Statica dei fluidi: teoria

Statica dei fluidi

Pressione

• Pressione assoluta: pressione effettiva in un punto
• Pressione relativa: pressione effettiva − patm

Si esamini un fluido in quiete →

Obiettivo: studiare il campo di pressione p(x,y,z) nel fluido e gli effetti di p sui superfici immerse.

Pressione = forza/unità di area

P₁, P₂, P₃ valori medi della pressione sulle tre facce

• Le forze che agiscono sul contorno sono perpendicolari alla superficie

P_peso = peso specifico · volume

∀ ½ perdita in quiete

• Per l'equilibrio alla traslazione nelle direzioni x, z si ha:
• ΣF_x = −P₁Δz − Θ
• ΣF_z = −P₂Δx − β&lsin;Θ

essendo Δx = l &cos;Θ e Δz = l &sin;Θ

P₁ - P₃ = φ

P₂ - P₃ = 1/2 ρgΔz = φ

per Δz → 0

Indipendentemente dal valore di θ

La pressione in un punto in un fluido in quiete (o in moto) è indipendente dalla direzione finché gli sforzi tangenziali sono φ

La pressione non può essere negativa perché lo sforzo non potrebbe più essere compresso ma trazione

fluido NON resiste a trazione

Equazione Indefinita della Statica dei Fluidi

Eq. indefinita: rela zione fra grandezze costituenti l'equilibrio di moto, la quale vige per un qualsiasi punto del sistema

Si consideri un parallelepipedo elementare con un vertice in un generico punto φ di una massa fluida in quiete.

• Sul singolo elemento infinitesimo di volume agiscono le seguenti forze:
• Forza di massa: ρf δxδyδz
• Forze di superficie trasmesse attraverso la supp di contatto con il fluido

∑F = m a = φ

∑F = δFs + ρf δxδyδz = φ

• Forza di superficie risultante in direzione y: δFy - ρδxδz = (- ∂P/∂y) δxδz = φk δxδyδz
• Forze di superficie risultante in direzione x, z:
• ∂Fx - (∂P/∂x δx δy δz)
• ∂Ez - (∂P/∂z δxδyδz)
• Forza di Superficie Totale: δFs = (∂P/∂x + ∂P/∂y + ∂P/∂z) δxδyδz

Piano dei carichi idrostatici relativi

P.C.I. relativo = piano su cui si annulla la pressione relativa per recipienti a pelo libero, esso coincide con la superficie del fluido libero.

P.C.I. assoluto Z₀ = Z_m + P_M^* / γ

P.C.I. relativo Z_A = Z_m + P_M / γ

Z_m = (P_M^* - Patm) / γ

Z = ∅

Il P.C.I. assoluto e relativo sono utili per trovare la pressione nei punti della massa fluida considerata.

• P_M = γ (Z_A - Z_m) = γ h_M (pressione idrostatica)
• P_M^* = γ Z₀ - Z_m) = γ h_M^* (pressione piezometrica)

Patm = 101330 Pa = peso dell'acqua

Patm / γ = 10,33 m (altezza piezometrica della pressione atmosferica in m di colonna d'acqua)

Oss:

• Se il recipiente ermeticamente chiuso fosse aperto superiormente a pelo libero agirebbe la Patm e esso coinciderebbe con il piano dei carichi idrostatici relativi.

La pressione in un punto non dipende dalla forma del recipiente che contiene il fluido.

SPINTA IDROSTATICA su SUPERFICIE PIANA e CURVA

• SPINTA IDROSTATICA: forza esercitata da un fluido in quiete su una superficie. Essa è la risultante di spinte elementari ciascuna delle quali è ortogonale ad essa

Spinta su una superficie infinitesima: dS = p₀ dA

Spinta su una superficie finita: SR = ∫₀VA ρg h dA

SR = ρg V

Superficie orizzontale

SR = ρ₀ A

ρ = p₀ RH

• Spinta ∥ superficie e applicata nel baricentro

Superficie verticale

SR = ∫z dA = ∫zLdA - ∫₀H ρ L dz - ρH²L/2

- σ HL/2 - p₀ A

• Spinta ⟂ alla superficie (lunga L) ed applicata nel centro di spinta (≠ baricentro)

La spinta che un liquido omogeneo esercita su una sup piana è un vettore ortogonale alla superficie

Esempio

S = ρ_r g A = ρ g (S + b/2) sinθ ab

y_c = S + b/2

S₁ = ρ g (S + b/2) ab

Se la base superiore è in corrispondenza della superficie libera:

S₁ = 1/2 ρ g ab²

NB: y_c rimane invariato perché non dipende dall’inclinazione θ

Se la superficie rettangolare è orizzontale (es: fondo del serbatoio) la pressione è uniforme:

p_FG = p_F - ρgh

h: affondamento della sup. rettangolare fatto da sup. libera

Si compensa la spinta in modulo:

S = ρ g h ab

ed è applicata nel baricentro della superficie

L'eq. globale di equilibrio può essere scritta

anche per un volume virtuale di liquido

S_ΠO - G_ΠA

(Sup. Convessa)

Oss.

Se la superficie è cilindrica a sezione circolare o sferica

la retta d'azione della spinta passa per il centro della cirf.

o della sfera

• Si isola un volume finito V (volume di controllo);
• la sua scelta dipende dal tipo di problema
• che si affronta

G_ΠA + Π_2 = φ

G_ΠA + Π_2 + Π_decimal + Π_sfera = φ

S - ΠO

S = G_ΠA + Π_1 + Π_2

Corpi Immersi o Galleggianti

• Spinta di galleggiamento: un liquido esercita su un corpo immerso
• una spinta diretta verso l'alto

"Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verticale

diretta verso l'alto di modulo pari al peso del volume di fluido

spostato e passante per il baricentro del tale volume"

(Principio di Archimede)

G + Π = φ

S = Π -> spinta liquido sul corpo

S = -G

S_q = ρ_q V

2. Liquidi con ρ elevato; p cost

• Recipiente di piccole dimensioni
• Condotta di piccolo diametro

nell'ambito di ogni sezione trasversale del tubo la p cost

Riguota allora facile individuare lo spessore e da assegnare al tubo di diametro D costituito da materiale cui corrisponda a un carico di sicurezza a trazione σ_s

Considero pezzone di tubo.

• dl: lunghezza infinitesima

Immagino di sezionarlo con un qualsiasi piano diametrale, i due semicilindri così ottenuti si trasmettono attraverso le sup lungo gli assi cdl due forze dT.

dT: spinte che il liquido con pressione p esercita sui semicil

• S.2_dT → S è diretto normalmente al piano diametrale
• S.p D dl

dT sono i due sup su cui agiscono e sono di trazione e hanno modulo:

dT = pD dl / 2

dT = σ_s e dl

Se lo spessore e è abbastanza piccolo rispetto al diametro e << D si può ammettere di uniformemente distribuita sulla stessa superficie e quindi

e dT – pD σ_s dl 2σ_s

= σ_s = pD2e

• Formula di Mariotte utilizza per il calcolo dello spessore dei tubi

σ = [E] = ^∑T/_L2