Statistica (esercizi) 1

Percentili e distribuzioni normali

Calcolo del 95º percentile

• 95° percentile di X con X ∼ N(10; 1,5):

Z_0,95 = 1,65

X = 10 + 1,65 · 5 = 1,756.7

Distribuzioni di maschi e femmine

X_M ∼ N(175,7) e X_F ∼ N(168,6)

Confronto tra altezze

• Femmina più alta della media dei maschi?

  Z = ^{175 - 168}/₆ = 1,17

  p(Z ≥ 1,17) = 0,5 - 0,385 = 0,115

• Maschi al di sopra di 180 o sotto 170?

  Z = ^{180 - 175}/₇ = 0,71

  Z = ^{170 - 175}/₇ = -0,71

  p(Z ≥ 0,71) + p(Z ≤ -0,71) = (0,5 - 0,258) · 2 = 0,184

• Proporzione delle femmine al di sotto di 2σ dalla media?

  168 - 2(6) = 156

  Z = ^{156 - 168}/₆ = -2

• 25° percentile della distribuzione di X_f?

  Z_0,25 = -0,70

  X = 168 - 0,70 · 6 = 163,8

• Proporzione delle femmine al di sopra di 3σ dalla media?

  Z = 3

  p(Z ≥ 3) = 0,5 - 0,499 = 0,0016

Distribuzione dei bulloni

X_a ∼ N(8,5; 0,2)

• Bulloni peso > di 9?

  Z = ^{9 - 8,5}/_0,2 = 2,5

  p(Z ≥ 2,5) = 0,5 - 0,494 = 0,006

• Bulloni tra 8,2 e 8,8?

  Z = ^{8,2 - 8,5}/_0,2 = -1,5

• 10º percentile della distribuz. dei bulloni?

  Z_0,10 = -1,28

  X = 8,5 - 1,28 · 0,2 = 8,24

• Frazione dei bulloni > 60 percentile?

  Z_0,6 = 0,25

  p(Z > 0,25) = 0,5 - 0,1 = 0,4

• Frazione dei bulloni < 20 percentile?

  Z_0,2 = -0,80

  p(Z < -0,80) = 0,288

Distribuzione del voto dei laureati

X_v ∼ N(102,1)

• Laureato abbia preso 108 o più?

  Z = 108 - 102 = 1,5

  p(Z > 1,5) = 0,5 - 0,433 = 0,067

• Laureato tra 100 e 110?

  Z = 100 - 102 = -0,5

  Z = 110 - 102 = 2

  p(-0,5 ≤ Z ≤ 2) = 0,177 + 0,190 = 0,667

• Laureato abbia preso meno di 85?

  Z = 85 - 102 = -4,25

  p(Z < -4,25) = 0

• Terzo quartile della distribuzione?

  Z_0,75 = 0,70

  X = 102 + 0,70 · L = 102,8

• Probabilità al di sotto del 3º quartile?

  p(Z < 0,70) = 0,5 + 0,079 = 0,579

Covarianza tra due variabili continue

Calcola la covarianza ottenuta tra le 2 coppie di studenti:

Media: Y = 22, X = 26,2