce scostamento semplice medio della media, 3. Le DIFFERENZE MEDIE si calcolano facendo le

la media aritmetica delle variabili scarto prese in differenze tra medie potenziate prese in valore assoluto,

valore assoluto. fra ciascun valore di ciascuna distribuzione e tutti i

Σ  

S = X – M / n rimanenti.

1     

S = ( x – M + X – M ….+ X –M ) / n Le medie delle differenze sono di ordine k=1, allora si

1 2 n

Il valore ottenuto sta ad indicare lo scostamento che avrà la differenza semplice media, o di ordine k=2 e

ogni valore assume, in più o in meno, dalla media allora si avrà la differenza quadratica media.

Per la distribuzione di frequenza: DIFFERENZA SEMPLICE MEDIA

Σ Σ

 

S = X – M fi / fi La differenza media è la media aritmetica delle

1

     

S = ( X – M fi + X – M fi ….+ X –M fn ) / differenze presa in valore assoluto:

1 2 n ∆ Σ Σ  

(f + f + ........+ f ) = x - x / N(N-1)

1 2 n 1 i=1 j=1 i j

Se la distribuzione di frequenza è per classi di valore se si considerale differenza nulle, x – x con i=j

i j

la variabile scarto è uguale alla differenza fra il si avra:

valore centrale della classe e la media aritmetica. ∆ Σ Σ   2

= x - x / N

R 1 i=1 j=1 i j

b) SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO DALLA se invece si verifica una distribuzione di frequenze si

MEDIANA utilizza la formula del Gini:

Si definisce scostamento semplice medio dalla ∆ Σ

= 2 (A – B ) f / N(N-1)

1 j=1 i i i

mediana, la media aritmetica delle variabili scarto in cui

dalla mediana prese in valore assoluto. f = le frequenze dei valori o delle classi

i

Σ  

Smd = x – Md / n N = totale osservazioni

1

     

Smd = ( X – Md + X – Md ….+ X – Md ) / A = alle intensità (x f ) decumulate

1 2 n i i i

n B = alle intensità (x f ) accumulate

i i i

Il valore ottenuto sta ad indicare lo scostamento che DIFFERENZA QUADRATICA MEDIA

ogni valore assume, in più o in meno, dalla mediana. Si definisce differenza quadratica media la media

Per la distribuzione di frequenza: quadratica delle differenze

Σ

Σ 

 – Md fi / fi

Smd = X a) Differenza quadratica media senza ripetizioni

1


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flaviael

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DESCRIZIONE APPUNTO

Formulario di Statistica vertente sui seguenti argomenti: le medie ( la media geometrica, la media armonica, la media quadratica), la moda, la mediana, i quartili, i centili, i decili, i sestili, l'asimmetria, lo scostamento quadratico medio, la correzione di Sheppard, la devianza.


DETTAGLI
Esame: Statistica
Corso di laurea: Corso di laurea in Scienze delle professioni educative
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Di Battista Tonio.

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