Statica - equilibrio punto materiale, teoria esercizi

L L L

e quindi l’allungamento u= . Riportando per

si misura la lunghezza corrispondente 0

ogni misura corrispondente a trazioni inferiori a T , le coppie di valori misurati su un piano

a

cartesiano (u,T) si può astrarre una relazione di linearità , illustrata nel diagramma

T=ku

equazione costitutiva della fune

lineare OR in figura 1.6, detta . La costante k dedotta

rigidezza

sperimentalmente rappresenta la della fune; infatti, a parità di trazione applicata

tanto maggiore è k tanto meno risulta allungabile la fune. Come verrà esposto nel libro, la

rigidezza k è inversamente proporzionale alla lunghezza e direttamente proporzionale alla

sezione trasversale dell’elemento strutturale resistente. L’equazione costitutiva lineare

evidenzia che annullando la trazione si annulla l’effetto, ossia l’allungamento u: il processo

reversibile

deformativo è , così come il modello costitutivo lineare. Quanto esposto vale nel

≥

caso si considerino allungamenti della fune a cui corrisponde la trazione della fune

u 0

≥

T 0 . Viceversa, accorciamenti non sono possibili perché la fune non può sostenere

stessa

forze di compressione; una peculiarità che può essere facilmente sperimentata e che è dovuta

alla estrema flessibilità delle funi. Quindi il modello costitutivo può essere sintetizzato nella

≥

forma , che contiene un vincolo che permette solo trazioni nella fune e che viene

T=ku 0

vincolo costitutivo monolatero

denominato .

Mediante il modello costitutivo lineare è possibile determinare per il problema

equazione

considerato l’allungamento conseguente al peso applicato F. Infatti, invertendo l’

costitutiva si ottiene facilmente: T F .

u= =

k k

Lo spostamento del punto A viene individuato confrontando la geometria del sistema

L

di funi dispiegate di lunghezza ma non soggette ad alcuna forza che viene denominata

0

configurazione di riferimento e che corrisponde ai segmenti AB, AC in figura 1.1 ed in figura

1.7. L’allungamento delle funi descritto dal modello costitutivo determina una variazione di

configurazione

forma del sistema di funi rappresentato in figura 1.7 che definisce la

deformata. L’allungamento u, simmetrico nelle due funi, comporta un movimento della

particella materiale collocata in A nella configurazione di riferimento sino ad occupare la

spostamento della particella

posizione A’ nella configurazione deformata. Si definisce lo

materiale in A il vettore differenza tra il punto A’ ed il punto A. Nel caso di allungamenti

L

piccoli rispetto alla lunghezza in deformata della fune, ossia u la rotazione della fune a

0

seguito dell’allungamento è trascurabile e il segmento AD risulta normale al segmento A’D.

del punto

Pertanto è facile esprimere una relazione tra l’allungamento u e lo spostamento v

A

materiale 1

=

0

u=v sin 30 v (1.3)

A A

2

equazione di compatibilità o di congruenza della deformazione e che

che prende il nome di

esprime la condizione che deve sussistere tra allungamento nelle funi e spostamento del punto

A per rappresentare configurazioni deformate con connessione delle funi nel punto A.

1-7

Allungamento delle funi e spostamento verticale del punto A: compatibilità della

Figura 1.7. deformazione.

Combinando l’equazione costitutiva con quella di compatibilità si ottiene lo

spostamento verticale del punto A per effetto dell’applicazione della forza peso

F

v =2u=2 .

A k

Applicazione specifica 1.1 =

L m

Si considera il caso in cui le funi siano di Kevlar 49 di diametro 2mm e lunghezza 4 ,

0

aventi trazione limite T =10.0kN e rigidezza k=1.0kN/cm; sospendendo un oggetto del peso

a = = =

P=2kN ne risulta una trazione T T F =2kN. Essendo T T < T le funi risultano sicure

a

1 2 1 2

rispetto alla rottura e così il sistema strutturale. L’allungamento delle funi risulta essere

2kN = e l’abbassamento del punto A v =2u=4cm .

u= P k = 2.0cm A

kN

1.00 cm L

Si può osservare che l’esiguità dell’allungamento conferma l’assunzione u , ossia

0

configurazione deformata è sostanzialmente coincidente con la configurazione di

che la

riferimento

. Tale conclusione corrobora la scelta del modello strutturale di figura 1.2

utilizzato per l’analisi dell’equilibrio che corrisponde alla configurazione di riferimento. Ciò

equazioni di equilibrio indipendenti dalla deformazione del sistema , come se le funi

rende le lineari nelle forze agenti sul punto materiale

fossero rigide, e .

Viceversa, se l’ipotesi di piccolezza dell’allungamento delle funi non fosse soddisfatta

l’equilibrio dovrebbe essere analizzato nella configurazione deformata, ossia considerando

l’effetto dello spostamento nella definizione delle forze in figura 1.2 che non risulterebbero

o ma di una entità incognita; in questo caso le equazioni di equilibrio non

più inclinate di 30

risultano più lineari. progetto della inclinazione delle due funi in modo da assicurare

Il problema del β

α

l’equilibrio dell’oggetto sospeso può essere visto come scelta degli angoli e nello

schema di figura 1.8.a. In questo caso il punto A può essere riguardato come soggetto alla

forza peso ed alla forza risultante della forza di trazione nelle due funi. L’equazione di

f s = + = da cui

equilibrio della particella materiale A si scrive in forma vettoriale come r f s 0

1-8 = Decomponendo tale forza

deve essere l’opposto di , ossia . lungo

risulta che la forza -

s f s f

d d Regola del parallelogramma

le rette d’azione e mediante il procedimento inverso della

1 2

si ottengono le forze e agenti sui cavi. Si osserva che tali forze rappresentate in figura

t t

1 2

1.8.a sono uscenti dal punto A e dirette verso le funi corrispondenti e quindi di trazione

≥ ≥

T 0 , T 0 e quindi soddisfano il vincolo costitutivo monolatero per la fune che ricorda

1 2

che la fune la quale ben sopporta la trazione, ma non la compressione. e T che

In componenti le equazioni di equilibrio vengono espresse nelle incognite T

1 2

esprimono l’intensità della forza di trazione nella forma

= α − β =

⎧ T cos T cos 0

r 1 2

x

⎨ (1.4)

= α + β − =

T sin T sin F 0

r

⎩ 1 2

y α

β

Fcos Fcos α >

=

=

la cui soluzione è ,

. Nella geometria considerata

e 0

T T

( ) ( )

α β

α β

1 2

sin + sin +

β > 0 la soluzione esiste sempre anche se l’equilibrio richiede che le funi siano soggette a

trazione e che questa sia inferiore al valore limite. La prima condizione si traduce nelle

α < π β < π α > π

posizioni e . Se si considera il sistema di figura 1.8.b in cui , la

2 2 2

d d

prima condizione e la decomposizione della forza – secondo le rette d’azione e viene

f 1 2

risolta ottenendo una forza uscente da A con verso opposto alla fune e quindi con intensità

t 2

<

T 0 , che, non soddisfacendo il vincolo costitutivo monolatero, non è soluzione

2 equilibrio è impossibile

ammissibile. Ossia l’ per il sistema di figura 1.8.b; una conclusione

che è intuitiva e facilmente sperimentabile nel caso del sistema considerato ma che non

appare tale per sistemi più complessi che verranno analizzati nel seguito.

Se ne conclude che è sempre possibile disporre due funi capaci di assicurare

isostatici

,

l’equilibrio dell’oggetto sospeso ed i sistemi così caratterizzati vengono denominati

purché sia verificato che la trazione nelle funi risulti limitata entro valori ammissibili che

dipendono dal materiale impiegato e che soddisfi il vincolo costitutivo monolatero.

(a) (b)

Progetto dell’orientamento due funi: (a) funi tese in equilibrio; (b) la fune 2 è

Figura 1.8. compressa e l’equilibrio non è possibile.

1-9

Viceversa, ci si chiede se sia possibile sospendere l’oggetto considerato con una sola

fune. Sebbene la risposta sia intuitiva, può essere utile analizzare il problema. Si considera il

α .

sistema illustrato in figura 1.9 costituito da una fune inclinata di un angolo

Fune singola, il poligono delle forze non si chiude.

Figura 1.9.

Dalla costruzione del poligono delle forze è evidente che l’equilibrio del punto materiale non

è in generale possibile in quanto la risultante delle forze agenti su A non si annulla, ossia non

α = π che corrisponde

è possibile chiudere il poligono delle forze, con l’eccezione banale 2

al caso della fune verticale. A ben vedere si tratta di un pendolo che sta in quiete solo nella

configurazione verticale della fune. Tale risultato si evince anche dalle equazioni di equilibrio

scritte in componenti = α =

⎧ T cos 0

r 1

x

⎨ (1.5)

= α − =

T sin F 0

r

⎩ 1

y

α ≠ π 2 due condizioni impossibili da soddisfare simultaneamente

che per porgono per una

= α ≠

= T F sin 0 . Di

T 0 mentre la seconda

forza F generica. Infatti la prima impone 1

1

impossibile ipostatico

conseguenza l’equilibrio risulta ed il sistema è denominato . Nel caso

α = π

particolare la componente orizzontale della risultante è nulla e quindi la prima

2 = , come l’intuizione suggerisce.

equazione sempre soddisfatta; dalla seconda si ottiene T F

1

L’equilibrio del punto materiale è assicurato nel caso della forza F applicata; tuttavia, se viene

applicata anche una ulteriore forza con componente orizzontale non nulla è facile vedere che

sistema ipostatico può essere in equilibrio per

l’equilibrio è impossibile. Se ne deduce che il

particolari condizioni di carico, ma non per una generica

. Come si vedrà nel seguito, questi

labili

sistemi vengono denominati . 1-10

Le forze nelle tre funi determinano infiniti poligoni delle forze che sono chiusi.

Figura 1.10.

Nel caso opposto del sistema di tre funi illustrato in figura 1.10 le incognite sono le tre

, T e T nelle funi, mentre le equazioni di equilibrio del punto A sono due

trazioni T

1 2 3

⎧ 3 3

= + = − =

⎪⎪ r t t T T 0

1 2 1 2

x x x 2 2

⎨ . (1.6)

⎪ 1 1

= + + − = + + −

r t t t F T T T F=0

⎪⎩ 1 2 3 1 2 3

y y y y 2 2

=

Sebbene dalla prima equazione si ottenga per la sim