Statistica

#CHI QUADRATO NORMALIZZATO

chi-max<-(sum(tab_oss))*(min(dim(tab_oss-1))

chi_norm<-chi_quad/chi_max

Data la v.c Poissoniana X con λ =3,2 calcolare: a) la probabilità che x=10; b) la probabilità che x< 13; c) la probabilità che x>22 e che x sia ricompreso fra 30 e 40

10 3,2 -3

a. P(x=10)/3,2 /10!*e- =1,26*10 =0,00126

13 x 3,2 3,2 ≅0,04

b. p(x<13)/F(x)=p(x≤x)=∑ 3,2 /x!* e- e-

x=0

1 2 3 4 13

3,2°/0!*0,04+3,2 /1!*0,04+3,2 /2!*0,04+3,2 /3!*0,04+3,2 /4!*0,04+…3,2 /13!*0,04= ≅

=0,04+0,128+0,2048+0,21+0,17+0,11+0,04+0,0272+0,0109+0,0039+0,00124+0,000361+0,000361+0,00002369 0,95

22 x -3,2

c. P(x>22)/1-P(x≤22)=1-∑ (3,2 /x!*e )

x=0

40 x -3,2

d. P(30≤x≤40) = ∑ (3,2 /x!* e )

x=30

Data la v.c Uniforme continua X ricompresa nell’intervallo 20-50 calcolare: a) la probabilità che x=28; b) la probabilità che x< 32; c) la probabilità che x> 37 e che x sia ricompreso fra 31 e 44

Intervallo (20-50)

a. P(x=28)

=0 nelle uniformi continue la probabilità puntuale è NULLA

b. P(x<32)=F(32)-F(20)=

=(0,0333*32)-(0,0333*20)=0,3996

c. P(x>37)= 1-P(x<37)=1-[F(37)-F(20)]=

=1-[(0,033*37)-(0,0333*20)]=1-0,5661= 0,4339

d. P(31≤x≤44)=F(44)-F(31)=

=(0,0333*44)-(0,0333*31)=1.4652-1.0323=0.4329

Data la v.c. Binomiale X con p=0,07 e n=11 calcolare: a) la probabilità che x=0; b) la probabilità che x< 3; c) la probabilità che x>2 e che x sia ricompreso fra 3 e 4

Prob Binomiale p=0,07 n=11

a. P(x=0) 11-0

p(X=0)= 11 *0,07°*(1-0.07) =

0 11

11! = 1*1*(0.93) =0.45

0!(11-0)!

b. P(x<3) [=0,1,2]

P(x<3)=P(x=0)+ P((x=1)+ P(x=2)=

11-0 1 11-1 2 11-2

= 11 *0,07°*(1-0.07) + 11 *0,07 *(1-0.07) + 11 *0,07 *(1-0.07) =

0 1 2

= 0.45+0.37+0.14= 0.96

c. P(x>2)

P(x>2)=1-P(x≤2)=1- [P(x=0)+ P(x=1)+ è(x=2)]

stessi 

calcoli di sopra 1-0.96= 0.04

d. P(3≤x≤4)

P(x=3) + P(x=4)

3 8 4 7

11 * 0,07 * (1-0.07) + 11 * 0.07 * (1-0.07) =

3 4

9*10 3 8 8*9*10 4 7

11! * 0.07 * (1-0.07) + 11! * 0.07 * (1-0.07) =

3!(11-3)! 4!(11-4)!

0,0317+0,0048= 0,0365

Data la v.c. Binomiale X con p=0,07 e n=11 con quali script di R si calcola: a) la probabilità che x=0; b) la probabilità che x< 3; c) la probabilità che x>2 e che x sia ricompreso fra 3 e 4

#DATI

n<-11

p<-0,07 

#PROBABILITA’ (X=0) densità

dbinom(0,11,0.07) 

#PROBABILITA’ (X<3) cumulata

pbinom(2,11,0.07) 3 escluso

#PROBABILITA’ (X>2)

1-pbinom(2,11,0.07)

#PROBABILITA’ (3≤X≤4)

dbinom(3,11,0.07)+dbinom(4,11,0.07)

Data la v.c. binomiale X con parametri p=0,23 e n=80 Bin~(80;0,23) con quali linee di codice di R si calcola: a) la probabilità che p(X<18); la probabilità che P(X>19); la probabilità che X sia ricompreso

fra 17,8 e 19,2

Data la v.c. continua Chi-quadrato X con n=23 descrivere con quali script si calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria e di curtosi

g<- 23

a. var <- 2^g ; var

b. sd<- sqrt 8var); sd

c. asim <- sqrt (g/8); asim

d. curt <- 12/g

Data la v.c. continua Chi-quadrato X con n=23 descrivere con quali script si calcola: a) la probabilità che x=8; b) la probabilità che x< 3; c) la probabilità che x> 17 e che x sia ricompreso fra 13 e 20

a. p8 <- pchisq (8,23); p8

b. p3<- pchisq (3,23)

c. p17<-1-pchisq(17,23); p17

p20<-pchisq (20,23); p20- p13

d. p13<- pchisq (13,23)

Data la v.c. continua F di FisherX con g1=16 e g2=24 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=18; b) la probabilità che x< 22; c) la probabilità che x> 17 e che x sia ricompreso fra 14 e 19

#DATI

g1<-16

g2<-24

#PROBABILITA’ (X=18)

df(18,g1,g2)

#PROBABILITA’ (X<22)

pf(22,g1,g2)

#PROBABILITA’ (X>17)

1-pf(22,g1,g2)

#PROBABILITA’ (14≤x≤19)

pf(19,g1,g2)-pf(14,g1,g2)

Data la v.c. continua F i di Fisher X~ F (11,24) come si calcola a) il valore atteso; b) la varianza; c) la deviazione standard?

E(F)=1,09; Var(F)=17280; Dv.std(F)=131,45

Data la v.c. continua Normale standardizzata X con media=0 e dev.std=1 impostare le formule per il calcolo: a) della probabilità che x< 3,2; b) della probabilità che x> 3,7; c) della probabilità che x

sia ricompreso fra 3,1 e 4,4

a. P(x=2.8)=0

b. P(x<3.2)= P(z<3.2-0/1)= ρ (3.2)=0.9993

c. P(x<3.7)= 1-P (z<3.7-0/1)=1- ρ (3.7)= 1-0.9999=0.0001

d. P(3.1<x<4.4)= p(3.1<z<4.4)= ρ (4.4)- Ꝕ(3.1)=1-0.9990=0.001

Data la v.c. continua Normale standardizzata Z con media=0 e dev.std=1 con quali script di R si calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria e di curtosi

a. Var<-ds^2; var

b. Ds<-1

c. Sim<-0

d. Kurt<-3

Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 come si calcolano: a) la probabilità che x=4,1; b) la probabilità che x< 3,9; c) la probabilità che x> 4,4 e che x sia ricompreso fra 4,2 e 4,5

a. P(x=4.1) x~N (4.7;4.41) Z=x-11

P(x=4.1) = 0 probab. puntuale σ=2.1

b. P(x<3.9)

P(x<3.9) = P(z< 3.9-4.7/2.1)= P(z<-0.3809)= ρ (-0.38)= 0.3520

c. P(x > 4.4)

1-P(x≤4.4)=1-P(z≤4.4-4.7/2.1)= 1-P(z≤-0.1429)=1- ρ(-0.14)=1-0.4443=0.5657

d. P(4.2≤x≤4.5)

P(x≤4.5)-P(x<4.2) = P(z≤4.5-4.7/2.1)- P(z<4.2-4.7/2.1)=

P=(z≤-0.0952)-P(z<-0.2380)= ρ (-0.10) – ρ(-0.24) = 0.4602-0.4052= 0.055

Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script di R si calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria e di curtosi

#VARIANZA

sd^2

#ASIMMETRIA

Ias<-0

#CURTOSI

Icur<-0

Data la v.c. continua Normale X con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script di R si calcola: a) la probabilità che x=4,1; b ) la probabilità che x< 3,9; c) la probabilità che x> 4.4 e che x sia ricompreso

fra 4,2 e 4,5

#DATI

mean<-4.7

sd<-2.1 #PROB

(X=4.1)

dnorm(4.1, mean,sd)

#PROB (X<3.9)

pnorm(3.9,mean,sd)

#PROB(X>4.4)

1-pnorm(4.4,mean,sd)

#PROB (4.2≤X≤4.5)

pnorm(4.5,mean,sd)-pnorm(4.2,mean,sd)

Data la v.c. continua t di Student X con n=23 con quali script di R si calcola: a) la probabilità che x=2; b) la probabilità che x< 12; c)la probabilità che x> 17 e che x sia ricompreso fra 11 e 14

a. p2<-pt(2,23);p2

b. p12<-pt(12,239;p12

c. p17<-1-pt(17,23);p17

d. p14<-pt(14,23); p11<-pt(11,23); p14-p11

Data la v.c. continua t di Student X con n=23 con quali script si calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c)l’indice di asimmetria e di curtosi

A. g<-23; var <-g/(g-z); var

B. sqm <- sqrt (var); sqm

C. assimetria <- 0

D. kurt<- 6 / (g-4); kurt

Data la v.c. continua Normale standardizzata Z con media=0 e dev.std=1 con quali script di R si calcola: a) la probabilità ch e x=2,8; b) la probabilità che x< 3,2; c) la probabilità che x> 3,7 e che x sia

ricompreso fra 3,1 e 4,4

a. P2_8<-pnom(2.8,0,1),P2_8

b. P3_2<-pnom(3.2,0,1);p3_2

c. P3_7<-1-pnom(3.7,0,1);p3_7

d. P4_4<-pnom(4.4,0,1); p3_1<-pnom(3.1,0,1); p4_4 – p3_1

Data la v.c. Poissoniana X con λ=3,2 con quali script di R si calcola: a) la probabilità che x=10; b) la probabilità che x< 13; c) la probabilità che x>22 e che x sia ricompreso fra 30 e 40

#DATI

ℓ<-3.2

#PROB(X=10) prob. puntuale (n, ℓ)

dpois(10, 3.2)

#PROB (X<13)

ppois(12, 3.2)

#PROB (X>22)

1-ppois (22, 3.2)

#PROB (30≤X≤40)

ppois(40,3.2)-ppois(30,3.2)

Data la v.c. t continua di Student X con n=23 impostare la formula per calcolare: a) la probabilità che x< 12; b) la probabilità che x> 17; c) la probabilità che x sia ricompreso fra 11 e 14

gradi

n=23 di libertàsi lavora con g=n-1g=23-1

a. P(x=2)= 0 p punt nulla

b. P(x<12)

P(x<12)= ρ (12,g=22)= 0.9995

c. P(x>17)

1-P (x≤17)=1- ρ(17, g=22)= 1-0.9995=0.0005

d. P(11≤x≤14)

P(x≤14) – P(x<11)

Ρ(14,g=22) – ρ(11, g=22)= 0.9995-0.9995=0

Data la v.c. Uniforme continua X con a=10 e b= 25 calcolare: a) il valore atteso; b) la varianza e la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria e di curtosi e lo scostamento?

Data la v.c. Uniforme continua X ricompresa nell’intervallo 20-50 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=28; b) la probabilità che x< 32; c) la probabilità che x> 37 e che x sia ricompreso fra

31 e 44

#DATI

a<-20 estremi intervallo

b<-50

#PROB (X=28)

dunif(28,min=a, max=b)

#PROB (X<32)

punif(32,min=a, max=b)

#PROB (X>37)

1-punif(37,min=a, max=b)

#PROB (31≤x≤44)

punif(44,min=a, max=b)- punif(31,min=a, max=b)

Data la v.c. X ed estratto un campione di 85 famiglie la sommatoria delle xi è pari a 67 e quella delle xi2 pari a 169 calcolare: a) il valore atteso; b) la varianza; c) la numerosità campionaria

Valore atteso =0,79 Varianza =1,38

Data la varianza del peso del tondino pari a 36 gr ed estratto un campione di 397 tondini con un peso medio pari a 987 grammi e un livello di significatività dell’1% con quali script di R si calcola: a)

il limite superiore dell’intervallo di confidenza per la media con varianza nota; b) il limite inferiore dell’intervallo di confidenza per la media con varianza nota; c) la numerosità campionaria e

l’ampiezza dell’intervallo

#INTERVALLO CONFIDENZA MEDIA CON VARIANZA NOTA

##DATI

var<-36

n<-397

mx_camp<-987

##LIMITE SUPERIORE INTERVALLO

l.sup<-mx_camp+qnorm(0.995)*sqrt(var/n)

##LIMITE INFERIORE INTERVALLO

l.INF<-mx_camp-qnorm(0.995)*sqrt(var/n)

##AMPIEZZA INTERVALLO

amp_int<-2*qnorm(0.995)*sqrt(car/n)

##NUMEROSITA’ CAMPIONARIA

num_camp<-round((qnorm(0.995)^2*S^2)/amp_int^2)

2 2

n=(z ) σ

-α/2

a 2

Data un v.c. binomiale con n=120 e p=0,49 che, secondo il teorema del limite centrale converge e si approssima ad una Normale, quali linee di codice di R si implementano per calcolare: a) lo

stimatore intervallare con α=0,05; b) la sua ampiezza; c) la numerosità campionaria per un valore massimo del termine di errore pari a 0,047

Data un v.c. Normale con n=29, mu=987 e varianza stimata 1,285714 quali linee di codice di R si implementano per calcolare a) lo stimatore intervallare per il peso medio μ incognito ad un livello

di significatività del 5%; b) la sua ampiezza; c) la numerosità campionaria per un valore massimo del termine di errore