(2/2) Statica: Statica piana dei corpi rigidi

Elementi di Meccanica

La forza

Ci sono due modi di introdurre la forza: dal punto di vista

• Statico - capacità di sollevare un peso misurato dall'entità del peso stesso
• Dinamico - causa del moto o meglio della sua variazione

Le forze possono essere:

• Concentrate - applicate a singoli punti materiali
• Diffuse - applicate a più corpi

La composizione delle forze

Le forze si compongono con la regola del parallelogramma

Risultante _f = ^{f₁ + f₂}

Lavoro, energia cinetica, energia potenziale

Lavoro: basta una forza f applicata al punto materiale P che si sposta in linea retta con uno spostamento complessivo u; si dice lavoro l nello spazio y la seguente quantità scalare:

L = f · u

Introducendo le componenti f_x, f_y, f_z di f e u, v, w e calcolando il prodotto scalare si ha:

L = f_xu + f_yv + f_zw

Nel caso in cui f vari con lo spostamento e/o P si sposti su una curva in generale si può considerare il lavoro elementare

dL = f dy

Per i spostamento infinitesimo la forza è costante in modulo e direzione. Al lavoro elementare corrisponde il lavoro totale

L = ∫ f · dy

Introducendo le componenti di f e d

L = ∫_f^x du + f_ydv + f_zdw

Energia Cinetica: Si chiama energia cinetica di un punto materiale di massa m che in un fisso sistema di riferimento inerziale si muove con velocità v la seguente quantità scalare:

T_c = 1/2 mv²

THM DELLE FORZE VIVE (THM DEL LAVORO E DELL'ENERGIA CINETICA)

LA VARIAZIONE DELL'ENERGIA CINETICA TRA DUE ISTANTI t₀ E t₂ DI UN PUNTO MATERIALE DI MASSA m È PARI AL LAVORO FATTO SU DI ESSO DALLE FORZE ESTERNE

ΔT = T(t₂) - T(t₀) = ∫₁² f . du = ΔL

ENERGIA POTENZIALE

Si chiama energia potenziale di un campo di forze dipendente solo dalla posizione x, la funzione U(x, y, z) che gode delle seguenti proprietà:

f_x = - ∂U(x, y, z) / ∂x  f_y = - ∂U(x, y, z) / ∂y  f_z = - ∂U(x, y, z) / ∂z

THM DELLE FORZE CONSERVATIVE

LA DIFFERENZA D'ENERGIA POTENZIALE (CON SEGNO CAMBIATO) TRA LE POSIZIONI P E Q DI UN PUNTO MATERIALE P È UGUALE AL LAVORO FATTO DALLE FORZE DEL CAMPO PER SPOSTARE IL PUNTO MATERIALE P DA P A Q. TALE LAVORO È INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO

ΔL = ∫_P^Q f . du = ∫_P^Q f_x dx + f_y dy + f_z dz

L'ultima relazione segue dal fatto che du = dx, du_y = dy, du_z = dz poiché si sta considerando un campo di forze conservative:

Δl = - ∫_P^Q ∂U(x, y, z) / ∂x dx + ∂U(x, y, z) / ∂y dy + ∂U(x, y, z) / ∂z dz = - ∫_P^Q dU = -ΔU

THM DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA

LA SOMMA DELL'ENERGIA CINETICA E DELL'ENERGIA POTENZIALE DI UN PUNTO MATERIALE CHE SI MUOVE IN UN CAMPO DI FORZE CONSERVATIVE È COSTANTE:

T + U = cost.

APPENDICE A. CENNI DI MECCANICA NEWTONIANA

• SPAZIO = tridimensionale e euclideo
• TEMPO = monodimensionale e continuo
• FORZA = causa che determina la variazione dello stato di moto o di quiete

Criterio di equivalenza rigida tra forze

Le forze f_i che agiscono su un corpo rigido sono applicate a punti P_i in generale diversi tra loro. Le forze vanno considerate come vettori applicati per i quali valgono i seguenti principi:

Principio 1: Una forza è rimanente equivalente a se stessa se viene spostata lungo la sua retta di applicazione.

Principio 2: Due forze applicate a uno stesso punto sono equivalentialla loro somma vettoriale determinata dalla regola del parallelogramma.

Due sistemi di forze f₁, f₂, ..., ed f₁', f₂', ... che si trasformano uno nell'altro applicando questi criteri di equivalenza si dicono sistemi di forze equivalenti rigidamente.

I criteri di equivalenza valgono solo quando le forze agiscono su un corpo rigido.

Momento di una forza

Si definisce momento rispetto al polo O di una forza f applicata nel punto P il seguente prodotto vettoriale:

M_o = OP × f

1. Il momento è un vettore⊥ al piano definito da OP ed f; col senso della parte del piano in cui f determina una rotazione antioraria attorno al polo O. L'intensità di M_o è pari al modulo di f per il suo braccio b, ovvero per la distanza di O dalla retta di azione di f.

2. Il momento di f non dipende dal punto scelto e punto P di f.

Per un insieme di n forze f_i applicate in n punti P_i, si definisce momento risultante rispetto al polo O la somma dei momenti di tutte le forze rispetto a O

M_o = Σ M_0,i = Σ OP_i × f_i

Espressione algebrica del criterio di equivalenza rigida

Due sistemi di forze f₁, f₂, ... f_n e f₁', f₂', ... f_n' sono equivalenti tra loro secondo il criterio di equivalenza se e solo se, detta F = M_o la risultante e il momento risultante delle forze f_i rispetto ad un generico polo O ed F' = M_o' la risultante e il momento risultante delle forze f_i' rispetto allo stesso polo si ha F = F' e M_o = M_o'.

F = Σ_i=1ⁿ f_i = Σ_i=1ⁿ f_i'

M_o = Σ OP_i × f_i = Σ OP_i × f_i' = M_o'

Es. 3.3 pag. 54

È dato un corpo rigido vincolato con una cerniera nel punto P (5,0) e con un carrello nel punto Q (2,0,0) cui si applica una forza F = f (H,V, n elle); nel punto R e r (3,4).

O DETERMINA LE REAZIONI VINCOLARI

• Scrivo le relazioni costitutive:

CARRELLO Xp = Xpi + Ypj

CERNIERA Ya = -Yaj

• Assumo il punto Q come polo e scrivo le EQ. DI EQUILIBRIO
• T:
• H + Xp = 0
• V + Yp + Ya = 0
• U:
• Ye + XeV + xpYp = 0
• Sostituisco i valori numerici e porto i termini noti a destra

Xp = 2

Yp + Ya = 4

5p = 3,2 + 4,3

=> Xp = 2

Yp = 28/5

Ya = -2/5

Il corpo è in equilibrio perchè leg. cardinali della statica possono essere soddisfatte con le reazioni fornite dai vincoli

Le reazioni vincolari sono determinate dalle sole equazioni nella statica quindi il problema è ISOSTATICO, è sotsanzialmente determinato

• m carrello = 1, m cerniera = 2 M = 3

Osservazione sui segni delle reazioni vincolari

Prima di scrivere le equazioni scalari di equilibrio è necessario postizzare un verso per le reazioni vincolari incognite

SE SEGNO POSITIVO SE CONCORDI CON IL SISTEMA DI COORDINATE SCELTO

SIGNO NEGATIVO SE DISCORDI

Dove riscosrdarono il valore delle reazioni vincolari su il sogno ottenuto e il + - verso insinghimento rosizzatore è corretto, riscorre il faststo ai partenzia. Era sbagliare e il + segno va invertito

(+) = > CONVENENZIONE POSTURA D.V.

Equazioni indefinite di equilibrio

Considero il concio di trave di lunghezza infinitesima dx

il carico assiale q e quello trasversale p, supposti costanti

• N - qdx + (N + dN) = 0
• -T - pdx + (T + dT) = 0
• -M - T₀lx - pdx (frac) + (M + dM) = 0
• -q = dN/dx
• -p = dT/dx
• T_s = dM/dx

Integrando eq. differenziali con opportune condizioni ai contorni

• N_i = ∫q(x)dx + N_i
• T = ∫p(x)dx + T_i
• M = ∫T(x) dx + M_i

Es. 5.3 pag. 37

Utilizzando le eq. indefinite di equilibrio della trave,

si determinino i diagrammi del taglio e del momento