Statica - Flessione uniforme, teoria, esercizi

10. TRAVI ELASTICHE INFLESSE

Dopo aver esaminato il comportamento di travi sollecitate assialmente (N≠0, M=T=0) da forze assiali q_x(z), si procede alla trattazione del caso di travi sollecitate trasversalmente (N=0, M≠0, T≠0) da forze ortogonali all'asse q_y(z).

Si considera inizialmente il caso di una trave a sezione e materiale uniforme (che non cambiano nella lunghezza) soggetta a momento flettente uniforme. L'esperimento che può essere in tale condizione è quello riportato in figura. Inoltre la sezione è simmetrica rispetto all'asse y (piano x-y).

Nel tratto AB la trave è sollecitata esclusivamente a momento M = Pa. Si assume che la forza P sia di entità limitata come verrà illustrato nel seguito.

le forze applicate determinano una deformazione della trave detta inflessione. Poiché N=0 la trave conserva la lunghezza L.

Ricordando che la linea d'asse rappresenta la trave solida (3D), la deformata della porzione AB risulta descritta da un arco di circonferenza (si ammette che la porzione AB si possa considerare separatamente purché si applichino agli estremi le sollecitazioni (M).

Misurando (sperimentalmente) la rotazione α di ciascun estremo (sono uguali per simmetria), risulta che l'arco di circonferenza L che rappresenta la deformata è sotteso da un angolo 2α.

Il raggio R di tale arco è denominato raggio di curvatura; inoltre si definisce la curvatura x = 1/R. Dalla geometria la lunghezza dell'arco L = R·2α. Si osserva che

x = 1/R = 2α/R·2α = 2α/L

La dilatazione lineare delle fibre dipende dalla curvatura: tanto maggiore la curvatura tanto maggiore la dilatazione. Con curvatura x>0 le fibre tese con y>0, quelle compresse y<0; per x<0 il viceversa.

Si assume che per ciascuna fibra, indipendentemente da quelle contigue, valga l’equazione costitutiva σ=Eε. Tale ipotesi verrà dedotta riproponimenti nel corso di Scienza delle Costruzioni. Per la generica fibra y si ottiene σ(y)=Eε(y), che esprime l’andamento lineare della tensione normale alla sezione nella fibra y (si veda figura).

Si ricorda che la tensione normale in un generico punto della sezione rappresenta la forza di contatto (di superficie/per unità di area) che le due parti di trave separate dalla sezione si scambiano in y. L’asse x, luogo dei punti in cui la tensione è nulla viene denominato asse neutro.

Considerazioni

(1) Il momento statico ed il momento d'inerzia, essendo definiti come integrali di superficie, sono quantità additive: se una sezione A viene suddivisa in n parti A₁, A₂, ... An tali che

A = A₁ + A₂ + ... + A_n

allora rispetto ad un medesimo asse x

S_x = ∫_A yda = ∫_A1 yda + ∫_A2 yda + ... + ∫_An yda = Sx_A1 + Sx_A2 + ... + Sx_An

J_x = ∫_A y²da = ∫_A1 y²da + ∫_A2 y²da + ... + ∫_An y²da = Jx_A1 + Jx_A2 + ... + Jx_An

ossia il momento statico (o il momento d'inerzia) della superficie A rispetto all'asse x è la somma dei momenti statici (o dei momenti d'inerzia) delle singole parti A₁ — A_n rispetto allo stesso asse x. Proprietà additiva dei momenti.

(2) L'asse di simmetria di una sezione simmetrica è asse baricentrale

Simmetria rispetto a x ad un punto P(x, y) corrisponde biunivocamente un punto P'(x, -y)

y_G = Δ = S_x₁ / A

che individua piani omogenei.

Viceversa se di una figura piana è noto la superficie A e la posizione del baricentro y_g’ rispetto all’asse x

il momento statico S_x₁ rispetto a tale asse è dato dalla

S_x₁ = Δy_g’

Per l’additività del momento statico segue che

S_x₁ = S_x₁¹ + S_x₁ + ... - S_x₁ⁿ = A₁y_g¹ + A₂y_g² + ... + A_ny_gⁿ

che consente di determinare il momento statico di una sezione A suddivisa in n parti (A₁, A₂, ..., A_n) come somma dei "prodotti" della superficie di ciascuna parte per la distanza del rispettivo baricentro dell’asse x’.

Esempio 1 Momento statico di un parallelogramma

(a) Si determina S_x,

si osserva che

da = bd^y’

S_x₁ = ∫₀^h y’b dy’ = b∫^h₀ y’ dy’ =

= 1/2 bh²

Esempio 6 Trave a doppio T a flange differenti

Si suddivide la sezione in tre rettangoli ①, ②, ③ di cui è nota la posizione dei rispettivi baricentri G₁, G₂, G₃

y_G1 = S/2 ; y_G2 = S + 1/2 (H + S - S^') = 1/2 (H + S - S^')

y_G3 = S + (H - S - S^') + 1/2 S^' = H - 1/2 S^'

A₁ = B S ; A₂ = (H - S - S^') a ; A₃ = b s^'

da cui

S_x = A₁ y_G1 + A₂ y_G2 + A₃ y_G3 =

= B S S/2 + (H - S - S^') a (H + S - S^') + b s^' (H - 1/2 S^')

A = Bs + (H - S - S^') a + b s^'

infine

y_G = S_x / A = 1/2 Bs + 1/2 a (H - S - S^')(H + S - S^') + b s^'(H - 1/2 S^') / Bs + (H - S - S^') a + b s^'

Jx₁ = 2 Jx₁_₁ + Jx² = Jx = 2¹/₃ (B-b) s + ¹/₂ s + ¹/₃ b H³ + ¹/₃ (B-b) s² + ¹/₃ b H³

A = (B-b) s + b H

v_d^² = c̲v̲e̲d̲e̲r̲e̲ ̲p̲a̲g̲.̲ ̲1̲9̲

Jx = Jx₁ - Ay_d^² = ¹/₃ (B-b) s³ + ¹/₃ b H³ - [(B-b)s + b H] _{[(B-b)s + b H]²}/^{2 [(B-b)s + b H]}

Posto B = 80 cm, H = 60 cm, s = 25 cm, b = 15 cm

(trave in calcestruzzo armato - favore a coltello)

A = [(80 - 15) x 25 + 15 x 60] cm² = 2525 cm²

Jx₁ = [ ¹/₃ (80 - 15) x 25³ + ¹/₃ 15 x 60³ ] au = 1.418.500 cm⁴

y_d = [(80 - 15) x 25 + 15 x 60] au = 18.7 cm

Jx = (1.418.500 - 2525 - 18.7³) cm⁴ = 535.532,00 cm⁴

P̲r̲o̲c̲e̲d̲i̲m̲e̲n̲t̲o̲ ̲(̲2̲)̲ - Si determinano i momenti d'inerzia dei rettangoli ①, ②, ③ rispetto al proprio asse baricentrico Jx₁, Jx₂, Jx₃ e si sommano ai momenti di traslato

(B-b)/2

Mx H_{2 Barm} = ¹/₁₂ BH³ - ¹/₁₂ (B-2a)(H-25)³

Mx H_2Barm - ¹/₁₂ BH³ - ¹/₁₂ (B-2a)(H-25)³

H = 150 mm B = 200 mm S = 20 mm

B_arm = 1600 Kg/cm² ≅ 160 N/mm² Mx = 800000 Kg cm = 8·10⁷ [N mm]

a = ^{[ 200(-1503 + (150-2·20)3 ) + 6 · 8·107 · 150/₁₆₀ ]}/_{2 (150-2·20)³}

mm ≈ 15,5 mm

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Per valutare l'inflessione v si considera la

deformata come arco di circonferenza.

v = R - R cos α =

= h (1 - cos α)

Il raggio di curvatura

si determina come R = 1/x

e la curvatura attraverso

il legame x = M/EJx

x = Mx/EJx

h = EJx/|Mx|

Mx = -m ; |Mx| = m

l'angolo α si valuta attraverso la relazione αR = l

con α espresso in radianti.

α = l/R → α = l|Mx|/EJx

⇒ l'inflessione v risulta

v = EJx/|Mx| (1 - cos(l|Mx|/EJx))

oss. Si sviluppa in serie di Taylor la funzione cos α

centrato per α = 0

cos(α) = 1 - cos α|_α=01/2 α² + O(α²)

⇒ cos α ≈ 1 - α²/2

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