Statistica

La statistica

Disciplina che si occupa di fornire i concetti e i metodi atti a raccogliere, sintetizzare e ulteriormente elaborare le informazioni (dati) che si hanno a disposizione, relativamente ad un fenomeno di interesse.

Rappresenta uno strumento fondamentale per la rilevazione, l’elaborazione e l’interpretazione di fenomeni che vengono riassunti sugli elementi di un collettivo statistico o popolazione.

• Statistica Descrittiva → Attuarna l’insieme di metodi che comprendono la raccolta, la presentazione e la caratterizzazione di un insieme di dati. Si descrive riassumendo in modo essenziale le relazione osservabili.
• Statistica Inferenziale → Ricorrendo al calcolo delle probabilità, ha l’obiettivo di posporre le caratteristiche di un collettivo partendo da un’osservazione di un sottoinsieme, il campione.

Capitolo 1

• Unità Statistica → Unità elementare sui cui vengono osservati i caratteri oggetto di studio.

Un insieme di unità statistica omogenee rispetto ad una o più caratteristiche costituisce un collettivo statistico o una popolazione.

• Popolazione
  • Empirica → Tutte le unità statistiche sono osservabili.
  • Teorica
  • Finita
  • Infinita

Classificazione dei caratteri

Un carattere può assumere modalità differenti in corrispondenza delle diverse unità statistiche.

Età 32 M Caratteri Modalità

Modalità

• Esaurire → devono rappresentare tutti i possibili modi di manifestarsi del carattere
• Non sovrapposte → se a ogni unità se ne assegna una sola modalità

Caratteri (variabili statistiche)

• Qualitativi
• Carattere qualitativo
• Sconnesso (o a scala nominale) → se date due modalità è possibile alternarle scambiando se queste sono uguali o diverse
• Ordinato (o a scala ordinale) → se date due modalità è possibile soltanto dare un ordine
• Ordini ciclici → derivano unicamente da un ordine numerico di successione, non hanno modalità ultime e finali
• Ordini gerarchici → possiedono modalità iniziale e finale
• Quantitativi
• Carattere quantitativo
• Con scala di intervalli → origine dei dati non assoluta ma convenzionale, non esiste peso assoluto naturale e arbitrario
• Con scala di rapporti → origine dei dati assoluta è vera, indicata col "0"
• Discreto → si rilevano mediante conteggio o enumerazione. Es. numero di navi
• Continuo → si rilevano mediante misurazione. Es. peso, altezza, etc.
• Trasferibile → se ha senso immaginare che una unità possa coprire tutto o parte del carattere posseduto da un'altra unità statistica
• Non trasferibile

Rappresentazioni Grafiche

Grafici di Quantità Continu

• Grafici a nastro - altezza barre proporzionale a frequenza
• Grafici a torta - angolo al centro proporzionale alla frequenza

Caratteri Quantitativi Ordinati o Quantitativi Discreti

• Grafici a barre - altezza rettangoli proporzionale a frequenze

Caratteri Continui Rappresentati in Classi

Istogrammi

Grafico costituito da barre non distanziate, con basi uguali o diverse, dove ogni barra possiede un'area proporzionale alla frequenza della classe.

Nel caso di istogrammi con classi di ampiezza diversa, poiché l'area di ogni rettangolo deve essere proporzionale alla frequenza, l'altezza dev'essere proporzionale al rapporto tra la frequenza da rappresentare e l'ampiezza della base.

Quindi l'altezza dei rettangoli viene chiamata densità.

• Grafici a radar per caratteri ciclici
• Cartogrammi per serie territoriali
• Diagrammi cartesiani per serie storiche

Quartili

Sono tre valori caratteristici che dividono la distrib. di una variabile in quattro parti uguali, a ciascuna sezione il 25% della distribuzione

Calcolo dei quartili - distrib. di frequenza

Q₁ = modalità in corrispondenza della quale le frequenze cumulative relative raggiungono ed eventualmente superano 0,25

Q₂ = modalità in corrispondenza della quale le frequenze cumulative relative raggiungono ed eventualmente superano 0,5

Q₃ = modalità in corrispondenza della quale le frequenze cumulative relative raggiungono ed eventualmente superano 0,75

Calcolo dei quartili - distrib. per classi

1. Individuare la classe del primo (terzo) quartile, classe in corrispondenza della quale le frequenze cumulate superano per la prima volta 0,25 (0,75)
2. Calcolo dei quartili

Q₁ ≈ X_Q1 + 0,25 - F_(Q1-1) hq₁

X_Q1 = estremo inf. della classe del quartile

F_(Q1-1) = frequenza cumulata della classe antecedente quella del quartile

hq₁ = densità di frequenza della classe del quartile

Percentili

Valori che dividono la distribuzione in 100 parti ugualmente divisore

Calcolo dei percentili - distrib. di frequenza

Nota la distrib. di frequenza X_P, il percentile di ordine p è la modalità in corrispondenza della quale le frequenze cumulate relative raggiungono o superano p

Calcolo dei percentili - distrib. per classi

1. Individuare la classe del percentile, classe in corrisp. della quale le fr. relative cumulate superano per la prima volta p
2. Calcolo del percentile

X_P ≈ Xa_p + P - F_(a) hp

X_aP = estremo inf. classe del percentile

F_(a) = frequenza cumulata della classe antecedente quella del percentile

hp = densità di freq. classe del percentile

Nel box plot posso essere evidenziati valori eccedenti

• Un valore x è considerato eccedente se:
• x > Q3 + 3W
• x < Q1 - 3W

Distribuzione Simmetrica

Una distribuzione è simmetrica rispetto un centro di simmetria μ, quando a scostamenti da μ uguali in valore assoluto corrispondono uguali densità di frequente.

Dati due valori x₁ = μ + δ e x₂ = μ - δ con S > 0 allora h(x₁) = h(x₂).

In una distribuzione simmetrica media, moda e mediana coincidono.

Se le condizioni precedenti non sono soddisfatte si dice che la distrib. è asimmetrica

Asimmetria Positiva

Se x̄ > x_Q3 > moda

LINEA DI EQUIDISTRIBUZIONE

AREA DI CONCENTRAZIONE

AREA DI MASSIMA CONCENTRAZIONE

CURVA DI MASSIMA CONCENTRAZIONE

Più la curva è vicina alla linea di equidistribuzione più l’ammontare totale del carattere è equidistribuito. Più è vicina all’asse delle ascisse e maggiore è la concentrazione di carattere nel collettivo.