Statica - Flessione uniforme, teoria, esercizi

10. TRAVI ELASTICHE INFLESSE

Dopo aver esaminato il comportamento di travi sollecitate assialmente(N≠0, M=T=0) da forze assiali q_z(z), si procede alla trattazionedel caso di travi sollecitate trasversalmente (N=0, M≠0, T≠0) daforze ortogonali all'asse q_y(z).

Si considera inizialmente il caso di una trave a sezionee materiale uniforme (che non variano nella lunghezza) soggettaa momento flettente uniforme. L'esperimento che può realizzaretale condizione è quello riportato in figura. Inoltrela sezione è simmetrica rispetto all'asse y (piano y-z).

Nel tratto AB la trave è sollecitata esclusivamente amomento M=Pa. Si assume che la forza P sia di entitàlimitata come verrà illustrato nel seguito.

10. TRAVI ELASTICHE INFLESSE

Dopo aver esaminato il comportamento di travi sollecitate assialmente (N ≠ 0, M = T = 0) da forze assiali q_z(z), si procede alla trattazione del caso di travi sollecitate trasversalmente (N = 0, M ≠ 0, T ≠ 0) da forze ortogonali all'asse q_y(z).

Si considera inicialmente il caso di una trave a sezione e materiale uniforme (che non cambiano nella lunghezza) soggetta a momento flettente uniforme; l'esperimento che può realizzare tale condizione è quello riportato in figura. Inoltre la sezione è simmetrica rispetto all'asse y (piano x-y-z).

Nel tratto AB la trave è sollecitata esclusivamente a momento M = Pa. Si assume che la forza P sia di entità limitata come verrà illustrato nel seguito.

de forze applicate determinano una deformazione della trave detta inflessione. Poichè N=0 la trave conserva la lunghezza L.

Ricordando che la linea d'asse rappresenta la trave solida (3D), la deformata della porzione AB risulta descritta da un arco di circonferenza (Si osservi che la porzione AB si può considerare perfettamente piana si applichino agli estremi le sollecitazioni (M) .

Misurando (sperimentalmente) la rotazione α di ciascun estremo (sono uguali per simmetria), risulta che l'arco di circonferenza che rappresenta la deformata è sotteso da un angolo 2α.

Il raggio R di tale arco è denominato raggio di curvatura; inoltre si definisce la curvatura χ = 1/R - Dalla geometria la lunghezza dell'arco è L = R ∙ 2α . Si osserva che

χ = 1/R = 2α/R ∙ 2α = 2/L = 2α/L

Durante l'esperimento ad ogni valore del momento M

corrisponde un valore della curvatura x, pertanto si può

rappresentare nel diagramma (x, M) o (α, M)

figura 1

figura 2

Lontani da condizioni di snervamento/rottura del materiale la

risposta M-α, M-x risulta reversibile: riducendo M fino

ad annullarsi si annulla anche α e x. Inoltre la risposta

sperimentale evidenzia linearità:

M = K_φ α , M = K_x x.

Tuttavia, se si effettuano due esperimenti con tavi di eguale

materiale e sezione, ma differente lunghezza (l₂ > l₁) si

osserva che a parità di momento M α₂ > α₁. La

rigidezza rotazionale K_φ dipende dalla lunghezza. Viceversa

per entrambe la tavi rimane invariata la rigidezza

flessionale K_x (figura 2). Poiché tale rigidezza non

dipende dalla lunghezza delle tavi viene analizzata

nel seguito.

Le rigidezze flessionale K_x dipende dalla forma delle sezione e dal materiale costituente la trave. Per esaminare tale dipendenza si considera un tratto infinitesimo dell'arco di trave inferiore sottoes de un arco infinitesimo d_φ.

Poiché N=0 la linea d'asse L non varia le proprie lunghezza a seguito dell'inflessione. Viceversa, i segmento ab si accorcia e quello a'b' si allunga. Nel seguito segmenti paralleli all'asse delle trave verranno denominati fibre.

Configurazione indeformete

(a)

Configurazione deformeto

(b)

Poiché la linee d'asse non varia lunghezza C'D' = dz

Lo spostamento del punto D → D' é misurate de (dz-d_ξ) e de d_η.

Della Trigonometrie

d_η = R - R cos(d_φ), d_ξ = R sin(d_φ), dz = R d_ρ,

che poe dη = R [1 - cos (dz_eR])], dξ = R sin (dz_eR).

Essendo scelto dz infinitesimo e R grande (si escludono grandi infleioni) cos (dz_eR) ≈ 1 e sin (dz_eR) ≈ dz_eR da cui

dη ≈ 0 , dξ ≈ R dz_R = dz. Se si omme che la seioni

si mantenrono piani dopo la deformazione, la deformaione

della pozione infinitesima di tonne è rappresenta