Statica - equilibrio punto materiale, teoria esercizi

Introduzione all'equilibrio delle strutture

L'equilibrio di una costruzione è condizione di sicurezza per gli occupanti e di integrità per gli elementi contenuti. Lo stato di equilibrio viene inteso come permanenza in quiete della costruzione quando è cimentata da azioni ambientali o antropiche. Lo studio delle condizioni di equilibrio costituisce quindi un momento essenziale nella concezione della costruzione e nella comprensione del suo comportamento strutturale, ossia delle modalità con cui il sistema resistente risponde alle azioni.

Il problema viene affrontato su base quantitativa, come di consueto in meccanica, attraverso l'identificazione di un modello meccanico della struttura, o modello strutturale, che rappresenta un'idealizzazione del sistema resistente della costruzione in termini di grandezze fisiche opportune e di leggi meccaniche che esprimono relazioni matematiche tra tali grandezze. Il modello deve essere sufficientemente semplice affinché la formulazione matematica che lo descrive sia risolubile nella forma più diretta, compatibilmente con la necessità che il modello stesso sia adeguatamente rappresentativo della realtà che deve rappresentare (Saaty e Alexander, Thinking with models, Pregamon Press, 1981).

Sebbene alcune azioni tra le più gravose (sismiche, eoliche, carichi viaggianti ecc.) siano variabili nel tempo, comportando così vibrazioni ineludibili della costruzione, può essere sufficientemente esaustiva l'analisi dell'equilibrio, inteso come stato di permanenza in quiete a seguito dell'applicazione di azioni lente ovvero come stato conclusivo di un processo dinamico smorzato da cui si prescinde nell'analisi.

L'equilibrio del punto materiale e i sistemi di funi

A titolo di esempio, si consideri il problema di stabilire se un oggetto pesante possa stare in equilibrio sostenuto da due funi inclinate di rispetto all'orizzontale collegate a un telaio metallico fissato a una base, come indicato in figura 1.1. La risposta è affermativa se è possibile uno stato di quiete nella forma o configurazione del manufatto considerata, in cui le funi e il telaio resistono il cimento senza manifestare cedimento o rottura.

Il sistema resistente viene rappresentato da un modello strutturale definito sulla base di alcune ipotesi semplificative e utili ad evidenziarne le caratteristiche essenziali. Per descrivere quantitativamente la geometria del modello è necessario considerare grandezze estensive scalari che misurano le entità geometriche rappresentative dei componenti del manufatto; le interazioni meccaniche tra i componenti e tra questi e oggetti esterni al sistema sono associate alle entità geometriche individuate e rappresentate da forze, ossia da grandezze vettoriali. Oggetto pesante sostenuto da due funi ancorate ad un telaio metallico.

Se le dimensioni dell'oggetto pesante sono piccole rispetto alla lunghezza delle funi, esso può essere rappresentato da un punto (punto A in figura 1.1), un'entità a cui viene associata la massa M (ulteriore grandezza scalare necessaria per considerarne il peso considerato noto) e che è denominato punto materiale o particella materiale. Se si considerano i punti B e C dove le funi sono connesse al telaio come fissi, assumendo implicitamente questo ed il basamento rigidi e resistenti indipendentemente dal peso dell'oggetto sostenuto, e se si assume che le funi siano tese ed inestensibili, il problema dell'equilibrio del sistema è circoscritto all'equilibrio del punto materiale A; infatti solo il movimento di A determina il movimento delle funi.

Il modello strutturale, ridotto alla particella materiale A, deve essere completato con la descrizione delle interazioni meccaniche di questa con l'ambiente esterno rappresentato dal campo gravitazionale e con le funi. Il primo è rappresentato dalla forza peso di intensità nota , dove g è il campo gravitazionale (g=9.81 m/s²), avente direzione verticale e rivolta verso il basso (il simbolo denota il modulo del vettore f).

L'azione trasmessa da ciascuna fune sul punto materiale è incognita in intensità e viene assunta con la stessa direzione della fune e verso uscente dal punto A a rappresentare l'effetto della trazione della fune sul punto stesso. Nel riferimento (x,y) tali forze sono rappresentate nella forma t₁ e t₂ che misurano la trazione nelle funi; la forza peso risulta invece F = -Mg. Il modello strutturale che ne risulta è quello rappresentato in figura 1.2 ed è definito nel piano che contiene le forze.

Approfondimento 1.1 – Grandezze fisiche, dimensioni e unità di misura

La definizione di un modello meccanico è subordinato alla scelta delle proprietà, denominate grandezze fisiche, che vengono assunte per descrivere quantitativamente il sistema meccanico che si vuole analizzare. Per poter misurare una proprietà o grandezza fisica è necessario assumere la proprietà di un particolare sistema come unità di misura della grandezza fisica. Ad esempio, la grandezza denominata lunghezza è misurabile con riferimento all'unità di misura metro, assunto come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299792458 di secondo.

Le grandezze utilizzate in meccanica si dividono in 3 grandezze di base, con le rispettive unità di misura nel Sistema Internazionale (SI) riportate in Tabella 1.1, ed in grandezze derivate, le principali riportate in Tabella 1.2. Di conseguenza il valore di una grandezza fisica viene espresso dal prodotto di un valore numerico ed un'unità di misura; ad esempio 10m, 5s, 30N, 30m², 100kW, 20Gpa ecc.

Il tipo di unità di misura assunto per descrivere una grandezza fisica viene espresso dalla dimensione della grandezza stessa. Le dimensioni delle grandezze fisiche di base in meccanica sono denotate da L (lunghezza), T (tempo), M (massa); le dimensioni delle grandezze fisiche derivate sono esprimibili in termini di tali dimensioni base e sono riportate in Tabella 1.2. Nei problemi inerenti l'equilibrio dei sistemi strutturali può risultare conveniente assumere quali grandezze fisiche di base la Lunghezza (L), la Forza (F) ed il Tempo (T); in tal caso la Massa viene assunta come grandezza derivata e le dimensioni delle grandezze derivate risultano espresse in Tabella 1.2. Nel seguito, la dimensione di una generica grandezza fisica verrà denotata col simbolo [X]; ad esempio, la dimensione dell'area S della sezione di un cavo di cui alla figura 1.1 è indicata con [S]=L². Poiché le equazioni che rappresentano i fenomeni fisici devono essere valide indipendentemente dal sistema di riferimento assunto, è necessario che soddisfino la condizione di omogeneità dimensionale. Questa impone ad entrambi i membri dell'equazione fisica di possedere la medesima dimensione. Ad esempio, la legge del moto accelerato verifica la condizione di omogeneità dimensionale in quanto [x]=[vt], essendo x la posizione, v la velocità e t il tempo.

Approfondimento 1.2 – La regola del parallelogramma e il poligono delle successive risultanti

La somma o risultante di due forze a e b è una forza c = a + b costruita mediante la regola del parallelogramma (Stevino), ossia è la diagonale del parallelogramma avente come lati le due forze date, come illustrato in figura 1.3. La somma di forze (vettori) gode della proprietà commutativa, quindi a + b = b + a; il risultante è a + b = b + a.

Dato un sistema di vettori a, b, c, d, il vettore risultante r è ottenuto applicando in successione la regola del parallelogramma come indicato in figura 1.4, da cui risulta anche la proprietà distributiva della somma. Dalla costruzione in figura 1.4 si può osservare come si possano individuare le successive risultanti e quindi la risultante complessiva come lati di successivi poligoni. La risultante r = a + b + c + d.

Definita la forza nulla come quella forza che sommata ad una forza generica lascia questa invariata ed il vettore opposto -a di un vettore come quel vettore che sommato a quello dato fornisce risultante nulla (-a) + a = 0, un sistema di forze ha risultante nulla se il poligono delle forze è chiuso, ossia il primo estremo del primo vettore da sommare corrisponde al secondo estremo dell'ultimo vettore sommato nel poligono delle forze.

Un punto materiale inizialmente in quiete si dice che è in equilibrio rispetto ad un sistema di forze quando l'applicazione di tali forze lo lascia in condizioni di quiete. Ricordando i principi della dinamica di Newton:

• I - Un punto materiale non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme.
• II – Un punto materiale soggetto all'azione di una forza acquisisce un'accelerazione inversamente proporzionale alla propria massa M e proporzionale alla forza f, ossia a = f/M.

Si desume che una particella permane in quiete se e solo se a = 0 e quindi f = 0. In definitiva, condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio di un punto materiale è che l'insieme delle forze agenti su di esso sia a risultante nulla (1.1) r = 0. Equazione di equilibrio del punto materiale.

Con riferimento al modello in figura 1.2, affinché il punto A sia in equilibrio è necessario che le forze f, t₁, t₂ abbiano risultante nulla ossia che il poligono delle forze sia chiuso come illustrato in figura 1.5. Il poligono chiuso che si ottiene è un triangolo equilatero di lato F e quindi è immediato osservare che la lunghezza dei lati paralleli alle forze t₁ e t₂ è T₁ = T₂ = F.

Analogo risultato è ottenuto operando in componenti delle forze rispetto al riferimento (x, y) e imponendo l’annullarsi delle componenti della forza risultante:

• r_x = T_1x + T_2x = 0 (1.2)
• r_y = T_1y + T_2y - F = 0

Dove F è noto e T₁ e T₂ sono incogniti. Dalla soluzione del sistema di due equazioni lineari nelle due incognite si ottengono i valori della trazione nelle funi in condizioni di equilibrio. È importante osservare che qualunque sia il valore del peso F, esistono valori corrispondenti della trazione delle funi che soddisfano l’equazione di equilibrio del punto materiale.

Tuttavia, al crescere della trazione nelle funi si raggiungerà un valore limite della trazione T_a, superato il quale la fune può spezzarsi e quindi perdere la capacità portante, ossia la capacità di trasmettere il tiro T; va rilevato che la determinazione della trazione limite T_a richiede opportune prove di laboratorio su campioni significativi. Questa situazione viene raggiunta per il valore limite del peso F = T_a dell’oggetto sostenuto, superato il quale si attiva la rottura con azzeramento del tiro delle funi e risultante non-nulla pari -F (versore dell’asse y); il punto materiale passa dallo stato di...