Statica (meccanica delle strutture)

ARGOMENTO 1

FORZE E SISTEMI DI FORZE

MOMENTO DI UNA FORZA: (Π(P, F(Q)))

Si definisce momento M(P, F(Q)) di una forza F applicata in Q rispetto al polo P il vettore

M(P, F(Q)) := RQ ∧ F

• Questo è detto vettore momento (si tratta di un prodotto vettore)
• prodotto vettore

Il prodotto vettore è per definizione un vettore ortogonale ad entrambi i vettori (il piano individuato dai due vettori) e dal verso che si determina con la regola della mano destra. e di modulo:

|RQ ∧ F| = |RQ| |F| sinθ

Il momento di una forza F(Q) rispetto al polo P è la somma dei momenti delle componenti rispetto allo stesso polo.

TRASLAZIONE DI UNA FORZA LUNGO LA RETTA DI AZIONE: il momento di una forza rispetto ad un polo qualsiasi non cambia se si trasla la forza lungo la sua retta di azione.

Quindi M(P, F(Q)) = RQ' ∧ F = RQ ∧ F + QQ' ∧ F

QQ' ∧ E ≠ 0 si annulla poiché

|QQ' ∧ E| = |QQ'||E| sinθ

θ = 180°

sinθ = 0

quindi:

M(P, F(Q')) = M(P, F(Q)) = PQ ∧ E

Osservazione pratica

Il momento di una forza è spesso associato all'espressione

"Momento = forza per braccio"

La definizione che abbiamo trovato precedentemente

non contraddice tale espressione, ma la

generalizza.

F, Q, P ∈ π

Si scelga arbitrariamente

la normale n al piano π:

n ∧ M

Ora, si trasli la forza F in Q' (abbiamo visto che

traslando la forza sulla sua retta di azione il momento non

cambia) tale che F(Q') sia ortogonale alla forza F.

Osservazioni sul calcolo del momento rispetto ad un punto:

A volte, per calcolare il momento vettore, risulta più comodo adottare un procedimento che utilizza i momenti della forza rispetto a tre assi.

Si immagini di tracciare per P tre assi (a, b, c) // agli assi del sistema di riferimento (ex, ey, ez). Come ogni vettore, può essere espresso nella forma:

M(P;F(Q)) = Mx ex + My ey + Mz ez

e quindi

• M(a, F(Q)) = [M(P, F(Q))] · ex = Mx
• M(b, F(Q)) = [M(P, F(Q))] · ey = My
• M(c, F(Q)) = [M(P, F(Q))] · ez = Mz

[Trovo così il momento con il metodo delle componenti]

cioè li comparo su e con i momenti della forza rispetto ai tre assi a,b,c. In particolare, se la forza è giacente come uno dei tre assi, usando le sue proprietà fondamentali sopra enunciate, il calcolo del momento uscente ad a,b,c è molto rapido.

(Se la componente della forza è giacente come l'asse, non influisce sul momento)

Soluzione Grafica

F = (400, 400, 250)

Hx = (PQ ∧ F) · ex

ez

Quindi

Quindi:

AB = ?

AB = (x_B - x_A) e_x + (y_B - y_A) e_y + (z_B - z_A) e_z

AB = (6 - 0) e_x + ((2 + 2 + 6) - (2 + 6)) e_y + (2 - 11) e_z

AB = 6 e_x + 2 e_y - 9 e_z

AB è diretto e ha lo stesso verso

di ens, l'unica cosa è

che le modulos non è 1.

Quindi lo normaiiare

e_AB = AB

/| AB |

| AB | = √(6² + 2² + (-9)²) = √36 + 4 + 81 = 11 = α

Ora serve il braccio:

CA = ?

CA = (x_A - x_C) e_x + (y_A - y_C) e_y + (z_A - z_C) e_z

= (0 - 0) e_x + (6 - y) e_y + (11 - 8) e_z

= 0 e_x + 6 e_y + 3 e_z

CA = 6 e_y + 3 e_z

Cosa chiedeva le presenza? M (C, F_O)

posso trasare

la forza sulla

sulla retta d’azione

e il momento

non colimsaria

M(C, t)

F(A) ∧ CA

F(A) - F(B)

Allora:

Due sistemi di forze si dicono equivalenti se le 

A B 

possono essere ottenuti 

l'uno dall'altro attraverso una serie 

di operazioni invarianti elementari.

Esempio:

A B

F = ΣF_i

1^o PASSO: traslo le forze del sistema A lungo le rispettive rette dell’azione fino a raggiungere Q

2^o OP. INVARIANTIVA (2)

F₁ F₂ F₃ F₄

2^o PASSO: sostituisco le forze applicate in un punto (Q) con 

la loro somma

1^o OP. INVARIANTIVA (1)

F₁ F₂ F₃ F₄

ΣF_i

ΣF_i

I 2 sistem A e B sono equivalenti perché dall’uno 

siano passati all’altro tramite OP. invariantive

M(P', A) = M(O, A) + P₀ ∧ R(A)

→ FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI POLO

Sottintendiamo A e moltiplichiamo vettorialmente

w tutta la equazione per R(A)

a ∧ b ∧ c

(2) M(P') ∧ R = M(O) ∧ R + [P₀ ∧ R] ∧ R

Riscrivendo per il prodotto scalare

a · b = b · a

R · R = R²

ATTENZIONE

* doppio prodotto vettore

(a ∧ b) ∧ c = (a · c) b - (b · c) a

Quindi

(3) M(P') ∧ R = M(O) ∧ R + (P₀ - R) R

L₀ deve essere 0

M(O) ∧ R + (P₀ - R) R - R²P₀ = 0

R≠0

P' ∈ O sappiamo

che spostandoci

nello stesso piano T

OP' ∈ I & R

oppure

P₀ · R = |P₀| |R| cos θ

Quindi

R²P₀ = M(O) ∧ R

R²

(4)

Inoltre tutti i punti della retta

P" = P' + λR passante per

P₀ e // a R possono dilla stessa proietta Tale retta viene definita

ASSE CENTRALE DEL SIST. DI FORZE

IL BARICENTRO

Il problema del calcolo della posizione del baricentro di un corpo rigido è strettamente legato al calcolo del centro dei suoi sistemi di forze parallele.

Si considera un OSSERVATORE SOLIDALE (l’osservatore che ruota insieme al corpo rigido al quale è fissato) con un CORDA RIGIDA.

Noi vediamo le forze peso dirette verso il terreno.

OSSERVATORE SOLIDALE: vede le forze peso fisse su di sé.

Noi vediamo sempre le forze peso puntare verso il terreno.

OSSERVATORE SOLIDALE: le vede davanti a sé (cambio di direzione).

Le FORZE peso P sono una distribuzione di forze parallele di intensità per unità di volume f(x)_g in cui:

• f = densità
• g = accelerazione di gravità
• x = la posizione del punto materiale

Se il corpo subisce una rotazione rigida, l'osservatore solidale vedrà la posizione del corpo x rimanere invariata, mentre le forze peso ruotano perché la normale verticale rispetto al sistema di riferimento fisso.

Dunque in una trasformazione rigida non si hanno

• Allungamenti
• Variazioni di angoli

Ogni trasformazione rigida può essere espressa come:

PM = S(P,t) + R(t) · P_Mo

• Vettore
• Spostamento
• Prodotto matrice-vettore
• Matrice 3x3

P = punto materiale che al tempo t₀ si trova in P₀

R(t) è detta tensore ortogonale

R^T(t) · R(t) = 1

(detR) = -1 → riflessione

(detR) = +1 → trasformazione rigida

S(R) = trasformazione rigida - porzione iniziale

S(R) = S(P,t) + (R(t) - 1) · P_Mo (1)

O trasf. rigida puramente traslatoria

Nell'equazione (1) si pone R(t) = 1

S(R) = S(P,t)

Tutti i punti subiscono la stessa traslazione