Statica (meccanica delle strutture)

ARGOMENTO 1:

- FORZE E SISTEMI DI FORZE -

MOMENTO DI UNA FORZA:

Si definisce MOMENTO di una forza F applicata in Q rispetto al polo P il vettore:

M(P, F(Q)) := PQ ^ F

Prodotto vettore è per definizione un vettore ortogonale ad entrambi i vettori e al piano individuato dagli altri due vettori, ed il verso che determina è quello della mano destra. E con modulo:

|PQ ^ F| = |PQ| |F| sinθ

Il momento di una forza F(Q) rispetto al polo P è la somma dei momenti delle componenti rispetto allo stesso polo.

TRASLAZIONE DI UNA FORZA LUNGO LA RETTA D'AZIONE: Il momento di una forza rispetto ad un polo qualsiasi non cambia se si trasla la forza lungo la sua retta d'azione.

Q' = λF + Q

Quindi M(P, F(Q)) - RQ' ^ F = RQ ^ F + QQ' ^ F ≤ 0

Argomento 1:

- Forze e Sistemi di Forze -

Momento di una Forza: (Il (P, F(Q)))

Si definisce momento M (P, F(Q)) di una forza F applicata in Q rispetto al polo P il vettore:

M (P, F(Q)) := PQ ^ F

Prodotto vettore è per definizione un vettore ortogonale ad entrambi i vettori (al piano individuato dagli due vettori) e dal verso che determina la regola della mano destra ed ha modulo:

|PQ ^ F| = |PQ| |F| sinθ

Il momento di una forza F(Q) rispetto al polo P è la somma dei momenti delle componenti rispetto allo stesso polo.

Traslazione di una forza lungo l'asse O azione: Il momento di una forza rispetto ad un polo qualsiasi non cambia se si trasla la forza lungo la sua retta di azione.

Q'₁ = λF + Q

Quindi M(P, F(Q)) - RQ'₁ ^ F = PQ ^ F + QQ'₁ ^ F ≤ 0

QQ' ∧ Ξ → si annulla poiché

QQ' // Ξ

|QQ' ∧ Ξ| = |QQ'| |Ξ| sinθ

θ = 180°sinθ = 0

Quindi:

M(P, F(Q')) = M(P, F(Q)) - PQ ∧ Ξ

Osservazione praticaIl momento di una forza è spesso associato all'espressione"Momento = forza per braccio"La definizione che abbiamo trovato precedentementenon contraddice tale espressione, ma lageneralizza.

Riflettiamo:

Ora, si trasl la forza F in Q' (abbiamo visto chetraslando la forza sulla sua retta direzione il momentoaumenta) tale che (PQ') sia ortogonale alla forza.

La geometria insegna che il punto Q è il punto di minima distanza di P dalla retta d'azione e tale distanza viene detto BRACCIO b

Quindi:

M(P, F(Q)) ->

• direzione: diretta come n
• modulo: Fb = M
• segno:
  • +Fbn
  • -Fbn -> per stabilire segno sulla mano destra

Si immagini di essere sul piano π e attaccare le penne della mano destra secondo il verso del vettore indotto dalla forza sul polo P. Se le dita obbediscono se si attende il verso è positivo, altrimenti negativo

MOMENTO DI UNA FORZA RISPETTO AD UN ASSE

Identifichiamo l'asse a come la retta passante per O e avente la direzione del versore e_a

Il momento di una forza F(applicata in Q) rispetto ad un asse si definisce come la proiezione sul momento della forza F calcolato rispetto ad un punto sull'asse (possiamo in questo caso P)

M(a, F(Q)) = M(P, F(Q)) . e_a ∗ ∀P∈ A_asse

Si nota che il risultato non è un vettore bensì uno scalare (prodotto scalare) perciò MOMENTO SCALARE

Quindi:

prima calcolo il momento M rispetto poi un punto dell'asse o

poi moltiplico

scalatamente il momento M con ea (per ottenere la sua proiezione su s)

* Il punto P sull'asse a è scelto in modo arbitrario perché abbiamo visto che il momento non dipende dal peso scelto sull'asse.

Proprietà fondamentale

Quando si annulla il momento scalare?

1. M (a_s, F (a_s)) si annulla e F (a_s) σ // ℓa

M (a_s, F (a_s)) M (P_s, F (a_s)). es

M (P_s, F (a_s)) = QP_x ∧ F_x

M π M ∈ β

M (P, F (a_s)) esl - M (P_s, F_x) es!

M (P, F (a_s)) = 0!

Xa ∧ ℓa sono tra loro ⊥ cos 90° = 0

2. M (a_s, F (a_s)) si annulla se applicazione della forza

solo come pelo e punto di

P_x = 0

Cosa succede quando la forza è ┴ all'asse a?

• Se F(Q) è ┴ all'asse a, M(a,F(Q)) = ±Fb

Scelgo come o P e