Statistica - calcolo combinatorio e probabilità - Appunti

Calcolo delle probabilità e fattoriale

P(n) = P = n (n - 1) (n - 2) ... 2 1 = n! (3) 5R. SANTORO: Elementi di calcolo delle probabilità dove abbiamo anche una nuova notazione (n!, da leggere n fattoriale), appunto per indicare il prodotto suddetto. Con la nuova notazione, possiamo riscrivere la (1) in questa nuova forma (la facile dimostrazione si lascia per esercizio al lettore): A proposito di fattoriale, mentre risulta immediato che 1! = 1, dobbiamo ammettere, per convenzione e per dare un senso alla (1') quando n = k, che 0! = 1.

Esempio 6 Calcoliamo il numero di permutazioni di 6 elementi. Abbiamo: P(6) = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720.

Esempio 7 In quanti modi 4 persone possono sedersi in fila? (ricordate l'esempio del paragrafo 1.1?) Abbiamo: P(4) = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Il fattoriale di un numero cresce rapidamente al crescere del numero, come si può vedere dalla tabella della pagina seguente che fornisce il fattoriale di alcuni numeri.

numeri:

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
...	...
69	1711224524281413113724683388000000000

I fattoriali della tabella precedente sono stati calcolati con una normale calcolatrice scientifica, il che comporta due limitazioni:

• a partire da 14!, si perde in precisione; questa limitazione può essere evitata ad esempio con un programma per computer capace di effettuare calcoli in multiprecisione
• è possibile calcolare, con l'ausilio della funzione predefinita x!, il fattoriale di un numero x fino ad un valore di x uguale a 69 (la calcolatrice può fornire risultati fino a 10^99); all'ordine di grandezza anche questa limitazione può essere evitata sia con un opportuno programma per computer, sia utilizzando la formula approssimata di Stirling: n - n√n! ≈ n * e^(-n) * √(2πn)

Cap. 1: Calcolo combinatorio che fornisce un valore approssimato del fattoriale di un numero n per valori abbastanza grandi di n.

Anche per le permutazioni possiamo considerare la possibilità della ripetizione di tutti gli elementi; in questi casi la formula (2) è ancora applicabile, sostituendo, al posto di k, n.

Esempio 8: Disponendo di bandiere di cinque tipi differenti, quanti messaggi si possono formare con queste bandiere, se possiamo avere anche la ripetizione delle stesse?

Abbiamo: D'(5,5) = 3125.

Supponiamo ora di voler calcolare il numero delle permutazioni delle lettere contenute nella parola LOLLO, parola in cui la lettera L è ripetuta 3 volte e la lettera O due volte. In casi come questi, si parla di permutazioni con ripetizioni (nel nostro esempio, di 5 elementi di cui uno presente 3 volte ed uno presente due volte). Per calcolare il numero di queste permutazioni supponiamo, in un primo momento, che le lettere ripetute non siano uguali ma

Gli studenti che non conoscono ancora queste funzioni possono applicarla successivamente per calcolare, ad esempio, un valore approssimato di 150! e 2500!. 7R. SANTORO: Elementi di calcolo delle probabilità n!P ( n , k , k ,..., k ) = (4)1 2 r k !k !... k !1 2 r Esempio 9: Vogliamo fare una ripartizione di 15 studenti in 3 classi: 5 nella classe A, 4 nella classe B e 6 nella classe C. In quanti modi possiamo fare questa ripartizione? Possiamo risolvere il problema proposto supponendo che la ripartizione sia già fatta e che i 5 studenti della classe A siano paragonabili a cinque A ripetute, i 4 studenti della classe B siano paragonabili a quattro B ripetute ed infine che i 6 studenti della classe C siano paragonabili a 6 C ripetute. Quindi il numero cercato è: 15! / (5! * 4! * 6!) = 630630. 5! 4 ! 6! 1.4 Combinazioni semplici Supponiamo che una classe di 15 alunni debba mandare una delegazione di tre studenti ad un certo congresso. In quanti modi diversi è possibile?

Scegliere gli studenti della delegazione? Il problema somiglia molto ad un problema di disposizioni semplici, solo che, in questo caso, l'ordine con cui vengono scelti i 3 studenti non ha alcuna importanza. Allora se A, B e C sono tre studenti scelti, le permutazioni semplici dei tre studenti conducono sempre alla stessa scelta. Dunque dobbiamo calcolare le disposizioni semplici di 15 elementi presi 3 alla volta e dividere il risultato per 3!; avremo quindi che il numero richiesto è: 15 * 14 * 13 / 3! = 455.

In casi come questi, in cui due raggruppamenti sono diversi soltanto se hanno almeno un elemento diverso, si parla di combinazioni semplici di n elementi presi k alla volta: il cui numero indicheremo con C(n,k) o con .C

Da quanto visto sopra abbiamo facilmente che: D(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Dunque, combinando la formula precedente con la (1'), avremo: n! / (k! * (n - k)!) = C(n, k)

Esempio 10 Gioco del Lotto. Anche questo è un gioco molto popolare in Italia. In un'urna

Ci sono 90 palline numerate da 1 a 90. Vengono estratte, una dopo l'altra e senza reimmissione, 5 palline. Si vince se si riesce ad indovinare, in una giocata precedente l'estrazione, una coppia di numeri (ambo), una terna di numeri (terno), una quaterna di numeri (quaterna), i 5 numeri (cinquina). Calcolare il numero di ambi, terni, quaterne, cinquine possibili.

In tutti i casi si tratta di combinazioni semplici di 90 elementi presi 2, 3, 4 o 5 alla volta, rispettivamente. Quindi possiamo scrivere:

90! / (2! * 88!) = C(ambi) = 45,089 = 4,005

90! / (3! * 87!) = C(terni) = 117,480

90! / (4! * 86!) = C(quaterne) = 2,555,190

90! / (5! * 85!) = C(cinquine) = 43,949,268

Come si vede dal calcolo precedente, se da una parte è relativamente semplice realizzare un ambo, diventa sempre più difficile realizzare un terno, una quaterna, una cinquina (quasi 44 milioni).

di quintine possibili!). Sarebbe interessante anche esaminare come lo Stato, gestore del gioco, ricompensa (si fa per dire...) le eventuali vincite.

Esempio 11: Nella figura sottostante è rappresentato un reticolato formato da 36 quadrati; ciascun vertice dei quadrati viene individuato da una coppia di numeri (che potrebbero essere le coordinate cartesiane dei vertici stessi), da 0 a 9 in orizzontale e da 0 a 4 in verticale. In quanti modi diversi si può andare, seguendo i lati dei quadrati, dal punto (0,0) al punto (9,4)?

(0,4) (9,4)

(0,0) (9,0)

Possiamo rappresentare i diversi spostamenti usando il simbolo d per indicare uno spostamento orizzontale verso destra, il simbolo a per indicare uno spostamento verticale verso l'alto. Allora uno dei possibili itinerari (rappresentato in figura) è: dddaadddaddad.

9R. SANTORO: Elementi di calcolo delle probabilità

Evidentemente bisogna percorrere, in orizzontale o in verticale, tredici cammini unitari e possiamo scegliere 9 o

4 di questi cammini come è immediato rendersiconto. Quindi avremo che il numero dei cammini richiesto è dato da:

13! / (13-9)! * 9! = 2860,9

oppure da: 13! / (13-4)! * 4! = 2860.4

Dall'esempio precedente abbiamo visto che:

C(13,9) = C(13,4) = 913

Il risultato dell'esempio precedente è del tutto generale e può essere dimostrato in modo diretto a partire dalla (5). Possiamo allora concludere che:

C(n,k) = C(n,n-k)

1.5 Coefficienti binomiali e binomio di Newton

Tenendo conto delle convenzioni fatte sul fattoriale di un numero, possiamo facilmente verificare che, fissato n e facendo variare k da k = 0 fino a k = n, abbiamo la seguente tabella dei valori di C(n,k) per i primi 8 valori di n:

n\k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

La tabella precedente ci suggerisce alcune osservazioni:

C(n,n) = 1

C(n,0) = 1

Per ogni n: C(n,0) = C(n,n) = 1

ⁿC_k = ⁿC_k Questa circostanza è stata messa in evidenza nella tabella, dove si può notare, ad esempio, che: ⁵C₁ + ⁵C₂ = 5 + 10 = 15 = ⁶C₂ ⁷C₄ + ⁷C₅ = 35 + 21 = 56 = ⁸C₅ c) Se guardiamo i numeri di ogni riga, ci viene subito da pensare ai coefficienti numerici dello sviluppo di (x + y) (potenza n-esima di un binomio). Per esempio, lo sviluppo: (x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ ha i coefficienti numerici 1, 4, 6, 4 e 1, corrispondenti ai valori forniti dalla tabella precedente per n = 4. Per questo motivo i numeri forniti dalla tabella precedente si chiamano anche coefficienti binomiali e si indicano con ⁿC_k da leggere "n su k" (senza alcuna relazione con la divisione!). È evidente che utilizzando il nuovo simbolo per i coefficienti binomiali, risulta: ⁿC_k = ⁿC_kformula del binomio di Newton: ⁿC_k = n! / (k! * (n-k)!) Dove n è l'esponente del binomio, k è l'indice del termine desiderato e n! rappresenta il fattoriale di n. Ad esempio, per calcolare il coefficiente binomiale del termine di grado 3 nel binomio (a + b)^5, si utilizza la formula: ⁵C₃ = 5! / (3! * (5-3)!) Risolvendo i fattoriali e semplificando l'espressione, otteniamo: ⁵C₃ = 5! / (3! * 2!) = 5 * 4 / (3 * 2) = 10 Quindi, il coefficiente binomiale del termine di grado 3 nel binomio (a + b)^5 è 10.