Statica - equilibrio punto materiale, teoria esercizi

C 1

APITOLO

I ’

NTRODUZIONE ALL EQUILIBRIO DELLE

STRUTTURE

L’equilibrio di una costruzione è condizione di sicurezza per gli occupanti e di

integrità per gli elementi contenuti. Lo stato di equilibrio viene inteso come permanenza in

quiete della costruzione quando è cimentata da azioni ambientali o antropiche. Lo studio delle

condizioni di equilibrio costituisce quindi un momento essenziale nella concezione della

costruzione e nella comprensione del suo comportamento strutturale, ossia delle modalità con

cui il sistema resistente risponde alle azioni.

Il problema viene affrontato su base quantitativa, come di consueto in Meccanica,

attraverso l’identificazione di un modello meccanico della struttura, o modello strutturale, che

rappresenta una idealizzazione del sistema resistente della costruzione in termini di grandezze

fisiche opportune e di leggi meccaniche che esprimono relazioni matematiche tra tali

grandezze. Il modello deve essere sufficientemente semplice affinché la formulazione

matematica che lo descrive sia risolubile nella forma più diretta, compatibilmente con la

necessità che il modello stesso sia adeguatamente rappresentativo della realtà che deve

rappresentare (Saaty e Alexander, Thinking with models, Pregamon Press, 1981).

Sebbene alcune azioni tra le più gravose (sismiche, eoliche, carichi viaggianti etc.)

siano variabili nel tempo, comportando così vibrazioni ineludibili della costruzione, può

essere sufficientemente esaustiva l’analisi dell’equilibrio, inteso come stato di permanenza in

quiete a seguito dell’applicazione di azioni lente ovvero come stato conclusivo di un processo

dinamico smorzato da cui si prescinde nell’analisi.

1.1 L’equilibrio del punto materiale e i sistemi di funi

A titolo di esempio si consideri il problema di stabilire se un oggetto pesante possa

o

30

stare in equilibrio sostenuto da due funi inclinate di rispetto all’orizzontale collegate ad

un telaio metallico fissato ad una base, come indicato in figura 1.1. La risposta è affermativa

se è possibile uno stato di quiete nella forma o configurazione del manufatto considerata, in

cui le funi ed il telaio resistono il cimento senza manifestare cedimento o rottura.

Il sistema resistente viene rappresentato da un modello strutturale definito sulla base

di alcune ipotesi semplificative e utili ad evidenziarne le caratteristiche essenziali. Per

descrivere quantitativamente la geometria del modello è necessario considerare grandezze

estensive scalari che misurano le entità geometriche rappresentative dei componenti del

1-1

manufatto; le interazioni meccaniche tra i componenti e tra questi e oggetti esterni al sistema

sono associate alle entità geometriche individuate e rappresentate da forze, ossia da grandezze

vettoriali. Oggetto pesante sostenuto da due funi ancorate ad un telaio metallico.

Figura 1.1.

Se le dimensioni dell’oggetto pesante sono piccole rispetto alla lunghezza delle funi,

esso può essere rappresentato da un punto (punto A in figura 1.1), un’entità a cui viene

associata la massa M (ulteriore grandezza scalare necessaria per considerarne il peso

considerata nota) e che è denominato punto materiale o particella materiale. Se si

considerano i punti B e C dove le funi sono connesse al telaio come fissi, assumendo

implicitamente questo ed il basamento rigidi e resistenti indipendentemente dal peso

dell’oggetto sostenuto, e se si assume che le funi siano tese ed inestensibili, il problema

dell’equilibrio del sistema è circoscritto all’equilibrio del punto materiale A; infatti solo il

movimento di A determina il movimento delle funi. Il modello strutturale, ridotto alla

particella materiale A, deve essere completato con la descrizione delle interazioni meccaniche

di questa con l’ambiente esterno rappresentato dal campo gravitazionale e con le funi. Il

= =

primo è rappresentato dalla forza peso di intensità nota , dove g è il campo

F Mg

f f

2

gravitazionale (g=9.81m/sec ), avente direzione verticale e rivolta verso il basso (il simbolo

denota il modulo del vettore L’azione trasmessa da ciascuna fune sul punto materiale è

f).

f

incognita in intensità e viene assunta con la stessa direzione della fune e verso uscente dal

punto A a rappresentare l’effetto della trazione della fune sul punto stesso. Nel riferimento

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

−

3 2 3 2

= =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

e , dove T e T

T T

(x,y) tali forze sono rappresentate nella forma t t 1 2

1 1 2 2

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2 1 2

⎡ ⎤

0

= ⎢ ⎥

misurano la ; la forza peso risulta invece F . Il modello strutturale

trazione nelle funi f −

⎣ ⎦

1

che ne risulta è quello rappresentato in figura 1.2 ed è definito nel piano che contiene le forze.

1-2

Modello strutturale: punto materiale e forze agenti.

Figura 1.2.

Approfondimento 1.1 – Grandezze fisiche, dimensioni e unità di misura

La definizione di un modello meccanico è subordinato alla scelta delle proprietà

, denominate , che vengono assunte per descrivere

fisiche misurabili grandezze fisiche

quantitativamente il sistema meccanico che si vuole analizzare. Per poter misurare una

proprietà o grandezza fisica è necessario assumere la proprietà di un particolare sistema come

. Ad esempio la grandezza denominata lunghezza è

unità di misura della grandezza fisica

misurabile con riferimento all’unità di misura metro, assunto come la distanza percorsa dalla

luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299792458 di secondo.

Le grandezze utilizzate in Meccanica si dividono in 3 , con le

grandezze di base

rispettive unità di misura nel Sistema Internazionale (SI) riportate in Tabella 1.1, ed in

, le principali riportate in Tabella 1.2. Di conseguenza il valore di una

grandezze derivate

viene espresso dal ; ad

grandezza fisica prodotto di un valore numerico ed un’unità di misura

2

esempio 10m, 5s, 30N, 30m , 100kW, 20Gpa etc.

Il tipo di unità di misura assunto per descrivere una grandezza fisica viene espresso

dalla della grandezza stessa. Le dimensioni delle grandezze fisiche di base in

dimensione

Meccanica sono denotate da L (lunghezza), T (tempo), M (massa); le dimensioni delle

grandezze fisiche derivate sono esprimibili in termini di tali dimensioni base e sono riportate

in Tabella 1.2. Nei problemi inerenti l’equilibrio dei sistemi strutturali può risultare

conveniente assumere quali grandezze fisiche di base la Lunghezza (L), la Forza (F) ed il

Tempo (T); in tal caso la Massa viene assunta come grandezza derivata e le dimensioni delle

grandezze derivate risultano espresse in Tabella 1.2. Nel seguito la dimensione di una

generica grandezza fisica verrà denotata col simbolo [ ]; ad esempio, la dimensione

X X 2

dell’area S della sezione di un cavo di cui alla figura 1.1 è indicata con [S]=L . Poiché le

equazioni che rappresentano i fenomeni fisici devono essere valide indipendentemente dal

sistema di riferimento assunto, è necessario che soddisfino la condizione di omogeneità

. Questa impone ad entrambi i membri dell’equazione fisica di possedere la

dimensionale =

medesima dimensione. Ad esempio, la legge del moto accelerato verifica la condizione

x vt

[ ] [ ]

= =

di omogeneità dimensionale in quanto , essendo la posizione, la velocità e

x v t

x vt L

il tempo. Tabella 1.1. Grandezze fisiche base in Meccanica

Grandezza fisica Simbolo Dimensione Unità di misura SI

A

Lunghezza, posizione , x , ,....... L metro (m)

r τ

t , T secondo (s)

Tempo

Massa M Kilogrammo (kg)

m 1-3

Tabella 1.2. Grandezze fisiche derivate in Meccanica (principali)

Grandezza fisica Simbolo Dimensione Unità di misura SI

-2

, F

Forza F=MLT newton (N)

f 2 2

Area A, S L m

3 3

Volume V L m

ρ -3 3

Massa volumica Kg/m

ML

θ, ϕ

Angolo - radianti (rad)

-1

, v

..

v

Velocità m/s

LT

-2 2

, a

a m/s

Accelerazione LT 2 -2

Lavoro, Energia L, E FL=ML T Joule (J) = Nm

σ τ -2 -1 -2 2

, ,

p

Pressione, tensione FL = ML T Pascal (Pa)=N/m

-1 2 -3

Potenza P FLT = ML T Watt (W)=J/s

SI=Sistema Internazionale di unità di misura

Approfondimento 1.2 – La regola del parallelogramma e il poligono delle successive

risultanti

La somma o risultante di due forze e è una forza costruita mediante la regola del

c=a+b a b

parallelogramma (Stevino), ossia è la diagonale del parallelogramma avente come lati le due

forze date, come illustrato in figura 1.3. La somma di forze (vettori) gode della proprietà

+

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

a b a b

=

= =

x x x x

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .

commutativa in componenti se e , il risultante è

a+b= b+a; c

a b +

a b a b

⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

y y y x

Somma di due forze mediante la regola del parallelogramma

Figura 1.3.

Dato un sistema di vettori il vettore risultante è ottenuto applicando in successione la

a, b, c, d

regola del parallelogramma come indicato in figura 1.4, da cui risulta anche la proprietà

( )

+ + = + +

distributiva della somma . Dalla costruzione in figura 1.4 si può

a b c a b c

osservare come si possano individuare le successive risultanti e quindi la

a+b, a+b+c

risultante complessiva come lati di successivi poligoni.

r=a+b+c+d

Risultante di più forze mediante la regola del parallelogramma; poligoni delle

Figura 1.4. successive risultanti.

1-4

Definita la forza nulla come quella forza che sommata ad una forza generica lascia questa

0 a

invariata ed il vettore opposto –a di un vettore come quel vettore che sommato a

a+0=a, a

quello dato fornisce risultante nulla (-a)+a=0, un sistema di forze ha risultante nulla se il

r=0

poligono delle forze è chiuso, ossia il primo estremo del primo vettore da sommare

corrisponde al secondo estremo dell’ultimo vettore sommato nel poligono delle forze.

Un punto materiale inizialmente in quiete si dice che è in equilibrio rispetto ad un sistema di

forze quando l’applicazione di tali forze lo lascia in condizioni di quiete. Ricordando i

principi della Dinamica di Newton:

I - un punto materiale non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme

II – un punto materiale soggetto all’azione di una forza acquista una accelerazione

f a

inversamente proporzionale alla propria massa M e proporzionale alla forza ossia

f,

1

=

a f

M

si desume che una particella permane in quiete se e solo se e quindi In definitiva:

a=0 f=0.

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale è che l’insieme

delle forze agenti su di esso sia a risultante nulla (1.1)

r=0 .

equazione di equilibrio del punto materiale

Con riferimento al modello in figura 1.2, affinché il punto A sia in equilibrio è

necessario che le forze , abbiano risultante nulla ossia che il poligono delle forze sia

f, t t

1 2

chiuso come illustrato in figura 1.5. Il poligono chiuso che si ottiene è un triangolo equilatero

di lato F e quindi è immediato osservare che la lunghezza dei lati paralleli alle forze e è F

t t

1 2

= =

e pertanto T T F .

1 2 Poligono delle forze agenti sul punto materiale A.

Figura 1.5.

Analogo risultato è ottenuto operando in componenti delle forze rispetto al riferimento

( , ) e imponendo l’annullarsi delle componenti della forza risultante

x y 1-5

⎧ 3 3

= + = − =

⎪⎪ r t t T T 0

1 2 1 2

x x x 2 2

⎨ (1.2)

⎪ 1 1

= + − = + −

r t t F T T F=0

⎪⎩ 1 2 1 2

y y y 2 2

dove F è noto e T e T sono incogniti. Dalla soluzione del sistema di due equazioni lineari

1 2 = =

nelle due incognite si ottengono i valori della trazione nelle funi in condizioni di

T T F

1 2

equilibrio. E’ importante osservare che qualunque sia il valore del peso F, esistono valori

corrispondenti della trazione delle funi che soddisfano l’equazione di equilibrio del punto

materiale.

Tuttavia, al crescere della trazione nelle funi si raggiungerà un valore limite della

trazione T , superato il quale la fune può spezzarsi e quindi perdere la capacità portante, ossia

a

la capacità di trasmettere il tiro T; va rilevato che la determinazione della trazione limite T

a

richiede opportune prove di laboratorio su campioni significativi. Questa situazione viene

raggiunta per il valore limite del peso F = T dell’oggetto sostenuto, superato il quale si attiva

a a = −

la rottura con azzeramento del tiro delle funi e risultante non-nulla pari F ( versore

f e e

a y y

y

dell’asse ); il punto materiale passa dallo stato di