Statica - Travi sollecitate da forza N e M, teoria ed esercizi

12. TRAVI SOLLECITATE A FORZA NORMALE E MOMENTO FLETTENTE

È comune il caso in cui oltre al momento flettente (e taglio) sia presente anche forza normale. Esempi: struttura "travi-pilotis" (a), montante porta insegne (b)

(a) pressione del vento (b) In questi casi la deformazione è per contrazione-estensione (ε ≥ 0) e flessione (χ).

La tensione normale in una sezione sollecitata a forza normale N e momento flettente M è ottenuta assumendo che l'asse delle travi L sia il luogo di baricentri e negli ipotesi di conservazione delle sezioni piane (in analogia alle flessioni).

G

12. TRAVI SOLLECITATE A FORZA NORMALE E MOMENTO FLETTENTE

È comune il caso in cui oltre al momento flettente (e taglio) sia presente anche forza normale. Esempi: struttura travi-pilasti (a), montante porta insegna (b)

(a) pressione del vento

(b) peso insegna

In questi casi la deformazione è per contrazione - estensione (ε ≥ 0) e flessione (χ).

La tensione normale in una sezione sollecitata a forza normale N e momento flettente M è ottenuto assumendo che l'asse delle travi L sia il luogo di baricentri e nell'ipotesi di conservazione delle sezioni piane (in analogia alla flessione).

_S ^S' dφ _c

dso b b' dφ c

y d dφ' d'

dφ_v dz dz φ v_y

Si considera un tratto infinitesimo di trave dz soggetto a N, M.

La sezione S per effetto di N e M si porta in S' mantenendo

piana. La fibra baricentrica ab si allunga e il punto b si

porta in b' sicchè ab' = ds_o. La deformazione della fibra

baricentrica è:

Le fibra generica c_d distante y dal baricentro C si allunga,

il punto d si porta in d'. La lunghezza c_d = ds(y).

Da considerazioni geometriche

dS(y) = ds_o + y d\phi

e quindi la dilatazione lineare risulta

Poiché d\phi/dz = x si ottiene

Assumendo che la tensione normale σ(y) dipenda solo da

ε(y) attraverso il modulo di Young E si ottiene

Ricordando che N e M sono rispettivamente la risultante

ed il momento risultante delle tensioni normali con polo nel

baricentro C si ottiene (E, E_o, x non dipendono da y):

ossia

N = Eε₀(∫_A da) + E∫_A (∫ y da)

S_x = 0 momento statico rispetto al baricentro.

in definitiva

N = EAε₀.

Analogamente

M = ∫_A σ(y) y da = ∫_A (Eε₀+EXy) y da

ossia

M = Eε₀(∫_A y da) + EX (∫_A y² da)

S_x = 0

J_x momento d'inerzia rispetto al baricentro.

e quindi

M = EJ_xχ.

Ricavando ε₀ = N/EA e χ = M/EJ_x e sostituendo nelle precedenti

σ(y) = Eε₀+EXy = ^N/_A + ^M/_Jx y = σ(y)

Quindi la tensione normale è la somma del contributo assiale (costante nella sezione indipendente da y) e del contributo flettente (variabile linearmente con y).

In questo caso l'asse neutro non coincide più con l'asse baricentrale y_g, ma viene determinato ricadendo

che è definito come luogo dei punti su cui σ=0 (in alternativa delle fibre che non si deformano ε=0):

σ = _N/_A + _M/_Jx y_n = 0

da cui

y_n = -_N/_{A Jx}/_M

In effetti solo se y_n è contenuto nella sezione si può definire l’asse neutro (caso a), mentre se è esterno (caso b) non esistono fibre a tensione nulla (che non si deformano). Il sistema (N, M) può essere ridotto ad una unica forza posta nel punto C, detta centro d’assollectazione, che dista dal baricentro di una quantità detta eccentricità.

Si può quindi scrivere

si definisce il rapporto

_x = ^J_x⁄_A

reggio d'inerzia

della sezione rispetto all'asse x