Calcolo Combinatorio, Probabilità e statistica

UNO, UON, NUO, NOU, OUN, ONU

I possibili anagrammi della parola UNO sono quindi 6.

Se ora volessi determinare il numero di anagrammi della parola “CINQUE” , avendo più

lettere, sarebbe difficile farlo utilizzando il metodo precedente. Utilizzare perciò in questo

caso il metodo delle permutazioni semplici:

Dati n elementi distinti, tutti i possibili raggruppamenti formati in modo tale che:

 Ognuno di essi contenga tutti e soli gli n elementi dati

- Ogni raggruppamento differisca dall’altro per l’ordine secondo cui gli elementi si

- susseguono

Si dicono permutazioni semplici e si indicano con dove la n sta ad indicare appunto

il numero degli elementi di cui vogliamo calcolarne le permutazioni.

Il numero delle permutazioni semplici è quindi dato da:

Perciò, ritornando all’esempio della parola CINQUE, parola di 5 lettere tutte diverse fra

loro, utilizzando il metodo delle permutazioni semplici si trova che le possibili parole

composte a partire dalle lettere della parola iniziale solo:

Altri esempi:

In una famiglia ci sono oltre ai 2 genitori 5 figli, i quali cambiano posto a tavola ad

1) ogni pasto. Quanto tempo impiegheranno ad esaurire tutte le possibili posizioni?

abbiamo 7 posti, di cui quelli occupati dai genitori sono fissi e variano gli altri

 5. Pertanto il numero delle possibili posizioni è dato da . Supponendo che vi

siano due pasti al giorno, impiegheranno 60 giorni ad esaurire tutte le

possibili posizioni.

Quanti anagrammi si possono formare con la parola "GIORNALE" e quanti di essi

2) cominciano con "NI"?

la parola "GIORNALE" contiene 8 lettere tutte diverse tra loro, pertanto il

 numero degli anagrammi di tale parola è dato da = 8! = 40320. Dobbiamo

ora contare quanti fra essi iniziano con la sillaba "NI". Per far ciò basta

pensare alle prime due posizioni (fra le otto totali) occupate e fisse. Quelle

variabili sono le ultime sei che varieranno in modi.

Permutazioni con ripetizione

Sia dato un insieme con n elementi di cui α, con α<n, tutti uguali tra loro. Tutti i possibili

raggruppamenti formati in modo che:

- ognuno di essi contenga tutti gli n elementi

- ogni raggruppamento differisca dagli altri per l'ordine secondo il quale si

susseguono gli elementi

prendono il nome di permutazioni con ripetizione e si indicano con , dove n indica il

numero totale degli elementi e α il numero di quelli tutti uguali fra loro.

Il numero di tali permutazioni è dato da

Esempio:

trovare tutti i possibili anagrammi della parola "ORO".

Abbiamo in tutto 3 elementi di cui 2 sono fra loro uguali. Pertanto il numero dei possibili

raggruppamenti ovvero degli anagrammi è dato da

come si può facilmente verificare scrivendoli: ORO, OOR, ROO.

E se gli elementi fra loro uguali fossero più di uno? Se ad esempio abbiamo un elemento

che si ripete α volte, un altro che si ripete β volte, un altro ancora che si ripete γ, e così

via, allora il numero delle permutazioni con ripetizione è dato da:

Supponiamo ad esempio di voler trovare il numero di tutti gli anagrammi della parola

"MATEMATICA". Il numero totale degli elementi è n = 10, di cui abbiamo: 2 lettere "M",

ovvero , 3 lettere "A" da cui e 2 lettere "T" e quindi e le restanti distinte

tra loro.

Ne segue che il numero dei possibili anagrammi è dato da

Disposizioni semplici

Sia dato un insieme di n elementi distinti e sia k<n. Tutti i raggruppamenti di n elementi

(scelti fra gli n dell'insieme dato) formati in modo tale che:

in ciascun raggruppamento vi siano elementi tutti distinti tra loro

- due raggruppamenti differiscano tra loro per almeno un elemento o per l'ordine

-

si dicono disposizioni semplici e si indicano con , dove n indica il numero totale degli

elementi e k il numero scelto per formare i raggruppamenti.

Il numero delle disposizioni semplici è dato da:

Osservazione: inizialmente abbiamo supposto che k<n. Se dovesse

essere k<n, troveremmo

e ricadremmo nel caso delle permutazioni semplici.

Esempi:

Formare tutte le parole (anche prive di senso) che si possono ottenere utilizzando

1) lettere della parola "YOUMATH". Quante sono?

n = 7

abbiamo un insieme di elementi di cui dobbiamo contare tutti i

 n = 4

raggruppamenti formati da di tali elementi. Ogni raggruppamento sarà

diverso dall'altro per l'ordine e se varierà almeno un elemento. Per trovare il

numero di tali raggruppamenti ricorriamo quindi alle disposizioni semplici:

In un autobus vi sono 13 posti numerati. In quanti posti diversi 8 persone possono

2) occuparli?

anche in questo caso dobbiamo contare il numero di raggruppamenti

 di 8 elementi formati a partire da un insieme che ne contiene 13. I

raggruppamenti varieranno per l'ordine e quando almeno un elemento sarà

differente. Inoltre non vi possono essere due elementi uguali e quindi anche

qui, ricorreremo alle disposizioni semplici:

Disposizione con ripetizione

Sia dato un insieme di n elementi distinti e sia k<0 un numero naturale. Tutti i possibili

raggruppamenti di k elementi che si possono formare con gli elementi dati in modo che:

- ogni raggruppamento ne contenga k

- uno stesso elemento può comparire fino a k volte nello stesso gruppo

- due raggruppamenti differiscano tra loro per almeno un elemento o per l'ordine

- si dicono disposizioni con ripetizione di classe k e si indicano con .

Il numero di tali disposizioni è dato da

Osservazioni:

La differenza tra disposizioni semplici e disposizioni con ripetizione è che nelle

a) disposizioni semplici, in ogni raggruppamento gli elementi devono essere tutti

distinti tra loro, mentre nelle disposizioni con ripetizione uno stesso elemento può

essere ripetuto fino a k volte

Come di certo avrete già notato nelle disposizioni con ripetizione non vi è alcuna

b) limitazione su k, cioè in questo caso, poiché uno stesso elemento può essere

ripetuto più volte, può essere anche k>n, mentre nelle disposizioni semplici deve

essere necessariamente .

Esempi sulle disposizioni con ripetizione:

Quanti numeri di 3 cifre si possono formare con le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?

1) siamo di fronte ad un insieme di n = 6 elementi (le sei cifre) e dobbiamo

 contare tutti i possibili raggruppamenti di 3 cifre. Ovviamente l'ordine ha

importanza, in quanto ad esempio 123 ≠ 231, anche se i due raggruppamenti

sono stati scritti utilizzando gli stessi elementi ed uno stesso elemento può

essere ripetuto fino a k = 3 volte. Dobbiamo ricorrere alle disposizioni con

ripetizione. Il numero cercato è dato da:

Quanti sono i numeri di 6 cifre tutte dispari?

2) in questo caso l'insieme di partenza è formato da n = 5 elementi, ovvero

 dalle cifre {1, 3, 5, 7, 9} e k = 6. Per contare tali numeri dobbiamo ricorrere

alle disposizioni con ripetizione e quindi avremo:

Combinazioni semplici

Sia dato un insieme di n elementi distinti e sia k ≤ n. Tutti i raggruppamenti che si possono

formare con k degli n elementi in modo che:

- ogni raggruppamento contenga esattamente k elementi tutti distinti tra loro

- ogni raggruppamento differisca dagli altri per almeno un elemento e non per

l'ordine

si dicono combinazioni semplici di classe k e si indicano con , dove n indica il

numero totale degli elementi dell'insieme di partenza e k il numero degli elementi che

dovrà contenere ogni raggruppamento.

Il numero delle combinazioni semplici è dato da

dove indica il coefficiente binomiale.

Esempi: