Appunti statistica

Il rapporto di correlazione e la spezzata di regressione

Il rapporto di correlazione vale 0 quando le medie parziali sono tutte uguali e 1 quando la varianza nei gruppi è nulla. Se entrambi i caratteri sono quantitativi si possono calcolare due rapporti di correlazione.

La spezzata di regressione è un grafico che rappresenta la dipendenza delle medie di un carattere dai valori dell'altro: nel caso della dipendenza in media di Y da X, nel piano cartesiano si uniscono con segmenti diretti i punti di coordinate (X,Y); nel caso della dipendenza in media di X da Y, nel piano cartesiano si uniscono con segmenti di retta i punti di coordinate (Y,X).

I punti non hanno lo stesso peso perché ogni media è la sintesi di un diverso numero di osservazioni. La spezzata rappresenta una tendenza statistica.

La serie doppia semplice è la tabella che riporta i dati elementari riferiti a due caratteri quantitativi X e Y rilevati congiuntamente su ognuna delle N unità della popolazione.

La serie doppia ponderata è la tabella...

punto è nel I o III quadrante.

Si ottiene un indice di concordanza sintetizzando le N covariazioni con la loro media aritmetica, detta Covarianza.

Cov(X,Y)>0 significa che i due caratteri tendono ad assumere valori concordanti e Cov(X,Y)<0 significa che i due caratteri tendono ad assumere valori discordanti.

Se i due caratteri X e Y subiscono le trasformazioni con a, b, c e d costanti allora . La dimostrazione si ottiene sostituendo agli scarti in Z e W le loro corrispondenti espressioni X e Y.

Si può dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz s.s.s. tutti i punti giacciono su una retta.

Cov(X,Y) è la misura del legame lineare tra i due caratteri. Se tra X e Y c'è indipendenza distributiva allora la covarianza è uguale a zero (non vale il viceversa). Se almeno un carattere è indipendente in media dall'altro allora la covarianza è uguale a zero (non vale il viceversa).

Il segno della covarianza indica il verso del legame lineare tra

interpolazione più utilizzato è il metodo (o condizione) dei minimi quadrati: i valori da attribuire a p0 e p1 sono quelli che rendono minima la somma dei quadrati dei residui U. Per garantire il minimo è necessario che le due derivate parziali (rispetto a p0 e p1) siano nulle.

Proprietà delle medie: le medie dei valori osservati e interpolati sono uguali; la retta passa per il punto con coordinate le medie.

Retta interpolante

Scambiando i ruoli delle variabili si può considerare anche il modello di regressione. La condizione dei minimi quadrati è

Il coefficiente di correlazione lineare è la media geometrica dei coefficienti angolari delle due rette di regressione.

A volte il diagramma di dispersione evidenzia una tendenza che non può essere adeguatamente rappresentata con la retta interpolante. In questi casi, opportune trasformazioni di una o di entrambe le variabili permettono di linearizzare la relazione. Si può quindi utilizzare

“spiega” tutta la variabilità di Y; in tal caso tutti i punti(xi ; yi) giacciono sull'interpolante.

Quando si dispone di una serie doppia ponderata, il problema dei minimiquadrati assume la seguente forma:

L’interpolazione ponderata si impiega anche quando le informazionisono riportate in una tabella a doppia entrata. Nel casodell’interpolazione delle medie parziali di Y|X si ha la condizione deiminimi quadrati.

Si può dimostrare che tale soluzione coincide con quella che si ottienedalla condizione:

L’interpolazione per la serie doppia ponderata equivaleall’interpolazione per la tabella bivariata. In questo caso sitratta quindi di interpolare con una retta i punti della spezzata diregressione.

Si possono calcolare due indici di adattamento: ‘indice di determinazionedella varianza totale e indice dideterminazione della varianza fra medie.

Ogni singola esecuzione di un esperimento è detto prova.

Un esperimento può essere deterministico.

se la conoscenza delle cause o leggi da cui dipende permette di prevedere con certezza il risultato, o aleatorio, se la conoscenza delle cause o leggi da cui dipende non permette di prevederne con certezza il risultato. Di solito si richiede che un esperimento aleatorio sia ripetibile nelle stesse condizioni e tutti i possibili esiti siano definibili in anticipo. Si distingue tra evento elementare (E), il singolo risultato di una prova, e evento composto (A, B, ...), l'insieme di eventi elementari. Utilizzando le regole dell'algebra degli insiemi si possono definire altri tipi di eventi: Il diagramma di Venn è utile per rappresentare le relazioni tra insiemi. Si distingue anche tra evento impossibile, evento che non si verifica mai, evento aleatorio (probabile, possibile, casuale), evento che si verifica a volte, e evento certo, evento che si verifica sempre. Lo spazio di tutti i possibili eventi elementari di un esperimento viene detto spazio campionario (Ω). A e B sono detti

eventi incompatibili se A∩B=∅. La definizione classica di probabilità presuppone che, dato un esperimento con N possibili risultati equiprobabili, la probabilità di un evento A è il rapporto fra il numero dei risultati favorevoli al suo verificarsi e il numero N dei risultati possibili.

La definizione frequentista di probabilità presuppone che, dato un esperimento ripetibile nelle stesse condizioni, la frequenza relativa con cui si presenta un evento A all'aumentare delle prove tende alla sua probabilità.

La definizione soggettivista di probabilità presuppone che la probabilità di un evento A è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce all'avverarsi di A. Data la quota p che un individuo ritiene equo scommettere con un altro che punta q se si verifica A, si ha.

L'impostazione assiomatica associa ad ogni esperimento un insieme Ω detto spazio campionario (probabilistico, degli eventi).

Cui elementi sono tutti i suoi possibili risultati semplici. Di solito interessa valutare la probabilità di risultati complessi dell'esperimento. La probabilità è una funzione che ad ogni A∈Ω associa un numero reale in modo da soddisfare i seguenti assiomi:

Sulla base dei precedenti postulati si dimostra che:

Impiegando il diagramma di Venn si ricavano facilmente altre importanti proprietà.

La probabilità dell'evento condizionato (A|B) viene detta probabilità condizionata di A dato B. Dipende stocasticamente da B.

Si può pure calcolare la probabilità condizionata di B dato A, per P(A) > 0. B dipende stocasticamente da A.

A è stocasticamente indipendente da B se P(A|B) = P(A). B è stocasticamente indipendente da A se P(B|A) = P(B).

L'indipendenza stocastica è una relazione simmetrica. Infatti, poiché P(A∩B) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A), da entrambe le definizioni si ricava che P(A∩B) = P(A)*P(B).