Statistica 2

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Author: Bacula

Revisionato il 24/06/2026

di Bacula

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Appunti di statistica 2 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Borgoni, dell’università degli Studi di Milano Bicocca - Unimib, facoltà di …

Esame Statistica II

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. Borgoni Riccardo

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2020-2021

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Statistica II

Concetti fondamentali

Popolazione: insieme dei possibili esiti che, a parità di condizioni, possono essere ottenuti da un esperimento (misurazione, rilevazione...)

Pop. finita (concettualmente fissa)
Pop. infinita (modello probabilistico)
Pop. virtuale (modello probabilistico)

Campione: sottoinsieme (finito) degli esecutati della popolazione

Teoria delle probabilità

La teoria delle probabilità fornisce modelli (popolazione di riferimento) per i fenomeni considerati. L'analisi descrittiva produce evidenze a sostegno di tali modelli basandosi sui dati rilevati. L'inferenza statistica permette di "risalire" dai dati osservati alle principali caratteristiche del modello/populazione.

Notazione generale

X₁, X₂, ..., X_n (maiuscole) campione di numerosità n - prima della sua osservazione.

x₁, x₂, ..., x_n (minuscole) campione di numerosità n - dopo essere stato osservato.

n = ampiezza del campione.

Il valore numerico

Campione casuale: dato la v.c. X oggetto di studio, con distribuzione f(x), un campione casuale è l'insieme di v.c. X₁, ..., X_n i.i.d. come X.

X = f(x) X = X₁, X₂, ..., X_n campione casuale da X (i.i.d. a X).

f(x₁, x₂, ..., x_n) = f(x₁) * f(x₂) * ... * f(x_n) - f(x_i) => f(x) è detta distribuzione congiunta del campione X.

Natura aleatoria del campione

Esempio 1: Si consideri una popolazione P di 3 unità per la quale la variabile X assume i valori 0, 1 e 2. Si supponga di estrarre con reimmissione un campione di 2 unità (n = 2).

X₁	X₂
0	0
0	1
0	2
1	0
1	1
1	2
2	0
2	1
2	2

P = {0, 1, 2}

P(X = x) = P(X₁ = x₁, X₂ = x₂) = P(X₁ = x₁) P(X₂ = x₂) = ¹/₃ · ¹/₃ = ¹/₉

Distribuzione congiunta del campione per popolazioni virtuali

Esempio: X = { Chip Difettoso, Chip Funzionante }, θ = P(X = 1). Ovvero X ~ Bern(θ). Si considerino campioni di numerosità μ = 3.

X₁	X₂	X₃
0	0	1
0	0	1
0	0	1
1	0	0
1	1	0
1	1	0
1	1	1
1	1	1

P(C₄) = P(X₁ = 1, X₂ = 0, X₃ = 0) = P(X₁ = 1) P(X₂ = 0) P(X₃ = 0) = θ (1-θ) (1-θ) = θ(1-θ)²

Distribuzione congiunta del campione con X continua

Esempio: Popolazione: X ~ N(μ, σ²)

X m f(y(x, μ, σ²)) = ¹/_√2πσ² e^{-¹/₂ ((x-μ) / σ)²}

μ ∈ ℝ, σ > 0

Generio campione casuale con n = 3: X₁, X₂, X₃ distribuzione campionaria.

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