Statistica I

STATISTICA

= metodo scientifico di raccolta ed analisi dei dati x misurare un fenomeno collaudando il grado d'incertezza

2 obiettivi :

1. DESCRIVERE il campione scelto rispetto ad alcune caratteristiche ( VARIABILI )
• STATISTICA DESCRITTIVA
2. INFERIRE i risultati del campione nella popolazione originale
• STATISTICA INFERENZIALE

CAMPIONE

= insieme di elementi (detti unità campione o statistiche) su cui si effettuano misure ed osservazioni.

È un sottoinsieme della popolazione. (si indica con lettere latine)

POPOLAZIONE

= insieme di elementi con alcune caratteristiche comuni. Inoltre possono essere :

• FINITE
• ENUMERABILI
• INFINITE
• INDETERMINATE

PARAMETRI

= CARATTERISTICHE della POPOLAZIONE (generalmente IGNORE) (indicati con lettere greche)

VARIABILE

= aspetto o caratteristica osservabile nelle unità statistiche, cioè nei CAMPIONI

• QUALITATIVA
• NOMINALE = caratterizzate da presenza/assenza di una certa proprietà [es. : gruppo sanguigno]
• ORDINALE = ad ogni osservazione presenta un valore numerico sostitutivo che rispetta un ordine di classificazione [es. : stato salute dopo somministrazione farmaco]
• QUANTITATIVA
• x INTERVALLI = addetta a fen. in cui l'unità di misura è arbitraria [es. : T°]
• x RAPPORTI = addetta a fen. che hanno un'origine naturale [es. : peso]

• DISCRETA
• CONTINUA

CAMPIONAMENTO CASUALE

= ogni individuo di una popolazione ha la PROBABILITÀ UGUALE e INDEPENDENTE di essere selezionato

DI CONVENIENZA

= insieme di individui facilmente DISPONIBILI al ricercatore

DISEGNI

• SPERIMENTALI = x il RICERCATORE assegna CASUALMENTE i trattamenti agli individui. (EVIDENZE SOLIDE)
• OSSERVAZIONALI = se le osservazioni NON sono effettuate dai RICERCATORI. (CONFONDENTE! la variabile può "offuscare" il reale effetto dell'esposizione)

FASI x la produzione di EVIDENZE SCIENTIFICHE:

1. PROBLEMA
2. IPOTESI
3. scelta del PIANO D'INDAGINE
4. delle VARIABILI e delle SCALE DI MISURAZIONE
5. del CAMPIONE
6. RILEVAZIONE
7. verifica della QUALITÀ DEI DATI
8. ORGANIZZAZIONE dei DATI
9. ANALISI dei DATI
10. VALUTAZIONE dei risultati

Argomento 2: RAPPRESENTAZIONE tabellare e grafica dei dati

FREQUENZA ASSOLUTA [F.A.] = n° di VOLTE che un valore/modalità viene osservato in una popolazione o campione

FREQUENZA RELATIVA = ^F.A./_{n° OSSERVAZIONI}

DISTRIBUZIONE di FREQUENZA = DESCRIZIONE dei valori/modalità assunti dalla VARIABILE e delle relative FREQUENZE

Come rappresentare le VARIABILI QUALITATIVE?

DIAGRAMMA A BARRE (ISTOGRAMMA): usa l’ALTEZZA delle barre x indicare la distribuzione di FREQUENZA

una distribuzione di frequenza può essere ASIMMETRICA POSITIVA (a DX) o NEGATIVA (a SN) a seconda di dov’è la coda più lunga.

UNIFORME A CAMPANA ASIMMETRICA NEGATIVA

DIAGRAMMA A TORTA = le AREE degli spicchi sono proporzionali alle FREQUENZE

ALTRI:

• A MOSAICO
• A DISPERSIONE
• A RADAR

usati x visualizzare l'ASSOCIAZIONE tra 2 VARIABILI

Campionamento di una distribuzione binomiale

X ≈ Bin (N, p)

Popolazione → proporzione p cui attributo A " " q = 1 - p senza A (ma con B)

Estrazione campioni di dim. n: quante volte l'evento si verifica con successo? (cioè ha l'attributo A)

Variabile discreta = variabile casuale binomiale

Le probabilità associate ai diversi tipi di estrazione sono espresse dai termini di sviluppo del binomio (p + q)ⁿ

2pq

n = 2

P(x) = ⁿC_x p^xq^n-x

dove ⁿC_x = ^n!⁄_x!(n-x)!

se i dati sono espressi come n° di successi μ = np μ = p " proporzione "

σ² = npq " " " n° "

σ² = pq⁄n " " " proporzione "

es.: 55% sì 45% no

? probabilità che, estraendo n = 12, 3 di loro siano sì (successi)

P(x) = ¹²C₃ 0,55³ 0,45⁹

La distribuzione risulta definita da n e p ed è simmetrica se p = q.

Per n che tende a ∞ le ordinate tendono alla funzione di densità di una distribuzione limitata: la normale. Empiricamente se np > 10 le due distribuzioni si sovrappongono

I.C. = X̄ ± z_α/2 (6/√n)

X̄ + z_α/2 (6/√n) - X̄ - z_α/2 (6/√n) = 9,3

z_α/2 (6/√n) + z_α/2 (6/√n) = 9,3

(z_α/2)² (6/(√n))² = 9,3

• 6/4,65
• 1,96 · √15/√n = 4,65
• 15/√n = 4,6
• √n = 3,84 · 225 = 4,6225
• n = 39,96 ≈ 40

OPPURE:

SEMIMPIEZZA DESIDERATA

SEMIMPIEZZA OSSERVATA

1/2

1,96 · 15/√10

1/√n = 1/2√10

√n = 2√10

n = 40

ES:

un campione di 100 osservazioni è estratto da una popolazione di media ignota e varianza = 25 = s²

media campionaria = 20 = X̄

? INTERVALLI di CONFDENZA x la MEDIA della POPOLAZIONE con α = 95%

? quanto dovrebbe essere la NUMEROSITÀ CAMPIONARIA x ottenere un I.C. al 95% con AMPIEZZA al MASSIMO = 2,2 ?

I.C. = X̄ ± z α/2 (6/√n)

μ_ì = 20 - 1,96 · 5/100 = 19,02

μ_s = 20 + 1,96 · 5/100 = 20,98

μ_s - μ_i

(μ_s - μ_i) = 20 + 1,96 · 5/√n - (20 - 1,96 · 5/√n) = 2 · 1,96 · 5/√n

μ_s - μ_i < 2,2

1,96 · 5/√n < 1,1

√n = 1,96 · 5/1,1

n > (1,96 · 5/1,1)²

n ≥ 79

es:

Su un campione di 45 individui affetti da una certa patologia, 10 sono fumatori

₁₀/₄₅ = 0,22 : PROPORZIONE di FUMATORI

Come calcolare l'INTERVALLO di CONFIDENZA di tale PROPORZIONE?

ovvero l'intervallo che con una certa probabilità contiene il VERO VALORE di tale PROPORZIONE _p)

TEO. del LIMITE CENTRALE:

_P̂ ≈ N(_p, _p(1-p)/_n)

_P̂-_P √(_p(1-p)/_n)

μ=0 ∫ ~ N(0,1)

I.C. = _P̂ ± _Zα/2 √(_P(1-P̂)/_n)

ma se _P non è NOTO?

→ Lo STIMO con la PROPORZIONE CAMPIONARIA:

I.C. = _P̂ ± _Zα/2 √(_P̂(1-P̂)/_n)

* SOLO SE n è GRANDE e _P non si troppo vicina a 0/1

VERIFICA di IPOTESI

→ ci si è interessati a verificare una specifica ipotesi su un parametro della popolazione a partire dai dati

CONFRONTO tra IP. NULLA e DATI (IP. ALTERNATIVA)

1. Come sarebbero i dati se fosse VERA l'IP. NULLA?
2. se i dati OSSERVATI sono MOLTO ≠ da quelli che si otterrebbero se l'ip. nulla fosse vera, l’IP. NULLA è RIFIUTATA → dati non compatibili.
3. se i dati OSSERVATI sono SIMILI, l’IP. NULLA NON VIENE RIFIUTATA

H₀ = IP. NULLA = ipotesi specifica sul valore del parametro della popolazione (spesso afferma che un parametro = 0) → "nessun effetto" / "nessuna differenza"

H₁ = IP. ALTERNATIVA = comprende TUTTI i VALORI POSSIBILI del PARAMETRO, ESCLUSO il valore di H₀ (redi solto coincide con l’ip. che si spera essere vera) (NON è SPECIFICA)

→ MAI ACCETTATA!

STATISTICA TEST = grandezza calcolata sulla base dei dati campionari, utilizzata x valutare il GRADO di COMPATIBILITÀ dei dati stessi con il risultato che ci aspetteremmo se fosse vera H₀

DISTRIBUZIONE NULLA = DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA dei POSSIBILI VALORI che può assumere una STATISTICA TEST quando si ipotizza ehi sia VERA H₀.