Statica delle costruzioni

GEOMETRIA

BARICENTRO:

è il centro delle forze del sistema

la risultante di una serie di forze coincide nel baricentro

nel calcolo del baricentro va tenuto conto della FORMULA DI PROPORZIONALITÀ

X_G = S_x/∑m

Y_G = S_y/∑m

MOMENTO STATICO:

Viene calcolato moltiplicando la massa per la sua distanza dall'asse, presa nella direzione dell’altro asse

S_x = ∑m_i·dy_i

S_y = ∑m_i·dx_i

S_mx = (∑m_i·dy_i)·sin α

S_my = (∑m_i·dx_i)·sin α

momento statico MINIMO = S_mx/S_my

S_x = ∑m·dy

S_y = ∑m·dx

Da questo possiamo trovare le COORDINATE del baricentro

Siccome sappiamo che S_x = ∑m_i·dy_i

Y_G = ∑m_i

• Y_G = S_x/∑m_i

Siccome sappiamo che S_y = ∑m_i·dx_i

X_G = ∑m_i

• X_G = S_y/∑m_i

G → coordinate baricentro

MOMENTO D'INERZIA CENTRIFUGO:

centrifuga le informazioni, può essere sia positivo che negativo, dipende dalla configurazione di mi nel piano

Jxy = (Σmi⋅dxi)⋅dyi

pertanto massa per la distanza da un asse, il tutto per la distanza dall'altro asse

Jyx = (Σmi⋅dyi)⋅dxi

MOMENTO D'INERZIA:

viene calcolato facendo massa per distanza dell'asse alla seconda, nell'direzione dell'altro asse

Jx = Σmi⋅dyi² Jy = Σmi⋅dxi²

INERZIA COSI RISPOSTA AI NOSTRI ROTAZIONI, TENENZA A OPPORSI ALLE ROTAZIONI

Jmmx =(Σmi⋅dyi²)⋅sin α²

↓

Jx

Jmmy =(Σmi⋅dxi²)⋅sin α²

↓

Jy

Jx=Σmi dyi² Jy=Σmi dxi²

MOMENTO POLARE:

viene calcolato facendo massa per distanza dal centro al quadrato

Jp = Σmi⋅ri²

r² = x²+y²

Jp = Σmi⋅(xi²+yi²) = Σmi⋅xi²+Σmi⋅yi² = Jx+Jy

ESEMPIO:

In questo caso Jp e Jp sono uguali perché l'origine è la stessa, quindi anche ri

pertanto Jx+Jy = Jx+Jy, sempre se non cambia l'origine

FORMULARIO:

BARICENTRO:

(G) : Xg =_SxΣmi Yg =_SyΣmi

momento STATICO:

Sx = Σmi⋅dyi

Sy = Σmi⋅dxi

momento D'INERZIA:

Jx = Σmi⋅dyi²

Jy = Σmi⋅dxi²

momento POLARE:

Jp = Σmi⋅ri²

momento CENTRIFUGO:

(Σmi⋅dxi)⋅dyi

RAGGIO GIRATORE DI INERZIA

Una volta trovati i momenti di inerzia, mi basta fare un semplice calcolo per trovare i valori dei raggi giratori di inerzia

_ρξ² = J_ξ / Σm_i/A

_ρη² = J_η / Σm_i/A

Sono i valori che vado a tracciare sugli assi principali di inerzia per tracciare il mio ellisse

NOCCIOLO CENTRALE DI INERZIA

Nelle sezioni rettangolari si vede ad occhio con il metodo del TERZO MEDIO

• 1/3 di h
• 1/3 ai b

In un altro qualsiasi sistema di riferimento si guardano le rette, se ad esempio ho:

Punti = {ξ; η}

Rette = {ξ; η}

∀ ξ η / ρ_η² + ρ_ξ² + 1 = 0

→Sostituisco a questa formula i valori per tutte le rette tangenti e trovo ogni punto che va a fare da vertice al NOCCIOLO CENTRALE

METODO DELL'EQUILIBRIO AI NODI

Si parte sempre dall'analisi del NODO CANONICO, dove convergono solo 2 aste, per poi andare a quello dove convergono 3 aste e così via

Zoom 1:

vado a scrivere le equazioni cardinali / di equilibrio, esponendo la mia positività

• \(\frac{3}{2}P + N_{46} = 0\)
• \(N_{46} = -\frac{3}{2}P\)
• \(N_{65} = 0\)
• \(N_{65} = 0\)

Zoom 2:

vado a scrivere le equazioni cardinali / di equilibrio, esponendo la mia positività

\(N_{45}\) è la risultante di due forze \(N_{45}\frac{\sqrt{3}}{2}\)

• \(\frac{3}{2}P - P - N_{45}\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(N_{45} = -\frac{\sqrt{3}}{2}P\)
• \(N_{45} + N_{45}\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(N_{45} = -\frac{P}{2}\)

VINCOLI MULTIPLI

più vincoli semplici associati ad un punto della trave, in un punto posso mettere al massimo 6 vincoli, 3 di traslazione e 3 di rotazione, mentre in una trave posso mettere tutti i vincoli che voglio

CASO OMOGENEO - VINCOLI PERFETTI

CASO 1: _n<6 quindi _K<₆ necessariamente (_K=rango)

Ho K vincoli semplici indipendenti che tolgono K gradi di libertà L=6-K

--> quindi n<6 trave LABILE

CASO 2: _n=6

1. se K=6 il det[_A]=0 i vincoli sono linearmente indipendenti e ben disposti
2. se K<<6, det _F ≠ 0 i vincoli sono mal disposti

Quindi: det[_A] ≠0 (K=6) geometricamente ISODETERMINATA

det[_A]=0 (K<6) LABILE

CASO 3: _n>6

1. se K=6 se esiste una sottomatrice di [_A] di dimensioni 6x6 con det ≠0
2. se K>>6, non esiste una sottomatrice di [_A] di dim 6x6 con det ≠0

Quindi: se K=6 geometricamente IPERDETERMINATA

se K>6 LABILE

VINCOLI ESTERNI

--> ANCORANO LA STRUTTURA AL SUOLO

VINCOLI INTERNI

--> PERMETTONO MOVIMENTI TRA DUE CORPI RIGIDI

K < 6 -->