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Statistica - convergenza di una successione

Appunti di Statistica sulla convergenza di una successione. Nello specifico gli argomenti trattati sono: convergenza forte o convergenza quasi ovunque, convergenza debole o convergenza in misura, convergenza in media quadratica, convergenza in distribuzione, relazioni tra i diversi tipi di convergenza, le leggi dei grandi numeri.

Esame di Statistica docente Prof. -. Non

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Le leggi dei grandi numeri

Procedendo a misurazioni si commettono molto spesso degli errori. Se si vuole stimare la

misura reale della grandezza oggetto della misurazione, una soluzione è quella di

considerare la media aritmetica delle misurazioni.

All'aumentare del numero di osservazioni la media aritmetica tende infatti a stabilizzarsi

intorno ad un certo valore, che può assumersi come stima dell'entità incognita della

grandezza.

La stabilità statistica della media, connessa ad un grande numero di osservazioni, è nota

come legge empirica del caso o legge dei grandi numeri.

Sia {X } una successione di v.c. e sia la corrispondente media aritmetica,

n

= .

Sotto quali condizioni {X } converge alla costante µ?

n

Oppure, più in generale, sotto quali condizioni ( - ) converge a 0, essendo la

media aritmetica della successione {µ }?.

n

Teorema 9 (formulazione di Tchebycheff)

Sia {X } una successione di v.c. a due a due incorrelate Cov(X , X )=0, i≠j e sia E(X )= e

µ

n i j n n

2n

Var(X )=σ . Allora se

n

lim = 0

n →∞

la successione { - } converge in probabilità a 0, dove = e

=

Dimostrazione

Si noti che E( ) = = inoltre, per l'incorrelazione, Var( ) =

;

Pertanto da Tchebycheff: lim p(⏐ - lim = 0

⏐≥ ε) ≤

n n

→∞ →∞

2i 2

In particolare se = e = , persistono le medesime condizioni e {X } converge in

µ µ σ σ

i n

probabilità a X.

Teorema 10 (formulazione di Khintchin)

Sia {X } una successione di v.c. indipendenti e identicamente distribuite (IID), con media

n 1n

E(X )= Allora la successione { }, dove = X /n è convergente in probabilità

µ. Σ

n i i

a µ.

Teorema 11 (formulazione di Bernoulli)

Premessa

Sia X la cosiddetta v.c. di Bernoulli (v.c. elementare) che può assumere i valori 1

(successo) e 0 (insuccesso) con probabilità p e 1-p = q. Si ha allora:

E(X) = 1 p + 0 q = p

2 2 2 2 2 2

Var(X) = E(X ) - = (1 p + 0 q) - p = p - p = p(1-p) = p q.

[E(X)]

Si consideri la v.c. S = X + X + … + X essendo queste n v.c. indipendenti, con media p

n 1 2 n

e varianza pq (IID). Allora:

E(S ) = np e Var(S ) = npq.

n n

S rappresenta il numero di successi in n estrazioni indipendenti, ovvero di tipo

n

berenoulliano.

Sia R = S /n la frequenza relativa di successi in n prove indipendenti.

n n

E(R ) = = p e Var (R ) = =

n n


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AUTORE

luca d.

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Statistica
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
Docente: Non --
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher luca d. di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Non --.

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