Statistica

Formule di probabilità:

Postulato 1

P(Ω) > 0

Postulato 2

P(S) = 1

Postulato 3

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Probabilità di A per eventi incompatibili

P(A) = P(A∩B̅) + P(A∩B)

Teoremi:

1. P(A̅) = 1 - P(A)
2. P(∅) = 0

(3) P(A∩B̅) ≤ 1

(4) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Formula che ne deriva:

P(A∩B̅) = P(A∩B̅) + P(A̅∩B)

Probabilità di A solo con eventi EQUIPROBABILI e FINITI:

P(A) = k/n

Probabilità di A con estrazione ± blocco sapendo che B è già uscito

P(A̅/B) = P(A∩B)/P(B)

Probabilità di A con estrazione di un blocco

P(A) = P(B)P(A̅/B) + P(B̅)P(A/B̅)

Probabilità di A con estrazione con reccesso

P(A∩B) = P(A)P(B|A)

P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

Legge di De Morgan

(A∩B)^c = (A^c ∪ B^c)

Teorema della probabilità totale

P(B) = ∑ P(A_i) * P(B/A_i)

Formula di Bayes

P(A_i/B) = P(B/A_i) * P(A_i) / ∑ P(B/A_j) * P(A_j)

s=1

Funzione di ripartizione

F(x) = ∑ p_i

x_i ≤ x

Valore atteso

E(x) = ∑ x_i * p_i

Valore quadratico atteso

E(x²) = ∑ x_i² * p_i

Varianza

V(x) = E(x²) - (E(x))²

- la categoria algebrica (il numero di stelle) la cui modalità raggiunge coinciden- con una serie di attributi ad esempio H = {1,2,3}.

Le scale di misura

Siccome i caratteri hanno molteplice modi di manifestarsi bisogna stabilire per ciascun carattere in esame la scala di misura che si ritiene adatta per la rilevazione. Le scale di misura sono 4: Nominale, Ordinale, per intervalli, per rapporti.

Scala nominale

Un carattere è misurato su scala nominale se non è possibile istituire una relazione d'ordine naturale, ovvero che presi due nucleotidi piani e sa alcun modo possibile affermare che l'una precede l'altro.

Ad esempio:

• Il sesso (maschio/femmina)
• Le sotto unità (scomposto mobili composto)

Scala ordinale

Se tra gli attributi c'è una relazione d'ordine naturale. Per cui presi due qualcosa modalità possiamo affermare che una precede l'altro.

Ad esempio:

• Il titolo di studio
• L'ordine di arrivo al GP di F1
• Gli hotel a 1 o più stelle

Scala per intervalli

Un carattere è misurato sulla scala per intervalli se possiede queste caratteristiche:

• Non ha un origine assoluto
• Modalità - più misure numeriche
• "a" = **, non significa necessariamente assenza di carattere.

Ad esempio:

• La temperatura : abbiamo più riferimenti Fahrenheit Celsius Kelvin

Scala per rapporti

Un carattere è misurato su scala per rapporti se la risultante s'assassina con elementi di un sistema di riferimenti (H= il nostro sistema) e quella delle modalità infatti allora abbiamo possiamo intron fare spese dei noti. parolezzato che avrebbe la scopola * dotato di una origine assoluta

da una maggior parte dei caratteri dis tipo qualitativo vengono misurati su scale per rapporti, ad esempio:

• Il peso della montagna
• Peso numero di spire delle tensione all'usuale

Rappresentazioni grafiche

Utilizziamo la rappresentazione grafica per cogliere alcuni aspetti caratteristici in modo più immediato.

• Rappresentazioni grafiche per variabili statistiche.
• Per quanto concerne le variabili statistiche abbiamo due diversi modi per rappresentarle.
• Diagramma a torta
• Rappresenta caratteri solo qualitativi. Non qualsiasi. Il diagramma a torta è rappresentato da un cerchio suddiviso in k spicchi. Il limite di tale diagramma è il fatto di non essere leggibile se ci sono troppe fette oppure se bisogna rappresentare dei caratteri ordinali (poiché con questo diagramma non si riesce bene a cogliere l'ordine).

Per disegnare il diagramma occorre stabilire l'angolo βi e dalla proporzione βi: 360° = mi : m. Si ricava βi.

Esempio:

Guardare il rendimento a scuola di una classe.

La funzione è monotona non decrescente.

Rappresentazione grafica (suddivisione in classi di valori)

La funzione si potrebbe sovrapporre perché c'è una suddivisione in classi divisori.

Quantile

Il quantile è una misura di posizione che descrivono la V.S.N. in modo sintetico.

Il problema dei quantile così si risolve tramite un apposito grafico.

Nel caso in cui non esista soluzione grafico del quantile allora esso assume per il valore della ficontimolazione

-Per nessuna soluzione

x1 = x2

Proprietà media aritmetica

1. La somma degli scarti della media aritmetica vale zero

   \[\sum_{i=1}^{k} (x_i - \overline{x}) m_i = 0\]

   Dimostrazione

   \[\sum_{i=1}^{k} (x_i - \overline{x}) m_i = \sum_{i=1}^{k} m_i x_i - \overline{x} \sum_{i=1}^{k} m_i = m \overline{x} - m \overline{x} = 0\]

2. La somma dei quadrati degli scarti tra ciascuna modalità x_i e una costante arbitraria “a” è data da:

   \[ \rho(a) = \sum_{i=1}^{k} (x_i - a)^2 m_i \] e il minimo per a = E(x)

   Dimostrazione

   La funzione ρ(a) è una parabola rivolta verso l'alto, avrà un solo unico punto di minimo. Si può determinare annullando la sua derivata prima derivata prima \[ \frac{d}{da} = -2 \sum_{i=1}^{k} (x_i - a) m_i \]

   Il punto di minimo si ottiene annullando quindi:

   ma = \[ \sum_{i=1}^{k} x_i m_i \]

   pertanto \[ a = E(x) \]

Quindi

V(x) = E[x²] - (E[x])²

(per dati individuali)

per dati raccolti su classi

NB

η_z = media quadratica

La varianza è il valore assunto dalla funzione

nel suo punto di minimum

Dim

Il minimo della funzione φ(a) si ottiene in a = E(x) e in tale punto

assume valore pari alla varianza

Esercizio 1

Studenti totali = 20

V(x) = E[([])²]

V(x) = 458,5 - (45,45 - 43,2)