Statica - programma completo

Statica

• Studia le masse e le interazioni tra queste
• Meccanica: descrive e predice (rischi) eventi che avvengono nello spazio (scenario) → posso descrivere il corpo nel piano dandogli una posizione e posso sottoporlo ad azioni
  • Cinematica: geometria
  • Statica: equilibrio tra azioni attive e reattive
  • Dinamica: tempo
• Masse: parti infinitesime che compongono il corpo (punto materiale)
• Le forze
  • Modulo: dimensione grafica della forza, il valore in senso analitico
  • Direzione: freccia
  • Verso: retta di incidenza su cui giace la forza
  • Posso rappresentarla o solo come modulo (|F|) o come versore (|F|.a_↑) indica la direzione
  • Concentrate (1 punto) / distribuite (superficie)
  • Rispetto al punto di applicazione le forze possono essere
    • Rotazione: forza • braccio
    • è data da due forze uguali, contrarie e non allineate
  • Le forze hanno una capacità attrattiva : F₁ = -F₂
  • |F₁| / |F₂| = m₁ • m₂ / r² ⇒ k (costante)
  • F = M / r² • h • g (9,81 m/s²)
• Forza peso (Newton): massa • gravità

Statica

• Studia le masse e le interazioni tra queste
• Meccanica: descrive e predice (rischi) eventi che avvengono nello spazio (scenario) → posso descrivere il corpo nel piano dandogli una posizione e posso sottoporlo ad azioni
  • Cinematica: geometria
  • Statica: equilibrio tra azioni attive e reattive
  • Dinamica: tempo
• Masse: parti infinitesime che compongono il corpo (punto materiale)
• Le forze
  • Modulo: dimensione grafica della forza, il valore in senso analitico
  • Direzione: freccia
  • Verso: retta di incidenza su cui giace la forza
  • Posso rappresentarla o solo come modulo (|F|) o come versore (|F|_.α)
    • Indica la direzione
  • Concentrate (1 punto) / Distribuite (superficie)
  • Rispetto al punto di applicazione le forze possono essere
    • Rotazione: Forza · Braccio
      • È data da due forze uguali, contrarie e non allineate
  • Le forze hanno una capacità attrattiva: F₁ = -F₂

|F₁| / |F₂| = m₁ · m₂ / l² → k (costante) → M / l² · h = g (9,81 m/s²)

Accelerazione di gravità

Forza peso (Newton): Massa · Gravità

• Equivalenze

• Equivalenza è sostituire un sistema di forze con un sistema più semplice che non alteri la meccanica (equilibrio)
• 1. Legge di Newton: un corpo non sollecitato permane nel suo stato
• 2. F=m·a
• 3. Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria
• Da più forze a una sola: somma vettoriale → Risultante: _∑i F_i
• Sistema in equilibrio
• Da una forza a più forze: regola del parallelogramma
• Traccio due rette continue a R e Fx
• Ps. Ripasso
• Teorema dei seni (conosco R)
• _R/_sinα = _RA/_sinß = _RB/_sinα ∴ 2 raggio = costante
• Trigonometra
• A·Csinα = B·Ccosα
• A·Ccosß = C·Csinß
• tgα: A/B
• tgß: B/A

• Equilibrio del punto materiale
• Equilibrio del solido sospeso
• Funi: vincoli particolari che reagiscono solo in una direzione

P.R.O _{Rx=0 Ry=0}

_{-X1cosα X1sinα X2cosβ X2sinβ}

• _{Rx=-X1cosα - X2cosβ =0 Ry=+X1sinα - X2sinβ - P = 0}
• Sistema di riferimento:
• Risolvo (trovo X₁/X₂ e sostituisco)

P.S. Ripasso

Triangolo 45° _{sinα=√(2)/2 = 1/√(2) cosα}

_{(Triangolo 30° - (Per 60° si invertono)) sinα=√(3)/2 - 3/2√(3)}

• Se le incognite fossero gli angoli?
• Elevo tutto il sistema al quadrato
• Uso le relazioni fondamentali di seno e coseno per portare il sistema da 4 a 2 incognite

P.S. Ripasso

• Relazioni fondamentali
  • 1) X² + Y² = 1 _{cos²α + sin²α = 1 cos²α = 1 - sin²α sin²α = 1 - cos²α}
  • 2) sin2α = 2sin(α) ⋅ cos(α)
  • cos2α = cos²(α) - sin²(α)

Caso critico 1: 3^a fune - Metto a sistema le 3 funi e risolvo

Rx: R cosα

Ry: R sinα

Soluzione: impossibile oppure indeterminato

Caso critico 2: Due funi uguali e opposte

Rx: 0 ← -X₁+X₂: 0

Ry: 0 ← P: 0

-P≠0 sempre

Caso critico 3: Due funi uguali, parallele e opposte a P

Rx: 0

Ry: X₁+X₂-P: 0

X₁=X₂=P/2

Piano inclinato

Rx: 0

Ry: 0

X₁-Psinθ: 0

X₂-Pcosθ: 0

Carrucola

Tipo 1

Q-Psinα: 0 (X)

L-Pcosα: 0 (Y)

La reazione vincolare del piano

Tipo 2

P: Q

Tipo 3

Q: 0

PY: 0

La molla

F: Kx

F-Psinα: 0

F-Pcosα: 0

VR-Psinα

Prodotto scalare (lavoro)

|F| |s| cosα

L= P × Δh

Px sinα - Opposizione di P

Py cosα - andamento di P

• Prodotto vettoriale
• Asta: insieme di punti rigidi (rigida infinitamente)
• Trovo R:
  • R_x: F_1x + F_2x
  • R_y: F_1y + F_2y
• Dove posizionarla? Uso momento -> deve essere sempre = 0 per ogni punto
• Coppia di forze -> Invariante rispetto al punto del polo
• Positiva quando ANTIoraria
• Carico uniformemente distribuito
  • Superficiale: q = dP / dA
  • P = Q: q A
  • Volumetrico: Ps = dP / dVolume
• Risultante del carico distribuito = Area (Peso...)
• Il corpo rigido
  • Ogni corpo rigido ha 3 coordinate libere (X, Y, Z): gradi di libertà

• Traslazione: comprende tutti i punti del corpo
• Rotazione: avviene attorno a un punto che rimane fermo, tutti gli altri
  • Si spostano → il vettore spostamento è diverso per ognuno dei punti
    • (≠ traslazione) ma l'angolo (α) rimane sempre lo stesso
• Centro di rotazione (macchina di Eulero)
  • Charles parla di asse di rotazione: ogni spostamento è una rotazione (anche traslazione) → C.R. all'infinito

• Tipi di vincoli
  • Olonomi: quando bloccano uno spostamento, lo bloccano!
  • Lisci: no problemi di attrito
  • Perfetti: non cedevoli e senza difetti
  • Bilateri: impediscono il movimento in entrambi i versi

• Vincoli esterni
  1. Carrello
     • Blocca V_a, C.I.R. su retta, la terreno di appoggio
  2. Biella/pendolo
     • Blocca direzione (⟘), C.I.R. passa tra 2 cerniere (✖)
  3. Cerniera
     • Blocca xâ H_a. C.I.R. coincide con il suo punto di applicazione
  4. Patino
     • Blocca vâ'û. C.I.R. a scorrimento
  5. Manicotto
     • Blocca â J_aû. C.I.R. a scorrimento
  6. Incastro/saldatura
     • Blocca Ûa Vâû. No C.I.R.
• Vincoli interni
  • Cerniera multipla interna
    • GDV: 2(m - 1) / a terra GDV: 2M
  • Carrello multiplo
    • GDV: 2M - 2 / a terra GDV: 2M - 1
  • Patino interno æ
    • GDV: 2
  • Struttura isostatica
    • (GDV = GDL), ipostatica (GDV < GDL), iperstatica (GDV > GDL)

• Analisi cinematica
  1. Calcolare I gradi di libertà (GDL) e I gradi di vincolo (GDV)
  2. Evidence I centri di rotazione (C.I.R.) - se allineati la struttura non è in equilibrio (labiliità)
  3. Calcolo le reazioni vincolari - ad ogni vincolo sostituisco le coordinate che blocca (V_A, H_A, C_WA, M_{P 2 TOT})
  4. Calcolo le azioni interne

- Tra le forze agenti su ogni tronco compaiono sia quelle attive che quelle reattive (reazioni vincolari)

- Taglio l’asta in un punto X distante dall'estremo libero

• Azione assiale N_x → non presente, costante?
• Azione di taglio T_x → costante, lineare
• Momento flettente M_x → lineare, parabolico (abbraccia il carico)

- Quando esiste una coppia di momenti (_{⟶ ⟵}) il taglio non esiste

- Dove il taglio è nullo (T_x = 0) il momento sarà al minimo/massimo

- Percorrendo un’asta, ogni volta che incontro una forza o un vincolo, devo ricordarmi che:

• Quando si incontra una forza diretta come l’asse dell’asta, N_x ha un brusco salto pari al valore della forza applicata
• Quando si incontra una forza ⟂ all’asta T_x ha un salto brusco
• Quando si incontra una coppia M_x ha un brusco salto di valore pari

AL MODULO DELLA COPPIA INCONTRATA

• NEI TRATTI D'ASTA SUI QUALI E' APPLICATO UN CARICO DISTRIBUITO Nx E' COSTANTE
• T_x HA UN ANDAMENTO LINEARE ED M_x E' UNA PARABOLA
• IL MOMENTO E' GENERATO DA FORZE ⟂ ALL'ASTA
• LAVORARE PER SEZIONI E EVIDENZIARE SEMPRE LE AZIONI INTERNE!
• SE SU UN'ASTA E' APPLICATA UNA FORZA CONCENTRATA Nx E T_x HANNO ANDAMENTO COSTANTE, MENTRE M_x E' LINEARE!!

* CASO: Nx:0 + FORZA CONCENTRATA

• T_x=PL
• M_x=PL·x

IMPORTANTE! A x SOSTITUISCO L_⦵ SE ES. 2L-L=(2L)²

* CASO: CARICO DISTRIBUITO!

• Nx= 0/FORZA (COSÌ COM'È)
• T_x= -R_x(CARICO DISTRIBUITO. x - LUNGHEZZA SU CUI E' APPLICATO)
• M_x= Px²/2 + PLx (SE C'E' UNA FORZA ⟂ CONCENTRATA)

NEL MOMENTO, QUANDO CONSIDERO IL CARICO DISTRIBUITO DEVO CONSIDERARE CHE AGISCE PRIMA SU L=0 E POI SU L=tot (ES. SE SI DISTRIBUISCE SU 2L DEVO CONSIDERARE 2L E NON SOLO L, CHE E' LA META', QUINDI DOVE SI APPLICHEREBBE)

• SE Nx E T_x SONO POSITIVI, GRAFICAMENTE VENGONO RAPPRESENTATI NELLA PARTE SUPERIORE DELL'ASTA MENTRE M_x, SE POSITIVO, VIENE RAPPRESENTATO NELLA PARTE INFERIORE

• Equazione parziale

Viene utilizzata nel caso in cui, durante il calcolo delle reazioni vincolari, compaiono più di 3 incognite

1. Individuare il vincolo interno e "rimuoverlo" momentaneamente
2. Individuare la sua coordinata libera (es. rotazione per la cerniera) e "bloccarla"
3. Scrivere l'equazione della coordinata libera riferita a uno dei due tratti di struttura collegati dal vincolo rimosso
4. Trovare il valore dell'incognita e sostituirlo dove necessario

Esempio:

• Rx: HA=HC
• Ry: VA+VC=2pL+p
• Ma: VcL=HcL+p

eq. parziale: Vc=

Sostituisco Vc in Ry per trovare VA

Tituisco in Ma per trovare Hc e POI Ha

• Arco a 3 cerniere

È una struttura costituita da due corpi vincolati a terza da una cerniera ciascuno e collegati tra loro sempre mediante una cerniera; se le tre cerniere non sono allineate allora la struttura è iso statica non labile.

• Anello chiuso/triangolo isostatico

Un anello chiuso puo’ presentarsi come un’asta ripiegata su se stessa i cui lembi vengono saldati tra loro; l’asta chiusa è internamente isostatica/ipervincolata. n di vincoli necessario e sufficiente a impdire