Statistica aziendale

Statistica aziendale

La popolazione e il campione

La popolazione: insieme completo di tutte le unità oggetto di studio → N = dimensione della popolazione.

Il campione: sottoinsieme delle unità osservate nella popolazione → n = dimensione del campione.

Il parametro: caratteristica specifica della popolazione.

La statistica: caratteristica specifica del campione.

Campionamento casuale semplice

Il campionamento casuale semplice è il procedimento nel quale:

• Ciascuna unità della popolazione è scelta rigorosamente a caso.
• Ciascuna unità della popolazione ha la stessa opportunità di essere scelta.
• Ogni possibile campione di dimensione assegnata “n” ha la stessa possibilità di essere selezionato → si ottiene il c.d. campione casuale.

Branche della statistica

• Descrittiva: tecniche per collezionare, sintetizzare ed elaborare i dati in modo da trasformarli in informazioni. Collezionare dati, es. sondaggi; Presentare dati, es. tabelle e grafici; Sintetizzare i dati, es. media campionaria.
• Inferenziale: fornisce le basi per previsioni e per le stime che consentono di trasformare le informazioni in conoscenza. Stima: es. stimare il peso medio della popolazione tramite il peso medio campionario; Verifica di ipotesi: es. verificare l’affermazione che il peso medio della popolazione è 120 libbre.

L’inferenza è il processo tramite il quale si estraggono conclusioni o si prendono decisioni circa una popolazione sulla base dei risultati campionari.

I dati

Possono essere:

• Categorici: stato civile, colore occhi (specifiche categorie o gruppi).
• Numerici:
  • Discreti: numero di figli, difetti in un’ora (elementi conteggiati).
  • Continui: peso, voltaggi (caratteristiche misurate).

Classificazione delle variabili statistiche

Variabili qualitative (esprimono le quantità dell’unità statistica):

• Dati normali: categorie, posso solo stabilire se sono uguali o diversi (no ordine o direzione) → es. colore dei capelli.
• Dati ordinali: categorie ordinate (ranghi, ordini, scala) → es. titolo di studio.

Variabili quantitative (esprimono una quantità dell’unità statistica):

• Scala ad intervallo: differenze fra misurazioni, ma non esiste lo zero assoluto.
• Scala di rapporto: differenze fra misurazioni, esiste lo zero assoluto.

Rappresentazione grafica dei dati

I dati in forma grezza non sono generalmente facili da usare nel processo decisionale, è necessaria una qualche organizzazione: tabelle, grafici (il tipo di grafico da usare dipende dalla variabile che vogliamo sintetizzare).

• Variabili categoriche: Distribuzione di frequenze; Diagramma a barre; Diagramma a torta; Diagramma di Pareto.
• Variabili numeriche: Grafico per serie storiche; Distribuzione di frequenze; Diagramma ad aste; Istogramma e ogiva; Diagramma ramo-foglia; Diagramma di dispersione.

Il grafico per serie storiche viene usato per rappresentare i valori di una variabile nel tempo → Il tempo viene rappresentato sull'asse orizzontale; La variabile di interesse viene rappresentata sull'asse verticale.

I dati categorici possono essere rappresentati graficamente tramite: Tabulazione (tabella di distribuzione di frequenze); grafici (Diagramma a barre, Diagramma torta, Diagramma di Pareto). I diagrammi a barre e la torta sono spesso usati per dati qualitativi (categorici); l'altezza delle barre o l'area dei settori circolari rappresentano la frequenza o percentuale di ciascuna categoria.

I dati numerici discreti possono essere presentati graficamente tramite: Distribuzione di frequenze e distribuzioni cumulate; Diagramma ad Aste.

Una distribuzione di frequenze è una lista o una tabella contenente le modalità e le corrispondenti frequenze con cui i dati presentano quella modalità.

I dati numerici continui possono essere rappresentati graficamente tramite: Distribuzione di frequenze e distribuzioni cumulate; Istogramma e ogiva.

Una distribuzione di frequenze è una lista o una tabella contenente classi di intervallo (categorie o intervalli a cui i dati appartengono) e le corrispondenti frequenze con cui i dati appartengono alle classi o categorie. Le distribuzioni di frequenze permettono di riassumere i dati, condensare quelli grezzi in forma più utile ed una veloce interpretazione grafica dei dati.

Classi di intervallo ed estremi delle classi

Ciascuna classe di intervallo ha la stessa ampiezza → ampiezza di ciascuna classe: ( - ) = =.

Esempio: un produttore di isolante seleziona a caso 20 giorni invernali e registra la temperatura massima giornaliera 24, 35, 17, 21, 24, 37, 26, 46, 58, 30, 32, 13, 12, 38, 41, 43, 44, 27, 53, 27.

È necessario:

1. Ordinare i dati grezzi in ordine crescente: 12, 13, 17, 21, 24, …, 53, 58.
2. Trovare il campo di variazione: 58 – 12 = 46.
3. Selezionare il numero di classi: 5 (almeno cinque ma non più di 15-20 intervallo).
4. Calcolare l'ampiezza dell’intervallo (arrotondando per eccesso): 46/5 = 10.
5. Determinare i limiti dell’intervallo: 10 ma meno di 20, 20 ma meno di 30, …, 60 ma meno di 70.
6. Contare le osservazioni e assegnarle alle classi.

L'istogramma

Grafico dei dati contenuti in una distribuzione di frequenze → Asse orizzontale: estremi degli intervalli; Asse verticale: la frequenza, la frequenza relativa o la percentuale.

Le barre di altezza appropriata sono usate per rappresentare il numero di osservazioni in ciascuna classe → Se troppe classi (classi d'intervallo piccole): può produrre una distribuzione molto frastagliata con spazi dovuti a classi vuote, può dare una cattiva indicazione di come la frequenza cambiare le classi; Se poche classi (classi d’intervallo ampie): può comprimere troppo la variazione e produrre una distribuzione a blocchi; può oscurare importanti andamenti nella variazione.

La forma della distribuzione si dice simmetrica se le osservazioni sono bilanciate o distribuite in modo approssimativamente regolare attorno al centro; È detta asimmetrica se le osservazioni non sono distribuite in modo simmetrico rispetto al centro: positiva (obliqua destra) ha una coda che si estende a destra nella direzione dei valori positivi; negativa (obliqua sinistra) ha una coda che si estende a sinistra nella direzione dei valori negativi.

Relazioni fra variabili

I grafici precedenti si riferiscono ad una sola variabile → considerando due variabili vengono usate altre tecniche:

• Variabili categoriche (qualitative): tabella a doppia entrata (o di contingenza) → elencano il numero di osservazioni per ogni combinazione di valori per le due variabili categoriche o ordinali. Se ci sono “r” categorie per la prima variabile (righe) e “c” categorie per la seconda variabile (colonne), la tabella viene chiamata tabella a doppia entrata r x c. La rappresentazione grafica avviene tramite un diagramma a barre accostate.
• Variabili numeriche (quantitative): diagramma di dispersione → sono usati per osservare accoppiate relative a due variabili numeriche. Una variabile viene rappresentata sull’asse verticale e l’altra su quello orizzontale.

Misure di tendenza centrale

La moda

• È una misura di tendenza centrale.
• Valore che occorre più frequentemente.
• Non influenzata da valori estremi.
• Usata sia per dati numerici che categorici.
• Può non esserci una moda.
• Ci può essere più di una moda.

Esempio: X_i Neri Marroni Verdi Azzurrini 2 5 2 1
P_i 0,2 0,5 0,2 0,1
La moda è "occhi marroni" → Valore della x tale per cui la sua frequenza relativa è massima.

Mediana

Valore che una volta ordinata (si usa solitamente per i dati quantitativi) la distribuzione è il valore centrale (50% sopra, 50% sotto) → non influenzata da valori estremi.

Il primo valore in corrispondenza del quale la cumulata è maggiore di 0,5 (0,7); Se vi è una cumulata esattamente pari a 0,5, la mediana è la media tra quel valore e quello successivo. In caso di intervalli, la mediana è la classe all’interno della quale passa la cumulata 0,5.

Media aritmetica

È la misura di tendenza centrale più comune. Per una popolazione di N valori: \[\frac{\Sigma x_i}{N}\] = Al numeratore: valori della popolazione; Al denominatore: dimensione della popolazione.

Per un campione di dimensione n: \[\frac{\Sigma x_i}{n}\] = Al numeratore: valori osservati; Al denominatore: dimensione del campione. La media è la misura di tendenza centrale più comune → media = sommatoria dei valori diviso il numero di valori.

NOTA: è influenzata da valori esterni (outlier).

Se la distribuzione è perfettamente simmetrica, media e mediana coincidono; Quando c’è una coda a sinistra, la media tende essere minore della mediana e viceversa (perché la media è influenzata dai valori).

I quartili

I quartili dividono la sequenza ordinata dei dati in 4 segmenti contenenti lo stesso numero di valori 25%, 25%, 25%, 25%.

• Il primo quartile, è il valore per il quale il 25% delle osservazioni sono minori e il 75% sono maggiori.
• Il secondo quartile coincide con la mediana (50% maggiori, 50% minori).
• Solo il 25% delle osservazioni sono maggiori del terzo quartile.

Misure della variabilità

Forniscono informazioni sulla dispersione o variabilità dei valori. Svantaggi: ignora il modo in cui i dati sono distribuiti ed è sensibile agli outlier. Questo problema degli outlier può essere eliminato usando la differenza interquantile → elimina i valori osservati più alti e più bassi e calcola il campo di variazione del 50% centrale dei dati Q₃ - Q₁ = IQR.

Varianza della popolazione

Media dei quadrati delle differenze fra ciascuna osservazione e la media. Con dati grezzi: \[\frac{\Sigma (x_i - \mu)^2}{N}\]. Se ho le frequenze assolute: \[\frac{\Sigma f_i (x_i - \mu)^2}{N}\]. Se ho le frequenze relative: \[\Sigma p_i (x_i - \mu)^2\].

Proprietà:

• È sempre positiva: \(\sigma^2 \geq 0\).

Scarto quadratico medio della popolazione

È una misura di variabilità comunemente usata che mostra la variabilità rispetto alla media → ha la stessa unità di misura dei dati originali (spesso si preferisce alla varianza che invece è al quadrato) \(\sqrt{\frac{\Sigma (x_i - \mu)^2}{N}}\).

Varianza campionaria

\(\frac{\Sigma (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}\).

Scarto quadratico medio campionario

È una misura della variabilità comunemente usata che mostra la variabilità rispetto alla media → ha la stessa unità di misura dei dati originali \(\sqrt{\frac{\Sigma (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}\).

Vantaggi della varianza e dello scarto quadratico medio:

• Sono calcolati usando tutti i valori nel set di dati.
• Valori lontani dalla media hanno più peso → perché si usa il quadrato delle deviazioni dalla media.

Esempio

x_i = 1, P_i = 0,35, (x_i - \(\bar{x}\)) = -1,15, (x_{i\) - \(\bar{x}\))² = 1,3225, Pi\ (xi\) - \(\bar{x}\))² = 0,462875
xi\) = 2, Pi\) = 0,25, (xi\) - \(\bar{x}\)) = -0,15, (xi\) - \(\bar{x}\))² = 0,0225, Pi\) (xi\) - \(\bar{x}\))² = 0,005625
xi\) = 3, Pi\) = 0,3, (xi\) - \(\bar{x}\)) = 0,85, (xi\) - \(\bar{x}\))² = 0,7225, Pi\) (xi\) - \(\bar{x}\))² = 0,21675
xi\) = 4, Pi\) = 0,1, (xi\) - \(\bar{x}\)) = 1,85, (xi\) - \(\bar{x}\))² = 3,4225, Pi\) (xi\) - \(\bar{x}\))² = 0,34225
\(\Sigma P_i (x_i - \bar{x})^2 = 1,013657\).}

Teorema di Chebyshev

Per ogni popolazione con media, scarto quadratico medio \(\sigma\) e k > 1, la percentuale di osservazioni che appartengono all’intervallo \(\mu \pm k\sigma\) è almeno: 100[1 - 1/k²].

Indipendentemente da come i dati sono distribuiti, almeno dei valori cadranno entro K scarti quadratici medi dalla media (per K>1).

Se la distribuzione dei dati ha una forma campanulare, allora l’intervallo:

• Contiene circa il 68% dei valori della popolazione o del campione ± 1.
• Contiene circa il 95% dei valori della popolazione o del campione ± 2.
• Contiene circa il 99.7% dei valori della popolazione o del campione ± 3.

Il coefficiente di variazione

• Misura la variabilità relativa.
• È sempre in percentuale.
• Mostra la variabilità relativa rispetto alla media.
• Può essere usato per confrontare due o più set di dati misurati con unità di misura diversa.

\(CV = \left(\frac{\sigma}{\bar{x}}\right) \times 100\%\).

Esempio:

Azione A: Prezzo medio scorso anno: 50$; Scarto quadratico medio: 5$
\(CV = \left(\frac{5}{50}\right) \times 100\% = 10\%\).

Azione B: Prezzo medio scorso anno: 100$; Scarto quadratico medio: 5$
\(CV = \left(\frac{5}{100}\right) \times 100\% = 5\%\).

Entrambe le azioni hanno lo stesso scarto quadratico medio, ma l’azione B è meno variabile rispetto al suo prezzo.

Variabile standardizzata

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\).

La media pesata

È un set di dati: \(\bar{x} = \frac{\Sigma w_ix_i}{\Sigma w_i}\) dove \(w_i\) è il peso assegnato alla osservazione \(x_i\). La media pesata viene usata quando i dati sono già raggruppati in n classi con valori della classe.

La covarianza campionaria

Misura la forza della relazione lineare tra due variabili. La covarianza della popolazione: \(\sigma_{xy} = \frac{\Sigma (x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)}{N}\).

La covarianza campionaria: \(s_{xy} = \frac{\Sigma (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1}\).

Riguarda solo la forza della relazione e non implica un effetto casuale.

• x e y tendono a muoversi nella stessa direzione: \(\sigma_{xy} > 0\).
• x e y tendono a muoversi in direzioni opposte: \(\sigma_{xy} < 0\).
• x e y non hanno relazione lineare: \(\sigma_{xy} = 0\).

Coefficiente di correlazione

Misura la forza relativa della relazione lineare tra due variabili. Coefficiente di correlazione della popolazione: \(\rho = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}\).

Coefficiente di correlazione campionario: \(r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}\).

• Senza unità di misura.
• Campo di variazione fra “-1” e “1”.
• Quanto più vicino a “-1”, tanto più è forte la relazione lineare negativa.
• Quanto più vicino a “1”, tanto più è forte la relazione lineare positiva.
• Quanto più vicino a “0”, tanto più è debole la relazione lineare.

Ottenere relazioni lineari

Un’equazione può essere usata per rappresentare la migliore relazione lineare tra due variabili: \(Y = a + bX\) dove Y è la variabile dipendente e X quella indipendente. Le stime dei coefficienti a e b vengono calcolate minimizzando la somma dei quadrati dei residui.

La regressione lineare con il metodo dei minimi quadrati, basata sui valori campionati è: \(\hat{Y} = a + bX\) dove b è la pendenza della retta e a è l’ordinata all’origine.

\(b = \frac{s_{xy}}{s_x^2}\), \(a = \bar{y} - b\bar{x}\).

Probabilità

Esperimento aleatorio: processo che porta ad un risultato incerto.

Evento elementare: un possibile risultato di un esperimento aleatorio.

Spazio campionario: l’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento aleatorio.

Evento: qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario.