Statistica - Fondamenti Statistica Descrittiva

Indice

• Pag 3 La variabilità, intervalli di variazione
• Pag 4-5 La varianza e le sue proprietà
• Pag 6-7 La diseguaglianza di Tchebychev, mutabili/variabili statistiche bivariate, la distribuzione di frequenze congiunte
• Pag 8 La variabile statistica condizionata, medie e varianze condizionate
• Pag 9 La covarianza
• Pag 10 Le proprietà della covarianza, coefficiente di correlazione lineare
• Pag 11 Combinazione lineare di variabili statistiche

Uno strumento grafico per la variabilità e simmetria di una distribuzione: il box-plot

Come si rappresenta

Sul piano cartesiano rappresento un rettangolo centrato di base un segmento i cui estremi sono sul 1° e 3° quartile. Ai lati della scatola si aggiungono due segmenti (baffi) con estremi il valore minimo e massimo dei dati. Se la scatola è centrata sui baffi e la mediana poggia sul punto medio della scatola, si ha distribuzione simmetrica.

La variabilità rispetto a un valore medio

Per quanto riguarda la dispersione dei dati attorno a un valore medio, la misura di variabilità più utilizzata è la varianza.

La varianza

Si dice varianza la media aritmetica dei quadrati degli scarti di ogni singola modalità dalla media aritmetica della variabile statistica. La formula è V[X] = (1/n) Σ (x_i - μ_x)² ⋅ n_i oppure V[X] = E[(X - E[X])²].

Lo scarto quadratico medio

È la radice della varianza, cioè:

Esempio: _{18 19 20 21 22 27} V(x) = (18-20)² * 5 + (19-20)² * 10 + (22-20)² * 5 = ¹³³³/₄₅ = σ_x²

Proprietà della varianza

1. La varianza è positiva o nulla. V(x) > 0
2. Può essere vista come V[x] = E[x²] - (E[x])²
3. È il valore assunto delle funzioni. Data la variabile statistica con μ_x e σ_x², la varianza della trasformata y = a + b * x è data da V[y] = b² * V[x]

Esempio: uno stipendio del primo mese da 35 dipendenti. Pagamento base 800€ e ore di straordinario = 25€. y = 800 + 25 x Si sa che E[y] = 800 + 25 E[x] e che V[y] = b² * V[x] Avviene che 804 * 25 - 9.458 = 1038 458 = E[y] o che V[y] = 25² * 22,498 = 14672,78

Procedura di standardizzazione

Con la trasformazione lineare si hanno media nulla e varianza unitaria:

E[z] = 0

V[z] = 1

Diseguaglianza di Tchebychev

Data una variabile statistica X con μ_x e σ_x², la proporzione di unità statistiche per cui X(ω) risulta esterno all'intervallo [μ_x - Kσ_x, μ_x + Kσ_x] è non maggiore di ¹/_K², con K > 0. Tchebychev fornisce anche informazioni sulle unità all'interno dell'intervallo. La proporzione di unità statistiche appartenenti all'intervallo è maggiore di 1 - ¹/_K².

Esempio: μ_x = 34,42

Capitolo 7: Statistiche bivariate

L'applicazione che associa a ciascuna unità w_i di Ω un solo elemento dell'insieme H_x × H₂ viene detta:

• Variabile statistica bivariata (A, B) se gli elementi di H₁ e H₂ sono ambedue
• Variabile statistica bivariata cl(x, Y)
• Variabile statistica mista (X, Y)