Statica - Travi sollecitate da forza N e M, teoria ed esercizi

12. TRAVI SOLLECITATE A FORZA NORMALE E MOMENTO FLETTENTE

È comune il caso in cui, oltre al momento flettente (e taglio), sia presente anche forza normale. Esempi: struttura travi-pilastro (a), montante porta insegne (b).

(a) pressione del vento

In questi casi la deformazione è per contrazione-estensione (N ≠ 0) e flessione (X).

La tensione normale in una sezione sollecitata a forza normale N e momento flettente M è ottenuto assumendo che l’asse delle travi L sia il luogo di baricentro e nell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane (in analogia alle flessioni).

Si considera un tratto infinitesimo di trave d_z soggetto a N, M. La sezione S per effetto di N e M si porta in S¹ mantenendosi piana. La fibra baricentrica ab si allunga e il punto b₁ si porta in b¹ sicché ab¹ = d_s0. La deformazione della fibra baricentrica è

ε₀ = ^{d_s0 – d_z}/_dz

La fibra generica c¹d¹ distante y dal baricentro G si allunga, il punto d si porta in d¹. La lunghezza c¹d¹ = dS(y).Da considerazioni geometriche

dS(y) = d_s0 + y dφ

e quindi la dilatazione lineare risulta

ε(y) = ^{dS(y) – d_z}/_dz = ^{d_s0 + y dφ – d_z}/_dz = ε₀ + y ^dφ/_dz

Poiché dφ/d_z = X si ottiene

ε(y) = ε₀ + X y

Assumendo che la tensione normale σ(y) dipende solo da ε(y) attraverso il modulo di Young E si ottiene

σ(y) = E ε(y) = Eε₀ + EXy

Ricordando che N e M sono rispettivamente la risultante ed il momento risultante delle tensioni normali con polo nel baricentro G si ottiene (ε, ε₀, X non dipendono da y)

N = ∫_A σ(y) d_a = ∫_A (Eε₀ + EXy) d_a

(2) 0 ≤ y_n ≤ ^h⁄₂ l'asse neutro taglia la sezione nel semipiano y > 0

→ e < 0:

che pone

θ ≤ y_n = -^ρx⁄_e² ≤ ^h⁄₂

e ≤ -^2βx2⁄_h = -^h⁄₆

(a) e ≥ ^h⁄₆ -^h⁄₂ < y_n < 0

(b) 0 ≤ e ≤ ^h⁄₆

y_n < -^h⁄₂

(c) -^h⁄₆ ≤ e ≤ 0

y_n > ^h⁄₂

(d) e ≤ ^h⁄₆

0 ≤ y_n ≤ ^h⁄₂

Si osservi che se N < 0 la posizione y_n non cambia in relazione all'eccentricità; mentre è sufficiente cambiare il segno della tensione normale.

Con riferimento alla figura, se e > h/6 (o e < -h/6) la soluzione elastica (resistente a trazione e compressione) indica che porta della sezione è tesa, porta è compressa. Questa soluzione non è piu accettabile poiché contradd [il postulato NRT (σ<0).

Se si assume ancora l'ipotesi di conservazione delle sezioni piane, l'andamento della dilatazione E(y) è lineare con zone dove E(y)>0 altre zone E(y)<0. Nelle prime la tensione è nulla mentre nelle seconde σ(y)=E E(y) <0.

L'effettivo andamento delle tensioni σ(y)<0 è lineare ed è definito una volta nota la posizione dell'asse neutro e della massima tensione σmax <0. A questa proprietà si esamina l'andamento delle tensioni per l'equilibrio alla rotazione. La distribuzione lineare di tensione σ(y) ha estremo incognita e centro collocato a distanza d/3 dall'intadom. Pertanto

d=3u=3(^h/₂-e)

che definisce la posizione dell'asse neutro

b= la lunghezza della sezione

Cui corrisponde il momento delle forze esterne

M = (V₁ + V₂) H = M_e

incognito

V₂ = M_e + V₁ = (175500 kg_cm + 300 kg) = 885 kg = 8.85 KN

Verifica Dato N = 15000 kg M = 175500 kg_cm

determine la normale termine di compressione

Si determina e = ^M/_N = ¹⁷⁵⁵⁰⁰/₁₅₀₀₀ cm = 11.7 cm > ^h/₆ = 8.33 cm

sezione paretiizzata

Si determina u = ^h/₂ - e = (25 - 11.7) cm = 13.3 cm

σ_max = ^2N/_3ub = ^{-2 x 15000}/_{3 x 13.3 x 50} kg/_cm² = 15 kg/_cm²

Esempio 2 Muro a gravità (schema semplificato)

spinta delle terre alla base; P = P₁ + P₂ peso del

muro; γ peso specifico del calcestruzzo

N = P = 1500 kg; M = Pz = (1500 x 50) kgcm = 750.000 kgcm.

La sezione quadrata di lato s = 3 cm ha le seguenti caratteristiche:

A = (3 x 3) cm² = 9 cm²; J_x = (1/12) 3 x 3³ cm⁴ = 6.75 cm⁴

σ(s/2) = N/A + M s/2/J_x = (1500/9 + 750.000 . 3/2/6.75) kg/cm² = 166830 kg/cm²

σ(-s/2) = N/A + M(-s/2)/J_x = (1500/9 - 750.000 . 3/2/6.75) kg/cm² = -166500 kg/cm²

Le tensioni sono enormemente più elevate di quelle ammissibili. Assumendo quale tensione ammissibile σ_amm ≈ 300 kg/cm² si cerca la dimensione del lato s del quadrato per il quale σ(s/2) = σ_amm.

σ(s/2) = N/s² + M s/2/(1/12 s⁴) = σ_amm.

⇒ N/s² + 6M/s³ = σ_amm ⇒ Ns + 6M = s³ σ_amm.

Si deve risolvere l'equazione σ_amm s³ - Ns - 6M = 0 di terzo grado nell'incognita s. Poiché risulta dai precedenti calcoli che

N/A << M s/2/J_x

Si sceglie un pilastro di lato _h = 100 cm.

A = 1 m² p_d = gA = (1800 × 1) kg/m² = 1800 kg/m.

N_d = - (2 × 400 + 1800 × 3) = - 6200 kg.

ɛ_A = (²⁴⁰⁰⁰/₆₂₀₀) cm = 38.7 cm —> |ɛ_A| = 38.7 cm < h/2 = 50 cm.

Se il centro di sollecitazione c’è interno alla sezione:

Si osserva, tuttavia che |ɛ_A| > h/6 = ¹⁰⁰/₆ cm = 16.6 cm. Pertanto la sezione risulta parzializzata —> u = h/2 - |ɛ_A| = (50 - 38.7) cm = 11.3 cm.

La massima compressione σ_m vale

σ_m = ^2N_d/_{3h u} = (^{2 × 6200}/_{3 × 100 × 11.3}) kg/cm = - 3.7 kg/cm²