Calcolo Combinatorio, Probabilità e statistica

Calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio è il ramo della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti.

Fattoriale

Il prodotto dei numeri interi positivi da 1 a n si scrive: n! = 1*2*3*4…*n e si legge “n fattoriale”. Per convenzione: 0! = 1 e 1! = 1

Permutazioni semplici

Supponiamo di voler anagrammare la parola “UNO”. Quante parole si possono formare (anche senza senso) con queste 3 lettere?

• UNO
• UON
• NUO
• NOU
• OUN
• ONU

I possibili anagrammi della parola UNO sono quindi 6.

Se ora volessi determinare il numero di anagrammi della parola “CINQUE”, avendo più lettere, sarebbe difficile farlo utilizzando il metodo precedente. Utilizzare perciò in questo caso il metodo delle permutazioni semplici:

Dati n elementi distinti, tutti i possibili raggruppamenti formati in modo tale che:

• Ognuno di essi contenga tutti e soli gli n elementi dati
• Ogni raggruppamento differisca dall’altro per l’ordine secondo cui gli elementi si susseguono

Si dicono permutazioni semplici e si indicano con dove la n sta ad indicare appunto il numero degli elementi di cui vogliamo calcolarne le permutazioni. Il numero delle permutazioni semplici è quindi dato da:

Perciò, ritornando all’esempio della parola CINQUE, parola di 5 lettere tutte diverse fra loro, utilizzando il metodo delle permutazioni semplici si trova che le possibili parole composte a partire dalle lettere della parola iniziale solo:

Altri esempi

1. In una famiglia ci sono oltre ai 2 genitori 5 figli, i quali cambiano posto a tavola ad ogni pasto. Quanto tempo impiegheranno ad esaurire tutte le possibili posizioni?

   Abbiamo 7 posti, di cui quelli occupati dai genitori sono fissi e variano gli altri 5. Pertanto il numero delle possibili posizioni è dato da. Supponendo che vi siano due pasti al giorno, impiegheranno 60 giorni ad esaurire tutte le possibili posizioni.

2. Quanti anagrammi si possono formare con la parola "GIORNALE" e quanti di essi cominciano con "NI"?

   La parola "GIORNALE" contiene 8 lettere tutte diverse tra loro, pertanto il numero degli anagrammi di tale parola è dato da 8! = 40320. Dobbiamo ora contare quanti fra essi iniziano con la sillaba "NI". Per far ciò basta pensare alle prime due posizioni (fra le otto totali) occupate e fisse. Quelle variabili sono le ultime sei che varieranno in modi.

Permutazioni con ripetizione

Sia dato un insieme con n elementi di cui α, con α

• Ognuno di essi contenga tutti gli elementi dati