Statistica (esercizi)

Esercizi

1. Distribuzione di frequenza

1.1.

Xififi/N1220,1331530,2001640,2671830,200totale151

1.3.

Xififi/N02500,45511500,27321000,1823300,0555150,027750,008totale5501

1. % di famiglie che non ha figli0,455 * 100 = 45,5%
2. Distribuzione di frequenza relativa delle famiglie con figliDivido la frequenza assoluta per il nuovo denominatore che esclude le famiglie senza figli (550 - 250)

2. Media e media ponderata

2.1.

Xifi/Nfi00,22527010,31517420,26531830,165198totale1,0001200

1. Distribuzione di frequenza assoluta
2. N. medio di auto tra tutte le famiglie del campioneCon frequenze relative:X̄ = 1 * 0,315 + 2 * 0,265 + 3 * 0,165 + 0,25 = 1,37Con frequenza assoluta:X̄ = 0 * 270 + 1 * 174 + 2 * 318 + 3 * 198 = 1,37
3. N. medio auto tra famiglie con almeno un'automobileX̄ = 1 * 174 + 2 * 318 + 3 * 198 / 1200 - 270 = 1,77
4. N. medio auto tra famiglie con meno di 2 autoX̄ = 0 * 270 + 1 * 174 / 1200 - 198 - 318 = 0,605

Esercizi

1. Distribuzione di frequenza

1.1.

XiFiFi/N 1220,133 1530,200 1640,267 1830,200 totale151

1.3.

XiFiFi/N 02500,255 11500,273 21000,182 3500,091 5150,027 750,008 totale5501

1. a) % di famiglie che non ha figli 0,255 · 100 = 25,5%
2. b) Distribuzione di frequenza relativa delle famiglie con figli

Divido la frequenza assoluta per il nuovo denominatore che esclude le famiglie senza figli (550 - 250)

2. Media e media ponderata

2.1.

XiFi/NFi 00,225270 10,315414 20,265318 30,165198 totale1,0001200

1. a) Distribuzione di frequenza assoluta
2. b) N. medio di auto tra tutte le famiglie del campione

Con frequenze relative:X̄ = 1 · 0,315 + 2 · 0,265 + 3 · 0,165 + 0,25 = 1,37

Con frequenza assoluta:X̄ = 0 · 270 + 1 · 414 + 2 · 318 + 3 · 198 = 1,37 / 1200

c) N. medio auto tra famiglie con almeno un automobileX̄ = 1 · 414 + 2 · 318 + 3 · 198 = 1,77 / 1200 - 270

d) N. medio auto tra famiglie con meno di 2 autoX̄ = 0 · 270 + 1 · 414 = 0,605 / 1200 - 199 - 318

f) Calcola la mediana

50% percentile, necessario calcolare la frequenza cumulata

• fi/N
• FI/N

La mediana è 1 automobile

• 0,225
• 0,225
• 0,345
• 0,570
• 0,265
• 0,835
• 0,165
• 1

g) Calcola l'83° percentile

È 2

2.2)

Xifi133 . 1 = 3212 . 1 = 2333 . 3 = 9totale711

Media del numero di plessi tra i circoli

X̄ = 11 / 7 = 1,2

2.3)

Xifi111 . 1 = 1242 . 2 = 8353 . 5 = 20545 . 2 = 20717 . 1 = 7818 . 1 = 8929 . 2 = 1810110 . 1 = 1011111 . 1 = 1120103

Media delle province tra le regioni

X̄ = 103 / 20 = 5,15

2.20)

AreaNumero degentiDegenza media (giorni)Nord6.001.0008,6Centro2.003.0009,6Sud e Isole3.365.0006,9totale10.372.000

Degenza media a livello nazionale.

X̄ = 1.600.000 ⋅ 8,6 + 2.003.000 ⋅ 9,6 + 3.765.000 ⋅ 6,9 = 8,176 giorni10.372.000

2.5)

• X̄k M F 16-24 30.186 87.936 25-34 196.179 163.151 35-44 36.573 19.760 45-54 8.273 4.752 55-oltre 5.606 2.339 277.138 277.138

a) Età media degli sposi

Maschi20 ⋅ 3086 + 30 ⋅ 196179 + 40 ⋅ 36573 + ...

Femminine20 ⋅ 87936 + 30 ⋅ 163151 + 40 ⋅ 19260 + ...

= 28,122 anni

2.6)

• Xk βI XM X̄N βI/N 0-9 200 1000 5 0,606 10-29 100 1000 10 0,303 50-249 25 1600 61 0,076 250-oltre 5 2500 500 0,015 totale 330 6100 1

a) Dipendenti med per azienda6100 ÷ 21.786 dipendenti= Num tot dipendenti per classe / num az

b) Se si conoscesse solo la media per classe dimensionale, come si ricava la media complessiva?1) Calcolo le frequenze relative2) La media complessiva è una media pesata con frequenze relativeX̄ =

3. Mediana, percentili e distribuzioni cumulate

3.1

Aumento 15% tra 3° quartile e 1° quintile3 ÷ 4 = 0,75 1 ÷ 5 = 0,8Aumento 25% tra 3° del 4° quintile1 ÷ 5 = 0,8

Se il salario è uguale al 3^o quintile non subisce un aumento.

3/5 + 0,6

3.2)

Xf_iP_i/NF_i/N2500050,3570,3573500070,5010,8586000010,0710,92910000010,07111L1

1. a) Reddito medio

̄X = 25.500·5 + 35.000·7 + 60.000·1 + 100.000·1 ÷ 11 = 38.036 €

2. b) Reddito mediano : 35.000 €
3. c) Se direttore e responsabile vendite non licenziano, il reddito medio diminuisce
4. d) Il reddito mediano non cambia

3.3 Il QI aumenta in entrambe le classi se si sposta dalla classe con QI medio maggiore quello con QI minore ma comunque maggiore rispetto al QI medio dell'altra classe.

3.L)

X_kCalabriaTrentinof_i/NF_i/Nf_i/NF_i/N10-20111120-304102330-4010203640-50305041050-601060102060-70696305070-80298207080-90199158590-1001100590100+010010100

b) Qual è il reddito mediano nelle 2 regioni? (Guardo F_i/N)

In Calabria è 45 milioni, in Trentino è 65 milioni.

c) Qual è il 1^o quintile ( ¹/₅ ) dei redditi nelle 2 regioni? (Guardo F_i/N)

In Calabria è 35 milioni, in Trentino è 55 milioni.

d) In quale delle 2 regioni si può calcolare il reddito medio?

Sì in Calabria, no in Trentino perché l'ultima classe è aperta e non ha F_i;

e) A quanto ammonta il reddito medio in Calabria?

X̄ = ^{15 ⋅ 1 + 25 ⋅ 6 + 35 ⋅ 10 + 45 ⋅ 30 + 55 ⋅ 10 + 66 ⋅ 6 + 75 ⋅ 2 + 85 + 95}

100

B.6

1618 iscritti a Torino

X_i F_i F_i/N F_i/N

→ Calcolo percentili (guardo F_i/N)

• 3^o percentile = 0,03 → 2
• 1^o decile = ¹/₁₀ = 0,1 → 12
• 3^o quintile = ³/₅ = 0,6 → 16
• 1^o quintile = ¹/₅ = 0,2 → 8
• 1^o quartile = ¹/₄ = 0,25 → 9
• 3^o decile = ³/₁₀ = 0,3 → 10
• 1^o ventile = ¹/₂₀ = 0,35 → 11
• 7^o decile = ⁷/₁₀ = 0,7 → 17
• 1^o ventile = ¹/₂₀ = 0,05 → 3
• 3^o ventile = ³/₂₀ = 0,15 → 7
• 1^o decile = ¹/₁₀ = 0,1 → 5
• 3^o quartile = ³/₄ = 0,75 → 18
• 4^o quintile = ⁴/₅ = 0,8 → 19
• 9^o decile = ⁹/₁₀ = 0,9 → 21
• 95^o percentile = 0,95 → 22
• Mediana = 0,5 → 11

B.7

10% popolazione ricca → diventa ancora più ricca

90% popolazione resta fermo

• a) Reddito medio: aumentato
• b) Reddito mediano: rimasto lo stesso
• c) Al 95^o percentile: aumentato

1. Varianza e deviazione standard

L.1) Vari calcoli

X_i | i1 | 12 | 43 | 9X̄ = 2

ΣX_i = 12

ΣX_i/N = 4,67

X²̄=

S² = Var = 0,67

√S² = 0,82

L.2)

X_i | p_i | X_ip_i | X_i² | X_i²p_i2 | 1 | 8 | 4 | 163 | 2 | 6 | 9 | 724 | 4 | 16 | 16 | 64

V = 16

ΣX_ip_i = 28

X̄ = 3X̄² = 9

ΣX_i²p_i = 152 -> ΣX_i²p_i/N = 9,5

Var = Σ(X_i - X̄)² p_i / N = 0,5

Dev.st. = √Var = 0,707

L.3) X_i | RE | Italia1 | 31,6 | 21,32 | 27,7 | 26,43 | 22,2 | 23,61 | 13,8 | 21,05 | 3 | 5,66 | 1,0 | 2,1

a) Calcolo media e varianza RE

X̄ = (31,6 + 2 • 27,7 + 3 • 22,2 + ... + 1 • 1,0) / 100

= 2,333

S² = (1 - 2,333)²31,6 + (2 - 2,333)²27,7 + (3 - 2,333)²22,2...

/ 100

= 1,47

b) Calcolo media e varianza Italia

X̄ =2 1,3 + 2 6 ,2 + 2e3 3 6 + 2 1 ,1 +5 ,6+5 2,716 = 2,695100

S₂ = (1-2,695)² 21,3 + (1-2,695)² 26,4 + (3-2,695)² (21+2.695)² 21+ .... = 1,65100

4.1.

Banca Rappresentanti 0 60 0 10 1 70 0 10 2 70 2 20 3 60 3 30 4 60 4 50 5 5 160 6 5 150 290 230

a) Calcolo media bancheinX̄ = 0.60 + 70 + 70 + 10 + 3.60 + 2.20...= 1,81 incidenti

b) Calcolo S² bancheinS² = (0.18)² 60 + (1,81) 70 + ...= 1,96

Ripeto lo stesso procedumento per rappresentanti

5 Standardizzazione di una variabile

5.1)

Mg Let Giur X̄ 96 106 101 S² 5,7 2,3 4,3

a) È relativamente meglio un 100 a Mg o 107 a Let?Z_i = 100 - 96 = 0,70 sopra la media → meglio un 100 a Ingegneria5,7Z_i = 107 - 106 = 0,23 sopra la media2,3

b) È relativamente meglio un 101 a Let o 100 a Giur?Z_l = 101-u106 = 0,872,3Z_g = 100-101 = 0,23 → meglio un 100 a Giurisprudenza4,3

c) È relativamente meglio un 96 a Mg o 101 a Giur?Z_i = 96 - 96 = 05,7 Z_g = 101 - 101 = 04,3

Nessuno perché sono entrambi nella media.

5.2

• Can: 55,000
• Mex: 18,000
• Ind: 7,000

X̅

• s²: 16,000
• 1,000
• 2,500

1. È relativamente più ricco un canadese che guadagna 70,000 o un ind 10,000?
• Z_c = (70,000 - 55,000) / 16,000 = 0,94 σ sopra la media
• Z_i = (10,000 - 7,000) / 2,500 = 1,2 σ sopra la media → meglio, più ricco
2. È relativamente più ricco un Mex che guadagna 15,000 o un ind 17,500?
• Z_m = (15,000 - 18,000) / 1,000 = -0,75 σ sotto la media
• Z_i = (17,500 - 7,000) / 21,500 = 0,21 σ sopra la media → più ricco
3. È relativamente più ricco un can che guadagna 50,000 o un mex 13,000?
• Z_c = (50,000 - 55,000) / 16,000 = -0,31 σ
• Z_m = (13,000 - 18,000) / 1,000 = -1,25

5.3

AnniFatturatoGiudizioMedia ponderataGraduatoriaPesi0,1150,250,60Mira535085Code536080Alba243075Media438080s²1,1135,599,08Max543085Min235075Δmax38010

Standardizzazione

• Mira: 0,709 -0,813 1,225 0,630 1
• Code: 0,709 -0,562 0 -0,034 2
• Alba: -1,118 1,105 -1,225 -0,596 3

Riproporzionamento

Media ponderata

Gradutoria

Mira 100 0 100

Code 700 12,5 50

Alba 0 700 0

75 1

28,1 2

25 3

Come stilare una graduatoria? (con pesi differenti)

• Calcolo media, varianza (dai, mi serve deviazione standard!), massimo, minimo e differenza tra essi relativi ai singoli entrate (senza considerare i pesi)

• Standardizzo i singoli valori e poi faccio una media ponderata: moltiplico i valori standardizzati per i relativi pesi. Stilo la graduatoria

• Riproporziono i singoli valori e poi faccio una media ponderata: moltiplico i valori riproporzionati per i relativi pesi. Stilo la graduatoria

6. La distribuzione normale

6.1) Calcolo probabilità

p(Z ≥ 1,15) = 0,5 - 0,226 = 0,074

p(Z ≤ 1,25) = 0,5 + 0,394 = 0,894

p(Z ≥ -0,4) = 0,5 + 0,155 = 0,655

p(Z ≤ -0,9) = 0,5 - 0,316 = 0,216

p(Z ≤ -2,90) = 0,5 - 0,498 = 0,002

p(0,35 ≤ Z ≤ 1,55) = 0,163 - 0,137 = 0,302

p(-0,35 ≤ Z ≤ 1,85) = 0,628 + 0,137 = 0,605

p(-1,75 ≤ Z ≤ -0,55) = 0,160 - 0,209 = 0,251

p(-2,1 < z < 2,5) = 0,941 + 0,035 = 0,976

p(-2,5 < z < 2,1) = 0,976

6.2 Calcolo quantili di Z

• 56 ° percentile = Z_0,56 = 56%Cerco 6% (0,06) nella seconda colonna della tavola.Il quantile che cerco è il relativo della prima colonna: 0,15Z_0,56 = 0,15
• 11 ° percentile = Z_0,11 = 11,1%Essendo nella parte negativa, cerco il suo complementare sapendo che:Z_p = -Z_1-p (Cerco: Z_0,56 = 0,15, dunqueZ_0,11 = -0,15
• 3 ° quintile = ³/₅ = Z_0,6 = 60%Z_0,6 = 0,25
• 91 ° percentile: Z_0,91 = 9%Z_0,91 = 1,35Z_0,09 = -1,35
• 95 ° percentile = Z_0,95 = 95%Z_0,95 = 1,65
• 20 ° percentile = Z_0,20 = 20%Z_0,80 = -0,25
• 2 ° quartile = ²/₄ = Z_0,5 = 50%Z_0,50 = 0 rappresenta la media e la mediana
• 6 ° percentile = Z_0,06 = 6%Z_0,94 = 0,10 Z_0,46 = -0,10
• 9 ° decile = ⁹/₁₀ = Z_0,9 = 90%Z_0,9 = 1,28

6.3) Ricavo Z dai valori di X con formula

• X = 233,75 con X ∼ N (190,25)
• Z = (233,75 - 190) / 25 = 1,75
• X = 6,8 con X ∼ N (3,1)Z = (6,8 - 3) / 1 = 0,7
• X = 111 con X ∼ N (100,10)Z = (111 - 100) / 10 = 1,1
• X = 131,25 con X ∼ N (150,15)Z = (131,25 - 150) / 15 = - 1,25
• X = -11 con X ∼ N (-10,5)Z = (-11 + 10) / 5 = -0,8

6.4) Ricavo X dai valori di Z con formula

• Z = 1,15 con X ∼ N (190,25)X = 190 + 1,15 * 25 = 218,75
• Z = -0,25 con X ∼ N (3,1)X = 3 - 0,25 * 1 = 0,5
• Z = 2,1 con X ∼ N (100,10)X = 100 + 2,1 * 10 = 121
• Z = -0,7 con X ∼ N (150,15)X = 150 - 0,7 * 15 = 139,5
• Z = -1,75 con X ∼ N (-10,5)X = -10 - 1,75 * 5 = -18,75

6.5) Calcolo probabilità e calcolo Z

• p ( X ≥ 233,75) con X ∼ N (190,25)
• Z = (233,75 - 190) / 25 = 1,75
• p ( Z ≥ 1,75) = 0,5 + 0,460 = 0,960