Appunti di Statica - Statica

Staticamassarut Francesco

Informazioni generali

Anno accademico: 2017/18

Semestre: II

Professore: Vincenzo Nicotra

Corso: Ing. Edile - Architettura

Lezione del 16 marzo 2018

Informazioni: (utilizzare libro)

Varia liminosa Crd/Mpq/Stl - Ing. Civile 2° piano corso A Bt.41

Attività formativa: (1 Crd)

• 1 Lezione di Eserc.
• Prove intermedie che contribuiscono 25% / 40% al voto finale.
• Esercitazione: giovedì dalle 14:00 (dal 15 marzo)
• Attività Formativa: martedì dalle 9:30 (dal 20 marzo)
• Esame: scritto + orale, 4 esoneri (vds.: A, B, C, D, ...)

Algebra vettoriale

Vettori: segmenti orientati

Vettore: V = P - Q = QP

Notazione: (tildi): Grassetto

Q + V = P Somma vettoriale

• a, b ∈ V ⇒ (a + b) ∈ V
• "+" ∀ V x V = V (a, b) = a + b

Proprietà:

• ∀ a, b, c ∈ V
• i) a + b = b + a _Commutativa
• ii) a + 0 = a
• iii) (a + b) + c = a + (b + c) _Associativa

Prodotto di uno scalare per un vettore

α ∈ ℝ, α ∈ V, α ∈ ℝ, α ∈ V(α, a) → αa

Proprietà: ∀ α, β ∈ ℝ, ∀ a, b ∈ V

• (1) α(βa) = (αβ)a Associativa
• (2) α(a + b) = αa + αb Distribuitiva
• (3) (α + β)a = αa + βa Distribuitiva

Prodotto scalare

a, b ∈ V ⇒ (a · b) ∈ ℝ

Proprietà: ∀ a, b, c ∈ V, ∀ α, β ∈ ℝ

• (1) a · b = b · a Commutativa
• (2) a · (b + c) = a · b + a · c Distributiva
• (3) α(a · b) = (αa) · b = a · (αb) Associativa
• (4) a · a ≥ 0, a · a = 0 per a = 0 Positività

Definiamo lunghezza a

|a| = √(a · a)

E l'angolo tra a, b: a · b = |a|cos_a|b| → cos_{a b} = vers_a · vers_b → a · b = cos_{a b}|a||b|

Base ortonormale

e₁, e_n (i = 1, n)

e_i · e_j = δ_ij (Kronecker)

∀ a ∈ V, a_i = a · e_i (i = 1, n) a = α_ie_i Σ α_ie_i

Soldo si indichi mediante rosso sopra la Σ v̅ = v_i e̅_i w̅ = w_i e̅_i

Quindi: v̅ · w̅ = (v_i e̅_i) · (w_j e̅_j) = (con i,j = 1,...,N) = v_i w_j δ_ij = v_i w_i _Σ_i=1^N v_i w_i Kronecker per non confondere (i = j)

Prodotto vettoriale

a̅, b̅ ∈ V | a̅ x b̅ ∈ V

Proprietà: ∀ a̅, b̅, c̅ ∈ V, ∀ α ∈ ℝ

• i) a̅ x b̅ = - b̅ x a̅ Anti-commutativa
• ii) (a̅ x b̅) = (α a̅) x b̅ = α (a̅ x b̅) Associativa
• iii) a̅ x (b̅ + c̅) = a̅ x b̅ + a̅ x c̅ Distributiva

... (a̅ x b̅) x c̅ ≠ (c̅ x a̅) x b̅ + (b̅ x c̅) x a̅ = 0 3.dec.-a̅//b se/a̅ x b̅ = 0 e b̅//a̅ se b̅ x a̅ = 0

Regola della mano destra

• e̅₁ x e̅₂ = e̅₃
• e̅₂ x e̅₃ = e̅₁

a̅ x b̅ / a̅ b̅ = (Propr.cont.inv.diretto da c.a.b.) {a̅, b̅} x b̅ {e̅₁, e̅₂, e̅₃} |a̅ x b̅| = |a̅||b̅|sin ab

a̅ = a_i e_i b̅ = b_i e_i (i=1,2,3)e_i e_j e₃

Sviluppo della determinante

Determinante:

|a̅ x b̅| = det a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃ a₁ a₂ a₃ - METODO geometria b₁ b₂ b₃

e₁ = a₁ a₂ a₃ e₁ a₂ - e₁ (a₃ e₂ e₃ e₃)

=(a̅ x b̅ e₁ a₂ a̅ x b̅ e₂ x (a̅ x b̅ e₁)

• = (a₂ b₂ - b₂ a₃) e₁ + (b₃ a₁ - b₃ a₂) e₂ + (a₁ b₂ - b₂ a₃) e₃
• = (a₂ b₃ - b₂ a₃) e₁ + (b₃ b₁ - b₃ a₂) e₂ + (a₁ b₂ - b₂ a₃) e₃

Simbolo di Ricci

• e_i x e_j = e_k
• e_l x e_k a x b = (a_i e_i) x (b_j e_j) = a_i b_j e_i x e_j

(a x b) = (a x b)_k e_k = (a_i b_j e_i x e_j) e_k = a_i b_j e_ijk

a x b (a x b) e x e_k = a_i b_j [e x (a_x e_x)_jx e_x se i, j, k diversi (di classe pari) _i2 = 0 i - j di classe dispari

Permutazioni: 123, 213, 132, 321, 312, 231

Prodotto misto

a x b · e = a x b · e x e_k

Proprietà: