vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
A:
IPA)
K. si
supponga =
esperimenti condizion
tutti
gli stesse
nelle
Ipotesi: ervengono
-> probabilità
ripetuto
Limiti: 1) diverse
esperimento dare
Un può
tanto grande:
L'ipotesi né
quanto
vero più
più
é
-> favorevoli
osservati
casi
numero
n!
P(A) lanci
= n ad
probabilità
attribuisce osservato
evento
2) Si zero un non
il futuro passato
Lides
3) del
diverso
bene
van vo è
se 11.2....n}
COMBINATORIO considero
CALCOLD X. = 4XiizE
finito
Principio della X partizione
Six
somma: we
e sue
minsieme
finte- XiX; VieEXi
X
e if;
per e
= =
Allora: Xi
FX
Principio del prodotto: X; fE.#X1
EX
kij cE
Se Xi= - = fx
ExY HE. #y
Sex
-> = =
=
Tutte
ripetizione. lunghezza
Disposizione di
di di
le
posti
oggetti con
in sequenze i
n m elementi possibili
del prodotto di ripetizion
X
principio >* con
n
= di
element:
Tutte le di
di
Disposizioni ripetizion: di
lunghezza
oggetti posti sequente
in
n senza
m i
elementi elemento
di
n! X
della
Principio ogni
in cui
-* n =
m
CM
= a volte
Somma (n m)! compare una
massimo
- Tutte le
oggetti
di lunghezze
post:
Combinazion ripetizon: di
in m senza sequenze m
elementi dell
n! di
di Xa
(m)
↳( mero
= -m)!
= m! (n ordine elemente
ogni
cui
in volte
il di a
sottoinsiemi
Anche di una
-> numero compare più
cordinalità estraibili da
in X ripetizione:
Combinazione di posti
oggetti
n can
m
in dell'ordine
posti
oggetti
Tutte disposizion ripetizione
le di can
in
n a mano
m
-
(n m
+
i
-> =
Altre formule disgunti
modi
quanti sottainsiemi
l'insieme
In partizionare K
· e
posso in no?
fino
elementi
il al
ordinati ha
he che
K-esimo
cui he
in prime ne
In...nn)= n! multinomiale
Coefficiente
-> = si!
T
CONDIZIONATA
PROBABILITA
Probabilità condizionate BF&.B
classice:
Dato R.Ace che
probabilità
to
Bavviene
de
A sapendo é:
arrenge
/*
#AB) IP/AnB)
A)
* Consideri spazio compinore
* ->
P/B) come
=
* B/*
* condizionato:
probabilità
Definizione probabilità
dice di dato
IPBIce.
due A
e
eventi
Dati si
con
valove: IP/AnB)
IP/A(B)
-> = ↑P(B)
modifica restringe stopopolane
alla
Lo parziale lo
-> B
in
conoscenze e
Teorema fissate IP(B)
probability
IP
Dato B la
allora
a
ene
e con
su
funzione probability
IB) la
ad I/AIB)
evento
IPX. che A é
associ, un
probabilità
su
una della probabilità
Proprieto conditionate
IP
Dato IP(B)
Bcm
e ollore:
o
su
IP/8
2) B) 3
=
- IP/AnIB) An due
IP/AeB) Aer... disgiunti
(B) due
IP/AzU...UAn
2) +... con a a
+
=
IP/A(B)
IP/AB) 1
3) = - IP(AzAz(B)
IP/AzIB)
h) (P/A11B)
IP/AzUAz(B) -
= +
9) IP/AIB)IP/B)
IP/AB) = indipendenti.
Coppia di
eventi IPAIPB
IPAB)
indipendenti
Due eventi
A dicono
B
e =
se
si di
IP/A)
IP/AIB) A
equivale che probabilità combin
dire La
IP(B)
Se e = na
e ->
>
-> verificate
B
che
sapendo é
si
Partizione:
Dati famiglio
partizione me
wo e
spazio me
compionario sua é
tai
di Bu
e che
eventi Un= Fitj
Be Bij &
U... er e =
....
Teorema delle probabilità totali Bue
Be..... vale.
evento
partizione A
Dato m
e
compinario suo
spazio
wo me SIP/AIBi)IP/B)
IP/ArBi)
S
Es..(ABi)
IP(A) =
= 1...n:P/Bil
= = 1.....
i
e
i =
IP/Bi) o Bit
numerabili
formule partizior
anche considerando
vale
La di
partizione A
per
-> e come
di
Formula Boyes IP/A(BR)
IP/BIA) di
Fornisce modo adcolare
-> un invece
per fa
IP/AIBe) la probabilità Be
ad delle
di sottocategorie
parte
indica A
appartenere si
· se
indice categoria
IP/BelA) to probabilità Be
alla sotto
individuo
che categorie
di A
apportinge
un
· Bayes
formula di
Teorema
[Bjbe tale IPA)
di
Si evento
partizione e A >
una s
per
si cui
un IP/A(Br)(P/Bx)
41.....
ke vae:
Allora
-> (P(BrA) = (IP/Bj)
IP/AIBj
S
1....
j =
Definizie IP/Bjk
↓IP/BMA) Bue
IPrBu)
IP/AIBI) -
IP/Bc(A)
Dim: N
= E
= iP(A) -- 1...
j
delle
Teorema =
IPBjke
totz:
prot.
infinite/partizime numeredel
Cose [Bj3jEN V
IPBjk IPAKe
A evento
di
a
partizione
Sie o e
-> six
con a con
une j
(P(A(Bk)(P/Bx)
IP/Br(A)
FK
Allors IN vare: =
= PBjkoIP/AlBj)IP/Bj)
2j IN:
e
Famiglie eventi
indipendenti
di An dice
As.
famiglia vergan
eventi
Le indipendente
di Az..... le
si se
Fis
P/Aj1Ai) (P/A:)IP/Aj)
ugroglianze: = verificare
FiesEK Tutte do
IP/AIPA,)IP/An)
IP/AsAjAn)
· =
·ti T (P/Ai)
An)
... = =
AFFIDABILITA sisteme
di sottosistemi
composto
Suppongo da
un vari
avere e me
sottosistema
che può
conteristica z cosa avere non
o avere
l'affidabilità la probabilità sottosistere caratteristics
abbie
che
è la
-> z
un
Il covatteristice
sisteme Z
Sistemi tutti
la
S solo
in ha
serie: se se
e
. sottosistemi caratteristice
hanno la Z
i
IP/ds")
->P/Shrz) z")
sottosis. he
=
eser
affidabilità parallelo: sto
caratteristice
Sistemi sisteme ha la
i z almen
i n
· se
so e an
settesistema covateristico
ha la z
haz")
il
IP/Vs" sottosisteme
P/Shz)
-> = i
11
affidabilito 2i)
1
-2p = -
-
VARIABILI ALEATORIE
aleatorio funzione
variabile dominio
Una X é de
una con
IR"
codominio
Centeristiche interessanti:
1) valor:
possibili
dei
Insieme di X
· Probabilità valori
2) con assume
cui più
o
uno numerichel
(v.e.
reali
Nel le
nostro valori suddivise
va. possone assumere
cose discrete
1)
tipi:
due X(a)
la
V.o. degli
in Insieme e cui
assolutamente continue opportiere IN
2) ↑ A
v.o. x/A)= 1)
fw
=A]
rseAcldensc:(X
Dato X: 1.Xw)e
- =
=
=
Legge di X
Dato electorie definite
IPX
probabilità
X,
variabile la di come.
me misure
IP/X/A)) AIR"
IPX/A) legge di X
dice
cm
= = si
Funzione X
di
ripartizione di funzione 10.1)
electoria IR to Fx:
valori IR->
variabile
Data X definite.
in
e cosi
uno 21 xt)).
0.t))
- (Px)) Htc
(P(x IR
Fx(t)= - = -
= Probabilità la
che scelte X(a)
abbiam
funzione ->
di X
di ripartizione
dice contenuto 1-ort]
Si in sinistral
ha
funzione: destra
da
limiti
decrescente
1)
Questo non e
é continuité
2) destra)
/
limsett de F
(s) Fxlt) tEIR
=
3) lim, kim
Fet) Fat)
1 e 0
= =
t
+ -
-
-
funzione funzione
queste tre
Una che di
propriet
he ripartizione qualche
di
la variabile X
é
(ims,t
---t) Fx(s)
·(P11 =(t)
propriets:
Altre F
=
= -
Fx(t) t)
(Px([t3) (P/X
(ims fx(s)
· -t =
- - = =
1Py
IPx
Fy
Fx =
=
· =
=
funzione
Le quantili
dei
funzione funzione
funzione la
quantili
Per di Fu chiome
ripartizione cost
del
ogni si
definito: zx)(mxz/01)(sef
inf(t:f(t) xx)
&f(x): Fx e =
= = -
non decrescente
Proprietor. E
. ax(x) kxe(0)
-Qxs)
(im,
· =
-x kxefae)
f(ak)) Qrfet
x
e
· Y
Se ax+6 6
ollovs &y ex
arco
cm 0
· = = +
Variabili
creatorie discrete continue dice:
di
X:_-sIR V [xer.And
Uno IR
X
con immagine
v.e. V
finite:
si
in =
7
finite ↑
infinito
Véi numerabile
discreta [xi]
se insieme o
· V
↳numerabile
infinite = e
=
continue
antinue Vé insieme
un
se
·
Densità di
discrete var fx:
IR"-
funzione
-R" /ee] definito
La
discrete.
X. de
Six ma va funzione
x)
IP/x
fx(x) densito della I
la discreto
di via.
é
=
=
fa ad probabilità
valore di
la da A
assunto
essere
un
associa x
Propriets. fa solo positivi
valori
-> assume
.
{fx(xi) 1
· =
attesa
Valore di discreto
una via.
IR" IR".
discrete V
Six all'insieme
corrispondente
X: - con
una ver immagine in
Iull. Fxful allora
la Xi
Se valore attese
Srau di
chiama
-> serie si numere
converge,
V.feful teorica
medie
chiamate
#EX) anche
= protobile
verone
il
xe) NON
rX-PIX più
-Per numerabile:
V IE() -
=
=
bE/+6
6)
((x
Teoreme: e.6 EIR
-> + cm
=
. 1E(x)
Y) 1E/Y)
(E(x =
+ +
· funzione
Vove atteso di Ilfllpax) Erf()pa)
di esiste oevwe(E(f(x)
var.: +
x =
di
Varianza una
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