(1/2) Statica: Cinematica piana dei corpi rigidi

1) LE ORIGINI DELLA CINEMATICA

La cinematica si occupa del moto dei corpi mal delle cause che lo generano ed è una disciplina puramente geometrica in cui il tempo è' concepito solo come un parametro evolutivo, senza nessuna causa, relazione fisica o matematica.

2) CINEMATICA DEL P.M. NEL PIANO

PUNTO MATERIALE

- L’oggetto materiale non indica che il punto sia arresto ma che ha una sua consistenza che lo distingue dagli “immateriali” punti dello spazio in cui è collocato

Un punto materiale P può assumere diverse CONFIGURAZIONI (o POSIZIONI) in ogni configurazione esso coincide con un punto P dello spazio, ovvero occupa una posizione P.

• CONFIGURAZIONE INIZIALE
• CONFIGURAZIONI VARIATE
• CONFIGURAZIONE FINALE

• Determinare un punto nel piano una coppia delle operazioni più importanti della geometria
• I NUMERI FORNISCONO LA POSIZIONE ASSOLUTA DI UN PUNTO MA SOLO LA SUA DISTANZA RELATIVA AD ALTRI PUNTI (CHE SIA IN COORDINATE CURVI-LINEE)

• OP → VETTORE POSIZIONE INIZIALE
• OP1 → VETTORE POSIZIONE FINALE
• PP1 → VETTORE SPOSTAMENTO

Quando P₀ = 0 → VETTORE POSIZIONE = VETTORE SPOSTAMENTO

OP = x_Pi + y_Pj

OP1 = x_P1i + y_P1j

pp1 = OP1 - OP = (x_P1-x_P1)i + (y_P1-y_P)j = u_Pi + v_Pj (se = ϕ

POSIZIONE FINALE = POSIZIONE INIZIALE + SPOSTAMENTO

x(t) = x₀ + c_x(t) vettore sp simplificato in una dimostrazione vettore velocità in macanza

• Un vettore ha dimensioni fisiche: fissare un sistema di riferimento ed un' unità di misura
• Il MODULO È INDIPENDENTE DAL S.R., SE LO CAMBIO, NON CAMBIA IL VETTORE MA LA SUA RAPPRESENTAZIONE
• Per vedere se è corpi a fermo, vedo se il vettore spostamento è nullo

Velocita' di un p.m. nel piano

Cinematica (geometria per parametro TEMPO (tempo convenzionale))

Traiettoria (luogo dei punti occupati dal p.m. nel tempo) e' rappresentabile

da una relazione del tipo:

ϕ(t) = ϕ₀ + u_p(t) con t ∈ [0,T]

con ϕ₀ = BPI (con t tempo esplicito)

Velocità istantanea vettoriale v_p di un p.m. all'istante t =

v_p(t) = lim Δt→0 [(ϕ_p(t+Δt) - ϕ_p(t)) / Δt] = dϕ_p(t) / dt

le componenti di v_p sono le derivate delle componenti di ϕ_p:

v_p = (v_x(t), v_y(t)) = (u̇_x, u̇_y) = (u̇_p, v_p)

Il punto della derivata rispetto al tempo convenzionale t

Il vettore velocita' e' tg alla traiettoria nel punto P(t) dove fa la derivata

- Quando (t + Δt) si avvicina a P(t) il vettore du di una secante la traiettoria, si avvicina alla tangente

- v_p + Δu solo per il parametro oscilla

n/Δt per Δt→0 ⇒ v_p tg alla traiettoria in P(t)

Il modulo di v_p dipende dall'evoluzione del tempo convenzionale; in generale non ha nessuna importanza nella cinematica

La velocita' è un vettore tg alla traiettoria!

Velocita' media v̅_m per uno spostamento di entità u =

v̅_m = u / t

Se v̅_m rimane costante per tutti i valori di u e di t, si parla di moto uniforme

se il moto non e' uniforme:

Velocita' media v̅_m(t) = [u(t+Δt) - u(t)] / Δt →

Facendo il lim Δt→0

Velocita' istantanea v(t) = [du(t) / dt] _t

Il principio di sovrapposizione degli spostamenti rigidi

Agli spostamenti infinitesimi si può applicare il principio di sovrapposizione degli spostamenti, che si esprime nel seguente modo: la posizione finale del corpo rigido è uguale a quella che il corpo stesso assume dopo il movimento finito composto dai vari spostamenti rigidi considerati.

Nel caso di due moti rigidi S₁ e S₂ per ogni punto del corpo si ha:

U = u₁ + u₂ onde u₁ ed u₂ sono associati rispettivamente a S₁ e S₂

Vale anche per più spostamenti.

Principio di sovrapposizione degli spostamenti rigidi:

• Traslazioni - vale sempre
• Rotazioni + Traslazioni - vale solo se si considera la rotazione intorno ad un punto fisso del corpo
• Rotazioni - non vale mai (nemmeno se le rotazioni avvengono attorno agli stessi punti del corpo)

Vale per spostamenti infinitesimi.

R = rotazione attorno all'origine o infinitesima

T = y = traslazione

1. Rotazione + Traslazione

^x' = x₀ + ^H4

^{x'' = x' + y}

2. Traslazione + Rotazione

x' = x₀ + y

x'' = x' + ^H(x + y)

Posizione finale = Rotazione + Traslazione

* Se considero gli spostamenti infinitesimi come atti di moto (velocità), riformulo il principio:

• Non posso stabilire un ordinamento temporale per più atti di moto, si realizzano tutti allo stesso istante.

VINCOLO COMPOSTO: CERNIERA

Nome: CERNIERA

Condizione sugli spostamenti: IMPEDISCE LO SPOSTAMENTO=0 =0

Atto di moto compatibile: ROTAZIONE SU SE STESSOmolteplicità: m=2

Condizione analitica:

• = = 0
• = _₀ + = 0

La cerniera può essere interpretata come la combinazione di 2 CARRELLI,uno nella direzione x e uno nella direzione y.

Interpreatre la cerniera...

Es. 3.6 pag. 43

Il corpo rigido è vincolato in P con una cerniera.

1. SCRIVERE LE CONDIZIONI DI VINCOLO
2. SCRIVERE L'EQ. DELLA CINEMATICA DEL CORPOrigido vincolato

P (4,3) P(0,0)

La condizione diretta di vincolo non dipende dal sistema di coordinate scelto, quindi:

1. _p=0 _p=0

Esplicito in funzione dei parametri Lagrangiani ₀,₀,