Statistica aziendale

LA DISTRIBUZIONE UNIFORME

È la distribuzione di probabilità che assegna la stessa probabilità a tutti i possibili valori di una variabile

aleatoria

L’area totale sottesa la funzione di densità della distribuzione uniforme è uguale a 1

La distribuzione uniforme continua: 1 ≤ ≤

() = š

−

0

Dove f(x): valore della funzione di densità a qualunque valore x; a: minimo di x; b: massimo di x

La media di una distribuzione uniforme è: +

= 2

La varianza è: )

( + )

)

= 12

*esempio* FUNZIONE LINEARE DI VARIABILI

Sia dove X ha:

= + ,

• Media: = ( + ) = +

> "

>) ) ")

• Varianza: = ( + ) =

• Lo scarto quadratico medio di W è: = ||

> "

Un importante caso speciale dei precedenti risultati è la variabile aleatoria standardizzata:

−

"

=

"

La quale ha media 0 e varianza 1 19

LA DISTRIBUZIONE NORMALE

f(x) X

CARATTERISTICHE:

• Forma campanulare

• Simmetrica

• Media, Mediana e Moda coincidono

La tendenza centrale è determinata dalla media,

La variabilità è determinata dallo scarto quadratico medio,

La variabile aleatoria ha un campo di variazione teoreticamente infinito: +∞ fino a – ∞

• La distribuzione normale approssima molte bene le distribuzioni di probabilità di un numero elevato di

variabili aleatorie

• In presenza di campioni “grandi” la distribuzione delle medie campionarie è approssimata dalla

distribuzione normale

• Il calcolo delle probabilità è diretto e sistematico

• La distribuzione di probabilità normale ha prodotto buone decisioni finanziarie/economiche in molti

problemi applicativi

NOTA: variando i parametri e otteniamo diverse distribuzioni normali-> cambiando la distribuzione si

,

sposta verso destra o verso sinistra, cambiando aumenta o diminuisce la dispersione

,

Date media e varianza, la distribuzione normale si identifica come:

)

~(, )

La formula per la funzione di densità di probabilità normale è:

1 $ $

/("/?) /)A

() =

√2

Dove media della popolazione; parto quadratico medio della popolazione; “x”: qualunque valore della

: :

variabile continua (– ∞; + ∞) ) )

Per una variabile aleatoria normale X come media e varianza , i.e. la funzione di ripartizione

~(, ),

è: () = ( ≤ )

2

! 20

CALCOLO DELLA PROBABILITÀ PER LA DISTRIBUZIONE NORMALE

a b

)

( < < = () − ()

2

LA DITRIBUZIONE ESPONENZIALE

Usata per modellare l’ammontare di tempo tra due occorrenze di un evento (tempo tra gli arrivi) -> es: tempo

tra camion che arrivano ad un molo di scarico; tempo tra transazioni ad un bancomat; tempo tra telefonate

all’operatore principale

La variabile aleatoria T (t > 0) ha una densità di probabilità

/=F

() = > 0

Dove è il numero medio di occorrenze in una unità di tempo; t è il numero di unità di tempo fino alla

prossima occorrenza

Si dice che T ha una distribuzione di probabilità esponenziale

Definita da un solo parametro, la sua media la funzione di ripartizione (probabilità che un tempo di arrivo è

->

minore di qualche specifico tempo) è: /=F

() = 1 −

Dove è il numero medio di arrivi per unità nella popolazione

LA NORMALE STANDARD

Qualunque distribuzione normale (con qualunque combinazione di media varianza) può essere trasformata

nella distribuzione normale standard “Z” con media 0 e varianza 1

1

0

~(0,1)

Bisogna trasformare la variabile X nella variabile Z sottraendo la media di X e dividendo il suo scarto quadratico

medio −

"

=

" "/?

La distribuzione è la stessa, cambia solo la scala ( ≤ ) = ( ≤ = )

A − −

( < < ) = P << S

− −

= P S − ( )

a b

− −

21

L’area sottesa alla curva è pari a 1 e la curva è simmetrica-> perciò metà è al di sopra della media e metà è al di

sotto (−∞ < < ) = 0,5. ; ( < < ∞) = 0,5

(−∞ < < ∞) = 1

La tavola della normale standard fornisce valori della funzione di ripartizione della distribuzione normale-> per

un dato valore “a” di Z la tavola fornisce F(a), ovvero la probabilità di osservare valori inferiori a quello (es. P (Z

< 2) = 0,9772

Per i valori negativi di Z si usa fatto che la distribuzione simmetrica per trovare la probabilità desiderata-> es.

0,977 0,228

-2 2

( < −2) = 1 − 0,9772 = 0,0228

Per calcolare quando X distribuzione normale disegno la normale per i problemi con la X

( < < ),

traduco i valori di X in Z uso la tavola della funzione di ripartizione

Per trovare il valore di X corrispondente ad una probabilità nota: trovare Z corrispondente alla probabilità nota

e convertire nell’unità di X usando la formula: = +

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE CONGIUNTA

Siano variabili aleatorie continue-> la loro funzione di ripartizione congiunta F( )

, , … , , , … ,

& ) * & ) *

definisce la probabilità che simultaneamente sia minore di , minore di , ecc.-> ovvero:

, , , ,

& & ) )

( , , … , ) = ( < ∩ < ∩ … ∩ < )

& ) * & & ) ) * *

Le funzioni di ripartizione congiunta F( delle singole variabili aleatorie sono chiamate funzioni di

), … , ( )

& *

ripartizione marginale-> le variabili aleatorie sono indipendenti se e solo se:

) ), )

( , , … , = F( … , (

& ) * & *

Siano X e Y variabili aleatorie continue con rispettive medie , il valore atteso di (X – )(Y – viene

)

" 1 " 1

chiamato covarianza tra X e Y: (, ) = ’(X – )(Y – ) “

" 1

Un’espressione alternativa ma equivalente è:

(, ) = () −

" 1

Se le variabili X e Y sono indipendenti, Cov (X,Y) = 0 e non viceversa

Siano X e Y variabili aleatorie distribuite congiuntamente, la covarianza tra X e Y è:

(, )

= (, ) =

" 1 &) *)

Siano date K variabili aleatorie con medie e varianze , allora:

, , … , , … , , … ,

& ) * & *

( , , … , ) = + … +

& ) * & * 22

Se la covarianza fra ogni coppia di queste variabili aleatorie è 0, allora la varianza della loro somma è la somma

delle varianze &) *)

( , , … , ) = + ⋯ +

& ) *

Comunque se le covarianza fra le coppie di variabili non sono 0, la varianza della loro somma è

./& .

&) *)

( , , … , ) = + ⋯+ + 2 L L ‚ , ƒ

& ) * $ 5

$(& 5($(&

Per due variabili aleatorie X e Y: ( − ) = −

" 1

Se la covarianza tra X e Y è 0: ") 1)

( − ) = +

Se la covarianza tra X e Y non è 0: ") 1)

( − ) = + − 2(, )

Una combinazione lineare di due variabili aleatorie X e Y (a, b costanti) è W = aX + bY -> la media di W è:

= () = [ + ] = +

W " 1

La varianza di W è:

>) ) ") ) 1) ) ") ) 1)

= + + 2 (, ) = + + 2 (, )

" 1

Se entrambe X e Y sono distribuite normalmente allora la combinazione lineare W sarà distribuita

normalmente VERIFICA LA NORMALITÀ

Non tutte le variabili aleatorie continue hanno una distribuzione normale-> è importante valutare quanto i dati

reali siano prossima abili in modo valido alla normale

Si utilizza il “Normal Probability Plot”: per i dati provenienti da una distribuzione normale appare

approssimativamente lineare

I grafici non lineari indicano una deviazione dalla normalità

Ricorda: la distribuzione binomiale a N prove indipendenti e probabilità di successo “P” in ogni prova; la

variabile aleatoria X: X = 1 la i-esima priva è un “successo”; X = 0, la i-esima ma prova è insuccesso

)

() = = ; () = = (1 − ) 23

La forma della distribuzione binomiale dipende dai valori di “P” ed “n”

La forma della distribuzione binomiale approssimativamente normale se n è grande-> ovvero quando (1 −

) > 9

Standardizzare per ottenere Z usando i parametri della distribuzione binomiale:

− () −

= = − )

‡() ‡(1

Sia X il numero di successi in N indipendenti prove ciascuna con probabilità di successo P, se (1 − ) > 9

− −

( < < ) = ¡ ≤≤ ¢

− ) − )

‡(1 ‡(1

LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE

Usata per modellare l’ammontare di tempo trascorso tra due volte (occorrenze) in cui si realizza un certo

evento (es. Tempo tra transazioni ad un bancomat)

La variabile aleatoria esponenziale T (t > 0) a una densità di probabilità:

/=F

() = > 0

Dove numero medio di oc