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Statistica II
Popolazione: insieme dei possibili esiti che, a parità di condizioni, possono essere ottenuti da un esperimento (misurazione, rilevazione...)
- Pop. Finita (collettività finita)
- Pop. Infinita (modello probabilistico)
- Pop. Virtuale (modello probabilistico)
Campione: sottoinsieme (finito) degli elementi della popolazione
La teoria della probabilità fornisce modelli (popolazione di riferimento) per i fenomeni considerati
L’analisi descrittiva produce evidenze a sostegno di tali modelli basandosi sui dati rilevati
L’inferenza statistica permette di “risalire” dai dati osservati empiricamente alle caratteristiche del modello/populazione
Notazione generale: X1, X2, ..., Xn (nonisce) campione di numerosità n prima della sua osservazione x1, x2, ..., xn (misurate) campione di numerosità n dopo essere stato osservato
Li valore numerico
n = ampiezza del campione
Campione casuale: dato la v.c. X oggetto di studio, con distribuzione f(x), un campione casuale è l’insieme di v.c. X1, ..., Xn i.i.d. come X
- * le reunion model garantisce M-ulpem func.
X = f(x) X = X1, X2,..., Xn campione casuale da X (i.i.d. a X)
f(x1, x2, ..., xn) = f(x1)×f(x2)×...×f(xn)=∏if(xi) => f(x) è della distribuzione congiunta del campione
Dato popolazione di interesse sono molti i campioni estrabili:
Spazio campionario: insieme dei possibili campioni estraibili dalla popolazione di interesse
ricerca la distribuzione di X̄ tramite il metodo della funzione generatrice dei momenti
GX̄(t) = E[etX̄]= E[et(1/n) ∑xi]= E[Πiet(1/n)xi]= ΠiE[e(t/n)xi]= ΠiGX̄(t/n)
a parte si calcola GX̄(t) = etμ + (σ2t2/2)a parte si calcola e(t/n)μ + (σ2(t/n)2/2)
Conclusioni:
X̄ ~ N(μ, σ2/n)
Distribuzioni generali:
- X ~ N(μ, σ2)
- X1, ..., Xn indipedenti (non identicamente distribuite)
- ∑aiXi ~ N( ∑aiμi, ∑ai2σi2)
- Con ai, Xi v.a. qualunque
- E[ ∑aiXi] = ∑aiE[Xi]
- Se sono identicamente distribuite qualsiasi E[Xi] = μ ∀ i = 1, ..., n
- Posto ai = 1/n ottenniamo E[∑iXi] = E[ n-1 ∑Xi] = E[X̄] = μ (μ/n) = μ
Se Xi, ... , Xn sono v.c. qualsiasi e indipendenti:
var(∑aiXi) = ∑ai2var(Xi) + 2∑i<jaiajcov(Xi, Xj) = ∑ai2var(Xi)
Var(X̄) se Xi sono v.a. = ∑(1/n)2 * σi2
Se ai = aj = 1/n ∀ i, j = 1, ... , n)
Var(∑Xi: i=1, ... ,n) = σ2(∑ai2) = σ2/n = σ2/n
La distribuzione dei momenti campionari (solo momento primo)
x=f(X) X1, ... , Xn iid come X
V.a. discreta
E[Xr] = ∑xrf(x)
V.a. continua
E[Xr] = ∫xrf(x)
Mr = 1/m ∑Xri
Valore atteso di Mr è: E(Mr) = [E(1/m ∑xri)] = 1/m * ∑μr = 1/m * μr ≃ μr = μr
OSSERVAZIONE : Sn2 = 1/n ∑(Xi - XX)2 i termini (X1 - XX), (X2 - XX), ..., (Xn - XX) soddisfano un vincolo ∑(Xi - XX) = 0 quindi solo n-1 sono indipendenti
VARIANZA DI Sn2 NEL CASO DI POPOLAZIONE GAUSSIANA
Var (m / (n - 1) ∑ (Xi - X)2 ) = Var( Sn2 ) = 2 (n - 1) / n2 σ4
Var (m / n ∑ (Xi - X)2 ) = 2 / m (n - 1) / n2 σ4
MOMENTI DI Sn2 E S2 PER DISTRIBUZIONI QUALSIASI
Se esistono, qualsiasi con E[(X)2] < ∞, Var(X) < ∞
E(E[(X)]2) = µ2
E[(X)]2 = dispersione si utilizza la proprietà di una variabile Var(X) + E(X)2 - [E(X)]2 è la proprietà della variabile campionaria = m - 1
=> E[(X)]2+ E[(M+)]2- [E[(X)]2
E(XE[(n - 1)]) = X21 + ... + X2m / m2 = ∑ Xi = m2 μ2
Var≥[E[(X)] - [E[(X)])]2
E([X]3+ e Var([X])+[E[(X)]2]) = σ4+ μ4
E([Sn2-σ4+ μ4]= > S2 è uno stimatore distorto di G4
E(E(Sn2)) = E( m / (m - 1) ) = m E((E[(X)] - m / n --1/m ) G4 C4)
VARIANZA DI S2 PER POPOLAZIONI QUALSIASI
Var (S2) = 2 / m (n - 1) / m2
INEGUAGLIANZA DI JENSEN
FUNZIONI CONVEXE una funzione g: ( a, b ) -> R con ( a, b ) subsezione R è CONVEXA in ( a, b ) se il grafico di g
g (x) g ( x0 )
2) θE(x2) + 0 · (1-θ) + 1 · θ) = θ
3) i=1 |xi|
E(T2) = θ(2-θ)|01 + θ(|1=θ
= Var(x1) = 1 var(|x|
= E(|x2|σ2 E(|x2) = 1·20 · (1-θ) + 1 · θ = θ 4) E(T3 = 5) = qunidi T2 non distorto per θ 6) MSE (T2 = VarT2 rep E[(x2)σ2 |x|1 + |x| MSE (T2 = 1 MSE (T2 Var, >> 1 si prende Concettivmente : T1 non solo i dati, T2 più cachere Osservazione quindi possiamoEfficienza: L'EFFICIENZA AUMENTA CON m se T è tale che Var(T)=Im(θ)-1 allora T è l'unvue di θ Misura di efficacia assoluta: eff(T) = [ Im(θ)-1 ] / Var(T) 0≤ eff(T) ≤ 1eff(T) = 1 sse Im(θ)-1 = Var(T)ovvero T è massimamente efficiente Generalizzazione della disuguaglianza di Cramer e Rao Si ha un primo stimatore T di r(θ) con r(θ) funzione derivabile regolare in θ. Simile si ha Var([r'(θ)Im(θ)]) Esempio X~Bern(θ) θ = P(X=1) P(X=x) = θx (1-θ)1-x X1 = (x1,...,xn) e.c. da X Calcolo della funzione di bone, dell'informazione di Fisher e verifica che relative T l'unvue di θ L(θ) = θ xi (1-θ)n-xi l(θ) = xi log θ + (n - xi) log (1-θ) U(θ) = D log L(θ) = xi/θ - n-xi/(1-θ) u' = u(il')}} -Im(θ) = E( - D2 log L(θ) ) = E( xi/θ - n+xi/(1-θ) )= iE( EXi ) + n- iE( EXi ) 1/θ - 1/(1-θ) = m [ 1/θ - 1/(1-θ) ] • Im(θ) = m I(Θ) Im(0) = m I(Θ) I(θ) = - E [ ∫301 log f(x,θ)² ] - E [ ∫301 (x log θ + (1-x) log (1-θ))² ] - E [ ∫301 (x log θ + (1-x) log (1-θ))² ] = 1/θ(1-θ) = m/θ(1-θ)
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