Statistica - Formulario

Tipi di misure di variabilità

Si hanno 3 tipi di misure di variabilità:

1. Campo di varianza: prende in considerazione le "differenze tra ciascun valore rappresentativo di una distribuzione". Il calcolo della varianza può essere svolto utilizzando il seguente procedimento: C = X_max - X_min.
2. Differenza interquartile: differenza tra il 3° e il 1° quartile. La variabile Q è uguale alla differenza tra la media quadratica al quadrato e la media aritmetica al quadrato: Q = Q₃ - Q₁.
3. Scostamento: prende in considerazione le "differenze fra ciascun valore della distribuzione e una costante" (tale costante è quasi sempre la media aritmetica). Se si considera la variabile scarto da un'origine, la variabile è uguale alla differenza tra il valore e la media aritmetica.

SEMPLICE MEDIO DALLA arbitraria m si haMEDIA Σ Σ Σ Σσ 2 2 2= (X – m) fi / fi – [ (X – m) / fi / fi ]1 1si definisce scostamento semplice medio della media, 3. Le DIFFERENZE MEDIE si calcolano facendo lela media aritmetica delle variabili scarto prese in differenze tra medie potenziate prese in valore assoluto,valore assoluto. fra ciascun valore di ciascuna distribuzione e tutti iΣ  S = X – M / n rimanenti.1     S = ( x – M + X – M ….+ X –M ) / n Le medie delle differenze sono di ordine k=1, allora si1 2 nIl valore ottenuto sta ad indicare lo scostamento che avrà la differenza semplice media, o di ordine k=2 eogni valore assume, in più o in meno, dalla media allora si avrà la differenza quadratica media.Per la distribuzione di frequenza: DIFFERENZA SEMPLICE MEDIAΣ Σ S = X – M fi / fi La differenza media è la media aritmetica

^- Md + ... + X^- Md) / ∆ Σ
∆ = differenze prese in valore assoluto: 1 2 n
Σ = sommatoria
f = frequenza
x = valore
N = totale osservazioni
R = numero di classi
A = valore centrale della classe
B = media aritmetica
Smd = scostamento semplice medio dalla mediana
Md = mediana
i, j = indici di iterazione

– Md ….+ X – Md ) / A = alle intensità (x f ) decumulate1 2 n i i in B = alle intensità (x f ) accumulatei i i

Il valore ottenuto sta ad indicare lo scostamento che DIFFERENZA QUADRATICA MEDIAogni valore assume, in più o in meno, dalla mediana. Si definisce differenza quadratica media la mediaPer la distribuzione di frequenza:

ΣΣ  – Md fi / fiSmd = X a) Differenza quadratica media senza ripetizioni1• Dati 2 eventi la probabilità che tali eventi si verifichinoper dati non raggruppati∆ Σ Σ 2 1/2 congiuntamente è uguale al prodotto della probabilità= [Σ (x - x ) / N(N-1)]2 i=1 j=1 i j• dell’evento A per il prodotto della probabilitàper dati raggruppati∆ Σ Σ dell’evento B.2 1/2= [Σ (x - x ) f f / N(N-1)]2 i=1 j=1 i j i i .P(A e B) = P(A) P(B)b) Differenza quadratica media con ripetizioni TEORIA DI BAYES•

per dati non raggruppati Assumendo essere A una ripartizione di eventi∆ Σ Σ 2 1/2= [Σ (x - x ) / N(N-1)]R 1 i=1 j=1 i j ,a ,a ….a , posta in relazione con B, ed ammettendoa• 1 2 3 nper dati raggruppati che sono note le probabilità di P(a ) e P(B) per riuscire∆ Σ Σ i2 2 1/2= [Σ (x - x ) f f / N ]R 2 i=1 j=1 i j i i a trovare P(a /B) si avrà:i Σ ./B) = Pa x P(b/a ) / P(a ) P(B/a ).P(a i i i i iMOMENTII momenti sono costanti statistiche che caratterizzano DISTRIBUZIONE DI PASCALla distribuzione. La distribuzione di Pascal si genera quandoDefinizione: scelta un’origine m ed un grado r, si l’esperimento in un numero non prefissato di prove idefinisce momento di origine m e grado r la media cui risultati possibili E con probabilità costante P eponderata di grado r della variabile scarto dall’origine ∼El’evento con probabilità costante 1-p=q, si arresta sem. l’evento E si

verifica;µ Σ Σr= (x - m) f / f se si intende con x l’ennesima prova in cui si verificam,r i i iI momenti più importanti sono: E, si avrà:µ µ= + m = M (media) . x-1P(x) = p q per x = 1,2,3,4....n.0,i m,1µ µ σµ 2m,1 2= + (varianza) SCHEMA DI BERNOULLI E DISTRIBUZIONE2 m,2 =µ µ µ µ µ3m,1= + 3µ + 2µ BINOMIALE3 m,3 m,2 m,1µ µ µ µ µ µ µ2m,1 4m,1= + 4µ 3µ + 6µ - 3µ In un esperimento se si effettuano n. prove4 m,4 m,3 m,1 m,2Per trovare i momenti in una distribuzione di classi di indipendenti, in cui l’evento E si manifesta con∼E,frequenza la formula sarà: probabilità costante p, e l’evento con probabilitàΣµ ur= c f / N costante q=1-p, la probabilità che l’evento E si verifichim,r r ∼Edove k volte e l’evento n-k volte, secondo un ordinec =

Intervallo della classe prestabilito, sarà: k . n-kP = p qn,k (la probabilità che in n prove l'evento E si verifichi k volte è uguale alla probabilità dell'evento p elevato a kPer mutabilità si intende l'attitudine di un fenomeno ad [n. delle volte] per la probabilità dell'evento contrario qacquisire modalità qualitative o attributi differenti. elevato a n-k);

Nello studio della mutabile sono due i concetti se si prescinde dall'ordine prefissato si avrà:fondamentali: omogeneità o eterogeneità nulla e k . n-kP = C . p qmassima eterogeneità. n,k n,kdoveLa mutabilità deve soddisfare le seguenti 2 condizioni: n!a) Essere uguale a zero se la popolazione statica è Cn,k = k!(n-k)!omogenea rispetto ad un carattere dato; Dalla distribuzione di probabilitàsi ha:b) Aumentare al crescere dell'eterogeneità nella .Media = m = n ppopolazione statica.

σ². Indice di eterogeneità di Gini: Varianza = = n p qΣ σ². 1\2G = [1- (n /N) ] / (1 - 1/K) Scostamento quadratico medio = = (n p q)rel iDove i = 1…2…3…4…K frequenze della modalità Per potersi adottare tale schema è necessario che siaΣ soddisfatta la seguente condizione:N = ni 2m>σ .PROBABILITÀ (principi di calcolo) Da un sistema di equazioni poi si ritrovano p e n2Dati due eventi, A e B, con probabilità P(A) e P(B), la P = (m-s )/m2 2probabilità che uno dei due eventi si verifichi è minore N = m / (m-s )o uguale alla somma delle singole probabilità: Tale procedura viene utilizzata per adattare lo schema≤ → di Bertoulli a distribuzioni di frequenza.P(A o B) P(A) + P(B) disuguaglianza di Boole.a) se gli eventi sono tali da escludersi a vicenda cioè DISTRIBUZIONE NORMALEsono fra loro compatibili il connettivo “o” è La distribuzione

La normale o curva Gauss è definita dall'inclusivo: ≤ seguente formula:

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(AB) σ² - 1/2 (x-μ)Y = 1/σ√2π e

In cui P(AB) viene sottratto poiché viene contato 2 volte in P(A) e in P(B) μ = Np = media

b) se gli eventi sono tali da escludersi a vicenda cioè σ √= Npq = scarto quadratico medio

sono fra loro incompatibili il connettivo "o" è π = 3,14159… esclusivo, quindi: ≤ e = 2,71828…

P(A o B) = P(A) + P(B) Quando per distribuzioni continue sono applicati a dati

l'area sottostante la curva rappresenta la probabilità che discreti possono essere fatte certe correzioni tramite la

X sia compreso tra a e b. quando X viene espresso in formula di Yates:

termini di unità standard, si avrà: χ² = (o - e - 0.5) / e + (o - e - 0.5) /1 2 2

dove e ...+ (o - e

• - 0.5) / e2 k k kµ) σ in gere la correzzione viene fatta solo quando il numeroz = (x - /Per il calcolo dell’area sottesa alla curva si avrà: dei gradi di libertà è v=1.µ2 ) con media e varianzauna funzione normale n(µ,σσ2 , due ordinate di ascisse x e x , tali valori si1 2 TEORIA DEI CAMPIONItrasformano in scarti ridotti (punti z)µ)/σ È lo studio delle relazioni tra una popolazione e i= z = (x - ----Asimmetriax1 1 1 campioni estratti dalla stessa.x = z2 = (x -µ )/σ2 2 DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA DELLA MEDIAViene usata per calcolare un campione di popolazioneADATTAMENTO DELLA DISTR. NORMALE finita Np>N la formula è:Data un tab. di dati per adattare una curva normale si µ µ σ σ/√N(√= = Np-N/Np-1)deve: x xdovecalcolare la M Aritmetica della tab. e trovare la p=M/n; Np = popolazione completaN(x) Pr(x) Freq.teoriche Freq.osservate N = campione0 0,0332

33,2 o 33 38 σ = scarto quadratico medio1 0,1619 161,9 o 162 144 se la popolazione è infinita:2 µ µ σ σ/√N= =x xDISTRIB. CAMPIONARIA DELLE PROPORZIONIper quanto riguarda le distr. per classi: Viene usata per calcolare l'ipotesi esistente tra unaClass Limit Z dei Area Area Freq. Freq. popolazione e il verificarsi di una proporzione p:i limiti