Statistica - convergenza di una successione

Convergenza di una successione di v.c.

Data una successione di n v.c X , X , …., X , indicata con {X }, definite su un medesimo1 2 n nspazio campionario S, e data una v.c. X, definita sullo stesso spazio S, vi sono diversimodi di definire la convergenza della successione {X } alla variabile X.

DEF. 1 - Convergenza forte o convergenza quasi ovunque.

Si dice che la successione {X } converge in modo forte a X se:

(lim X = X) =1.

In alternativa si può affermare che {X } converge in modo forte a X se, quasi ovunque:

lim X = X

DEF. 2 - Convergenza debole o convergenza in misura.

Si dice che la successione {X } converge in modo debole a X se, per ogni ε>0:

lim p(⏐X - X⏐> ) = 0 o anche lim p(⏐X - X⏐ ) = 1ε ≤ ε

DEF. 3 - Convergenza in media quadratica.

Si dice che la successione {X } converge in media quadratica a X se:

2lim E[(X - X) = 0]

DEF. 4 -

distribuzione.

Dimostrazione che la convergenza in media quadratica implica la convergenza in probabilità.

Da Tchebicheff: P(|X-μ| ≥ ε) ≤ P(|X - X| ≥ ε) ≤ n^2 da cui si vede che per n→∞, se E(X - X) tende a 0, anche P(|X - X| ≥ ε) tende a 0.

Le leggi dei grandi numeri

Procedendo a misurazioni si commettono molto spesso degli errori. Se si vuole stimare la misura reale della grandezza oggetto della misurazione, una soluzione è quella di considerare la media aritmetica delle misurazioni.

All'aumentare del numero di osservazioni la media aritmetica tende infatti a stabilizzarsi intorno ad un certo valore, che può assumersi come stima dell'entità incognita della grandezza.

La stabilità statistica della media, connessa ad un grande numero di osservazioni, è nota come legge empirica del caso o legge dei grandi numeri.

Sia {X } una successione di v.c. e sia la

corrispondente media aritmetica,n= .Sotto quali condizioni {X } converge alla costante µ?nOppure, più in generale, sotto quali condizioni ( - ) converge a 0, essendo lamedia aritmetica della successione {µ }?.n

Teorema 9 (formulazione di Tchebycheff)Sia {X } una successione di v.c. a due a due incorrelate Cov(X , X )=0, i≠j e sia E(X )= eµn i j n n2nVar(X )=σ . Allora senlim = 0n →∞la successione { - } converge in probabilità a 0, dove = e=DimostrazioneSi noti che E( ) = = inoltre, per l'incorrelazione, Var( ) =;Pertanto da Tchebycheff: lim p(⏐ - lim = 0⏐≥ ε) ≤n n→∞ →∞2i 2In particolare se = e = , persistono le medesime condizioni e {X } converge inµ µ σ σi nprobabilità a X.Teorema 10 (formulazione di Khintchin)Sia {X } una successione di v.c. indipendenti e identicamente distribuite (IID), con median 1nE(X )= Allora la successione { }, dove = X /n

è convergente in probabilitàµ.

Σn i ia µ.

Teorema 11 (formulazione di Bernoulli)

Premessa

Sia X la cosiddetta v.c. di Bernoulli (v.c. elementare) che può assumere i valori 1 (successo) e 0 (insuccesso) con probabilità p e 1-p = q. Si ha allora:

E(X) = 1 p + 0 q = p²

Var(X) = E(X²) - [E(X)]² = (1 p + 0 q) - p = p - p = p(1-p) = p q.

Si consideri la v.c. S = X₁ + X₂ + … + X_n essendo queste n v.c. indipendenti, con media np e varianza npq (IID). Allora:

E(S) = np e Var(S) = npq.

S rappresenta il numero di successi in n estrazioni indipendenti, ovvero di tipo Bernoulliano.

Sia R = S/n la frequenza relativa di successi in n prove indipendenti.

E(R) = p e Var(R) = pq/n.