Statistica - convergenza di una successione

Convergenza di una successione di variabili casuali

Data una successione di n variabili casuali X₁, X₂, …, X_n, indicata con {X_n}, definite su un medesimo spazio campionario S, e data una variabile casuale X, definita sullo stesso spazio S, vi sono diversi modi di definire la convergenza della successione {X_n} alla variabile X.

Definizione 1 - Convergenza forte o convergenza quasi ovunque

Si dice che la successione {X_n} converge in modo forte a X se:

p(lim_n→∞ X_n = X) = 1.

In alternativa si può affermare che {X_n} converge in modo forte a X se, quasi ovunque:

lim_n→∞ X_n = X

Definizione 2 - Convergenza debole o convergenza in misura

Si dice che la successione {X_n} converge in modo debole a X se, per ogni ε>0:

lim_n→∞ p(|X_n - X| > ε) = 0

Definizione 3 - Convergenza in media quadratica

Si dice che la successione {X_n} converge in media quadratica a X se:

lim_n→∞ E[(X_n - X)²] = 0

Definizione 4 - Convergenza in distribuzione

Sia F_n(x) la funzione di ripartizione della generica n-esima variabile casuale X_n della successione di variabili casuali {X_n}.

Si dice che la successione {X_n} converge in distribuzione a X se, in ogni punto di discontinuità x di F(x):

lim_n→∞ F_n(x) = F(x)

Teorema 8 - Convergenza in distribuzione

Sia {X_n} una successione di variabili casuali e siano F_n(x) e C_n(t) le funzioni di ripartizione e la funzione caratteristica di X_n.

Se la successione delle f.c. {C_n(t)} converge, per ogni t, a C(t) e se questa è continua nel punto t=0, la successione {X_n} converge in distribuzione alla variabile casuale X che corrisponde alla C(t).

Ossia, se lim_n→∞ C_n(t) = C(t) allora {X_n} converge in distribuzione a X.

Relazioni tra i diversi tipi di convergenza

• La convergenza in media quadratica e la convergenza forte implicano entrambe la convergenza in probabilità.
• La convergenza in probabilità implica la convergenza in distribuzione.

Dimostrazione che la convergenza in media quadratica implica la convergenza in probabilità

Da Tchebicheff: P(⎮X- µ⎮≥ ε) ≤ P(⎮X_n - X⎮≥ ε) ≤ 2

da cui si vede che per n→∞, se E(X_n - X)² tende a 0, anche P(⎮X_n - X⎮≥ ε) tende a 0.

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