Statica delle costruzioni

GEOMETRIA

BARICENTRO:

è il centro delle forze del sistema

la risultante di una serie di forze coincide nel baricentro

nel calcolo del baricentro va tenuto conto della FORMULA DI PROPORZIONALITÀ

M₁ • d₁ = M₂ • d₂

X_G = Σmi • xi/Σmi    Y_G = Σmi • yi/Σmi

MOMENTO STATICO:

viene calcolato moltiplicando la massa per la sua distanza dall’asse, presa nella direzione dell’altro asse

S_x = Σmi • dyi    S_y = Σmi • dxi

S_mmx = (Σmi • dyi) • sin α    S_mmy = (Σmi • dxi) • sin α

momento statico MINIMO = S_mmx / S_mmy

S_x = Σm • dy    S_y = Σm • dx

Da questo possiamo trovare le COORDINATE del baricentro

sìcome sappiamo che    S_x = Σmi • dyi  ⟶ Y_G • Σmi  ⟶ Y_G = S_x / Σmi

sìcome sappiamo che    S_y = Σmi • dxi  ⟶ X_G • Σmi  ⟶ X_G = S_y / Σmi

MOMENTO D'INERZIA CENTRIFUGO:

centrifuga le informazioni, può essere sia positivo che negativo, dipende dalla configurazione di mi nel piano

J_xy=(∑mi·dxi)·dyi

pertanto massa per la distanza da un asse, il tutto per la distanza dall'altro asse

MOMENTO DI INERZIA: viene calcolato facendo massa per distanza dell'asse alla seconda, nell' direzione dell'altro asse

J_x=∑mi·dy_i²

J_y=∑mi·dx_i²

J_mmx=(∑mi·dyi²)·sinα²

J_mmy=(∑mi·dxi²)·sinα²

J_xy = ∑mi·dxi³

MOMENTO POLARE:

viene calcolato facendo massa per distanza dal centro al quadrato

J_p = ∑mi·r_i²

r_i² = x_i² + y_i²

J_p = ∑mi·(x_i² + y_i²) = ∑mi·x_i² + ∑mi·y_i² = J_x + J_y

ESEMPIO:

In questo caso J_pe e J_p sono uguali perché l'origine è la stessa, quindi anche r_i

Pertanto J_x + J_y = J_x + J_y, sempre se non cambia l'origine

FORMULARIO:

BARGICENTRO:(_G) X_G=S_y/^∑mi Y_G=S_x/^∑mi

momento POLARE J_p=∑mi·r_i²

momento STATICO: S_x=∑mi·dy_i S_y=∑mi·dx_i

momento CENTRIFUGO: J_xy=(∑mi·dxi)·dy_i

momento d'INERZIA: J_x=∑mi·dy_i² J_y=∑mi·dx_i²

RAGGIO GIRATORE DI INERZIA

Una volta trovati i momenti di inerzia, mi basta fare un semplice calcolo per trovare i valori dei raggi giratori di inerzia

_ρg² = _Jg/Σm_i/A    →    ³/√_ρg = √³√y    →    ρ_g = ±y

_ρm² = _Jm/Σm_i/A    →    ³/√_ρm = √³√x    →    ρ_m = ±x

Sono i valori che vado a tracciare sugli assi principali di inerzia per tracciare il mio ellisse

s_f = √⅔^λs_m = √⅗λ

NOCCIOLO CENTRALE DI INERZIA

Nelle sezioni rettangolari si vede ad occhio con il metodo del TERZO MEDIO

⅓ di h⅓ di b

In un altro qualsiasi sistema di riferimento si guardano le rette, se ad esempio ho:

Punti   p = (ξ_p;η_p)Rette   = (ξ;η)

→            →

_ξp                                  η_p

−                                                           +    +    = 0

Sostituisco a questa formula i valori per tutte le rette tangenti e trovo ogni punto che va a fare da vertice al NOCCIOLO CENTRALE

METODO DELL'EQUILIBRIO AI NODI

Si parte sempre dall'analisi del NODO CANONICO, dove convergono solo 2 aste, per poi andare a quello dove convergono 3 aste e così via

Zoom 1:

vado a scrivere le equazioni cardinali / di equilibrio, esponendo la mia positività

_⅔P + N₁₆ = 0 N₆₅ = 0

Zoom 2:

vado a scrivere le equazioni cardinali / di equilibrio, esponendo la mia positività

N_as è la risultante di due forze

^⅔P - P - N_as^√3 = N_as^⅔P N_as - P^√3

VINCOLI MULTIPLI

più vincoli semplici associati ad un punto della trave. In un punto posso mettere al massimo 6 vincoli, 3 di traslazione e 3 di rotazione, mentre in una trave posso mettere tutti i vincoli che voglio

CASO OMOGENEO - VINCOLI PERFETTI

CASO 1:

n < K quindi K < 6 necessariamente (K = rango)

Ho K vincoli semplici indipendenti che tolgono K gradi di libertà L=6-K

Quindi n < 6 trave LABILE

CASO 2:

n = 6:

1. se K = 6, il det [A] ≠ 0 i vincoli sono linearmente indipendenti e ben disposti
2. se K < 6, det [A] = 0 i vincoli sono mal disposti

Quindi: det [A] ≠ 0 (K = 6) geometricamente ISODETERMINATAdet [A] = 0 (K < 6) LABILE

CASO 3:

n > 6:

1. se K = 6 esiste una sottomatrice di [A] di dimensioni 6x6 con det ≠ 0
2. se K > 6, non esiste una sottomatrice di [A] di dim 6x6 con det ≠ 0

Quindi: se K = 6 geometricamente IPERDETERMINATAse K > 6 LABILE

VINCOLI ESTERNI

VINCOLANO LA STRUTTURA AL SUOLO

VINCOLI INTERNI

PERMETTONO MOVIMENTI TRA DUE CORPI RIGIDI

• CERNIERA: IMPEDISCE LA TRASLAZIONE
• PENDOLO: IMPEDISCE LA TRASLAZIONE LUNGO L'ASSE
• CARRELLO: IMPEDISCE LA TRASLAZIONE LUNGO L'ASSE
• DOPPIO PENDOLO: IMPEDISCE ROTAZIONE E TRASLAZIONE LUNGO L'ASSE
• INCASTRO: IMPEDISCE ROTAZIONE E TRASLAZIONE

n < 6 LABILE

n = 6 K = 6 ISODETERMINATAn > 6 K = 6 ICODERMINATA det ≠ 0n > 6 K > 6 LABILE