Statica - Flessione non uniforme, teoria, esercizi

11. Flessione Non Uniforme - Momento flettente variabile

Si considera il caso più generale di momento flettente variabile lungo l'asse della trave cui si accompagna il taglio essendo dM/dz + c = T). Lo studio della deformabilità di travi o sistemi di travi inflessi ha due finalità:

1. Determinazione di spostamenti prodotti da forze applicate

messo nel progetto per controllare la deformabilità della struttura v < v_ammis ≈ ¹/₅₀₀ + ¹/₁₀₀₀ l

2. Soluzione di travi e travature iperstatiche

(Che non possono essere risolte con le sole equazioni di equilibrio) Reazioni? sollecitazioni? spostamenti?

Si rende con necessario generalizzare quanto trattato nel capitolo 10: con una formulazione basata su: equazioni di compatibilità, di equilibrio e costitutive.

Flessione non uniforme

Deformazione di una generica trave soggetta a forze ortogonali all’asse.

• Stato iniziale - configurazione indeformata

Stato finale - forze applicate - configurazione deformata

Le linee d’asse della trave (lo nello stato iniziale) si deforne in quanto (N=0) non varia la propria lunghezza. La sezione S si abbatte sulla verticale e lo spostamento, inflessione, viene indicato con v(z).

Inoltre, la sezione ruote di una quantità φ(z) - rotazione delle sezioni

Mentre è possibile che J_x(z) vari (travi a sezione variabile)

è molto più raro che E vari con z. (Nel seguito E=cost)

Equazioni indefinite di equilibrio

Si ricordano dai precedenti capitoli

dT/dz + q_y(z) = 0

dM/dz + C(z) = T(z)

{d²M/dz² + dC/dz + q_y(z) = 0}

Sostituendo l'equazione di compatibilità nell’equazione costitutiva si ottiene

M(z) = -E J_x(z) d²w/dz²

e quindi nell’equazione indefinita di equilibrio

d²/dz² [-E J_x(z) d²w/dz²] + dC/dz + q_y(z) = 0

che risulta un'equazione differenziale del quarto ordine nell’incognita w(z). Nel caso più comune di travi a sezione costante J_x = cost e in assenza di coppie distribuite C(z) = 0 si particolarizza in

E J_x d⁴w/dz⁴ - q_y(z) = 0

Equazione della linea elastica

si ottiene quindi

v(z) = -¹/₂₄ qℓ²/EJ_X z - ¹/₁₂ qℓ²/EJ_X z + ¹/₂₄ qℓ³/EJ_X z² + ¹/₂₄ qℓ³/EJ_X z⁴

= ¹/₂₄ qℓ²/EJ_X [z² - 2ℓz + ℓ²] - ¹/₂₄ 1/EJ_X (z⁴ - 2ℓz³ + ℓ²z²)

φ(z) = - dψ/dz = - ^q/_12EJX (2z³ - 3ℓ²z + ℓ³)

χ(z) = dφ/dz = - ^q/_12EJX (6z² - 6ℓz + ℓ²)

M(z) = EJ_Xχ(z) = - ^q/₁₂ (6z² - 6ℓz + ℓ²)

T(z) = dM/dz = q(ℓ/₂ - z)

max v = v(ℓ/₂) = qℓ⁴/₃₈₄ EJ_X

flesso in ℓ

z = ℓ/₂ ± √3ℓ/₆

ψ(z)

φ(z)

χ(z)

M(z)

T(z)

vonetto statica

l'inflessione è massima nella sezione z* dove Φ=0. Si risolve

Φ=0 → 8z³-15ℓz²+6ℓ²z=0

8z(z²-15/8ℓz+6/8ℓ²)=0

z₁,₂(z)=ℓ(15±√15²-4×8×6)/16

(15-5.74)_l/16

v_max=v(0.578ℓ)=-1/44(qℓ⁴/EJ_x)

Esempio 4 - Trave appoggiata - carico uniforme

q_y(z)=q

       a                 b

Soluzione particolare: v=−qℓ⁴/24EJ_x

Condizioni al contorno

• z=0 Estremo A - appoggio
• z=ℓ Estremo B - appoggio

Sistema (2)

• v_z(z)
• x_EJx
• v₂(z) = -^m/_4EJx + ²/_4EJxe³
• M₂(z) = -^m / ₂ + ³/_2me
• T₂(z) = ³/₂ ^m / _e

Regole di sovrapposizione degli effetti per le travi elastiche

Le equazioni che governano l’equilibrio delle travi elastiche viste sino qui sono equazioni lineari

Risposta assiale

ε = du/dz     dN/dz + 9z = 0     N = EAε

Risposta flessionale

χ = - d²v/dz²     dM/dz + 9y = 0     M = EJxχ

Compatibilità     Equilibrio     Equa Costitutive

Definizione delle travi ausiliarie - vincoli

Estremo

• A

trave effettiva

• V_A = 0
• M_A^* = 0
• Φ_A = 0
• T_A^* = 0

Estremo libero a scarico

• B

trave effettiva

• V_B ≠ 0
• M_B^* ≠ 0
• Φ_B ≠ 0
• T_B ≠ 0

incastro

Trave ausiliaria

T_B^* = (1/2) P_L / E_Jx l - (P_L² / 2E_Jx)

M_B^* = (P_L² / 2E_Jx) - (2l/3) = (12L/3E_Jx)

Per l'analogie:

V_B = M_B^* - (P_L³ / 3E_Jx) ; Φ_B = -T_B^* = (P_L² / 2E_Jx) < 0

Definizione della trave ausiliaria - vincoli esterni e interni

• Trave effettiva
  • appoggio
  • estremo libero
  • appoggio
• Trave ausiliaria
  • appoggio
  • incastro

ν_s, φ_s

ν_d, φ_d

ν_s = ν_d = 0

φ_s = φ_d ≠ 0

continuità della reazione che è non nulla

M^*_s = M^*_d = 0

T^*_s = T^*_d ≠ 0

M^*_s = 0 -> T^*_s

Trave ausiliaria

Disegni di trave con carichi e note

Con riferimento all’esempio precedente

T^*_B = ^-Pl2/_48EJx

Esercizio 3

La trave ABC è una volta iperstatica. Si assume, tuttavia, che lo sbalzo BC può essere risolto. Diagrammi nello sbalzo.

• T
• P
• PL/4
• M

La trave AB può essere analizzata separatamente applicando all'estremo B le azioni trasmesse dalla porzione BC (ossia le sollecitazioni):

• T_B = P
• M_B = -PL/4

Il sistema può essere decomposto in due sistemi:

1. (a)
2. (b)

Nel sistema (a) la forza P è applicata nel punto vincolato B e quindi direttamente equilibrata dalle corrispondenti reazioni sollecitazioni nulle

• N_a = T_a = M_a = 0