Statistica 2

MEDIA E VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE DISCRETA

Posso sostituire alla formula della media e della varianza, la parte di formula che abbiamo visto per trovare pk. Stessa cosa per la varianza.

STATISTICA 2C LEZIONE DEL 25 NOVEMBRE 2020

Variabile casuale bernoulliana X Bin (1, p)

Caso particolare della Binomiale: n = 1 esattamente come una variabile dummy.

La binomiale (n, p) risulta anche dalla somma di n bernoulliane. Infatti:

• Il risultato della prova sarà 1 se ho osservato un successo e 0 se ho osservato un insuccesso.
• Se effettuo n prove, gli esiti saranno una sequenza costituita da 0 e da 1 in corrispondenza di ogni insuccesso e di ogni successo.

La variabile che conta il numero di 1 è una variabile casuale binomiale Bin (1, p) = BinΣ(n, p)

(al più) significa minore o uguale

(almeno) significa maggiore o uguale

Complementare (9 e 10)

Nel secondo esempio, per eliminare i calcoli da 0 a 8 (che sarebbero lunghissimi) applico la regola del complementare.

ovvero in quel caso il complementare di A = x minore uguale a 8 sarà A^c = X maggiore uguale a 9 n arriva fino a 10 quindi mi fermo li. VARIABILE CASUALE IPERGEOMETRICA X Ig (N, M, n) stesso esperimento (della binomiale) da cui ricaviamo solo 2 risultati: successo (M) e insuccesso (N – M); abbiamo la probabilità del successo, ma questa volta l'esperimento è senza reimmissione quindi gli eventi sono dipendenti. I parametri (N, M, n) della ipergeometrica rappresentano rispettivamente il numero totale di palline nell'urna (N), il numero di palline del colore che considero un successo (M) e il numero di estrazioni (n) che effettuo senza reimmissione. Dal momento che non c'è reimmissione, il successo/insuccesso cambia di estrazione in estrazione. N: numero di successi o insuccessi alla prima estrazione M: numero di successi alla prima estrazione n: numero di estrazioni senza reimmissione DEFINIZIONE: GRAFICO DELLA FUNZIONE DI

PROBABILITÀ come la Binomiale può essere simmetrica o asimmetrica a secondo dei valori dei parametri. Graficamente, a segmento sull'asse delle ascisse i valori vanno da 1 fino ad n. La media della ipergeometrica è uguale a n*p, dove n*p è uguale a M/N. La varianza della ipergeometrica è minore della varianza della binomiale. Quando si dice "ESTRAZIONE IN BLOCCO" è un altro modo per dire senza reimmissione! Ora vediamo l'unica variabile casuale continua: VARIABILE CASUALE NORMALE O GAUSSIANA (X ~ N(μ, σ)). La formula da non imparare è sempre maggiore o uguale a 0. È la variabile più utilizzata, per questo si dice che è normale. Inoltre, le funzioni continue si dice che hanno una funzione di densità e non una funzione di probabilità. Da cui il rispettivo grafico è: in particolare, trasla a destra se la media aumenta e trasla a sinistra se la media diminuisce. La varianza aumenta, allora la.

curva si appiattisce, la varianza diminuisce. Allora la statistica 2C lezione del 26 novembre 2020 è dedicata al calcolo della probabilità di una variabile casuale normale. Come detto in generale, per calcolare la probabilità di un intervallo bisogna calcolare: per facilitare le cose c'è un metodo operativo molto semplice. Si dimostra infatti che se si passa alla standardizzazione della variabile, cioè si applica la trasformazione X - μ = Z * σ (scarto quadratico medio, NO VARIANZA), si ottiene la variabile standardizzata che risulta ancora una Normale con parametri fissati. Z = variabile normale standardizzata. Una qualunque variabile standardizzata ha media pari a 0 e varianza pari a 1. Dunque, la nostra Z rimane sempre una variabile normale con tavole della normale. Si può usare all'esame! La probabilità che Z sia minore di 1,85 (1,8 con lo 0,05) è 0,9678. DA RICORDARE CHE LA TAVOLA CI DA LA PROBABILITÀ CHE "Z"

SIAMINORE DEL VALORE CHE STIAMOCERCANDO!!!!per calcolare l'inverso, guardo per prima cosa i valoricentrali alla tabella e in seguito vedo a cosacorrispondono!!la cosa strana è che nonostante Z comprenda valori da - infinito a + infinito, la tavola ferma laZ al numero "3.0".

OSSERVAZIONI SULLA LETTURA DELLE TAVOLE

1. contiene solo valori Z positivi: per la simmetria della funzione di densità, infatti sitrovano facilmente anche quelli negativi.
2. il valore Z MAX è 3,09: si nota infatti che ad esso corrisponde un valore della funzionedi ripartizione pari a 0,999 quasi tutta l'area (= 1) quindi la tavola è esaustiva.

si può leggere in due modi:

1. diretto: dato Z trovare la F(z)
2. inverso: data la F(z) trovare z

non c'è un esperimento dal qualedobbiamo capire il tipo divariabile, in quanto ce lo indicheràil testoper evitare di sbagliare, fare sempre perprima cosa, il grafico.una volta trovato Z,

possoandare a trovare la probabilità sulla tavola. Andando a guardare sulle tavole, il valore che corrisponde a 2,00 è 0,9772. Bisogna farsi sempre queste due domande: 1. Ho davanti da calcolare una probabilità del tipo minore o uguale? Cioè, la probabilità che devo calcolare è una funzione di ripartizione? In questo caso sì perché io ho proprio un'area che sta a sinistra di un certo valore. 2. Il valore di Z, lo troverò sulle tavole? Sì, in questo caso 2 lo trovo sulle tavole. Questo appena fatto era il caso più semplice. Vediamo ora il caso b, in cui non riusciremo a rispondere a queste due domande. In questo secondo caso, abbiamo ad esempio che il -2 è un numero negativo, e quindi non è proprietà della simmetria rappresentato sulle tavole, ma secondo la lo ricavo facilmente. Per la proprietà della simmetria -2 presenta la stessa probabilità di +2 e quindi inverto le cose (da minore a

maggiore).per la proprietà del complementare invece, calcolo 1 – P (Z </= 2) e dunque calcolo la probabilità alla sinistra di +2 (parte in rosso nel grafico).

ALTRI CASI POSSIBILI