Statica - Instabilità ed Equilibrio

Capacità portante di aste compresse:

Instabilità dell'equilibrio elastico

Travi compresse snelle, ossia lunghe rispetto alla dimensione della sezione trasversale, presentano una resistenza inferiore a quella ottenuta dal semplice criterio di resistenza [σ] = |N|/A < σ_amm illustrato nei precedenti capitoli.

Esperimento in aula

Si comprime un listello di legno di lunghezza l = 140 cm, diametro d = 1 cm, trattenuto con le dita della mano. Si osserva che aggiunta la forza normale N = P* ≈ 3.8 kg l’asta sbanda lateralmente con inflessione laterale v in mezzeria. La forza P* è misurata con la bilancia. Piccoli incrementi della forza P comportano incrementi sensibili di v, successivamente l’asta si rompe per flessione.

La massima resistenza può essere ossunta in modo approssimato come P*

Diagramma qualitativo dall’esperimento in aula

Si osserva che se si considera il criterio di resistenza con compressione alla rottura σc ≈ 100 kp/cm² (mediamente rappresentativa del legno) le massime compressione ammissibile dovrebbe risultare

P_amm = A σc ∈ (0.8 x 100) kp = 80 kp

dove A = πd²/4 = π(4)² cm² ≈ 0.8 cm². È evidente che P_amm >> P*

Aumentando la lunghezza dell'asta, i valori sperimentali P* diminuiscono.

È quindi necessario considerare una teoria che colga questo effetto che è condizionato dall'influenza dell'inflessione o delle forze sull'equilibrio. A tal fine si assume l'ipotesi di piccoli spostamenti.

Si considerano due possibili configurazioni di equilibrio:

1. Configurazione fondamentale rettilinea ℓ

È quella fornita dalla teoria delle travi compresse finora studiata.

• (a)
• (b)

(b) Configurazione variata inflessa ℓ*

Caratterizzata dall'inflessione N(z) in equilibrio.

Allo stato critico P=P_c lo spostamento traversale che realizza l'equilibrio è indeterminato v(z)=A sin(\frac{\pi z}{l})

(Si omette che sono soddisfatte le c.c., v(0)=v(l)=0 )

Poiché P_c=\frac{\pi^2 EI_x}{l^2} questo decresce con l'aumento della lunghezza l e cresce con l'aumento del momento d'inerzia I_x della sezione.

\[ \lim_{{l \to 0}} P_c = +\infty \]

\[ P_c\ = P_c(l) \]

\[ \lim_{{l \to \infty}} P_c = 0 \]

Le configurazioni di equilibrio nel piano \[ P, v(\frac{l}{2}) \] sono rappresentate in figura

Instabile

Stabile

Configurazione fondamentale rettilinea l

Configurazioni variate l* interne (al variare di A)

A livello applicativo il coefficiente w è determinato

in funzione del materiale (E_t, ammissioni), della forma della

sezione mediante tabelle in funzione della snellezza

della trave λ.

T_car = 2100 Kg/cm²

T_out = 374 Kg/cm²

λ_E = 93

λ = 146

λ_E = x√^E/_Car = 93