Statica delle costruzioni

Geometria

Baricentro

Baricentro: è il centro delle forze del sistema.

La risultante di una serie di forze coincide nel baricentro.

Nel calcolo del baricentro va tenuto conto della formula di proporzionalità.

m1⋅d1 = m2⋅d2

X_G = S_y/S_m

Y_G = S_x/S_m

Momento statico

Momento statico: viene calcolato moltiplicando la massa per la sua distanza dall'asse, presa nella direzione dell'altro asse.

S_x = ∑m_i⋅dy_i

S_y = ∑m_i⋅dx_i

S_{m x} = (∑m_i⋅dy_i)⋅sin α

S_{m y} = (∑m_i⋅dx_i)⋅sin α

Momento statico minimo = S_mx/S_my

S_x=∑m⋅dy S_y=∑m⋅dx

Da questo possiamo trovare le coordinate del baricentro.

Siccome sappiamo che S_x = ∑m_i⋅dy_i Y_G = S_y/∑m_i

Siccome sappiamo che S_y = ∑m_i⋅dx_i X_G = S_x/∑m_i

G → coordinate baricentro

Geometria

Baricentro

Baricentro: è il centro delle forze del sistema.

La risultante di una serie di forze coincide nel baricentro.

Nel calcolo del baricentro va tenuto conto della formula di proporzionalità.

X_G = S_y / S_em

Y_G = S_x / S_em

Momento statico

Momento statico: viene calcolato moltiplicando la massa per la sua distanza dall'asse, presa nella direzione dell’altro asse.

S_x = Σm_i·dy_i S_y = Σm_i·dx_i

S_mmx = (Σm_i·dy_i)·sinα

S_mmy = (Σm_i·dx_i)·sinα

Momento statico minimo = S_mmx/S_mmy

S_x = Σmα·dy

S_y = Σmα·dx

Da questo possiamo trovare le coordinate del baricentro.

S_x = Σm_i·dy_i Y_G·Σm_i

Y_G = S_x / Σm_i

S_y = Σm_i·dx_i X_G·Σm_i

X_G = S_y / Σm_i

G → coordinata baricentro

Momento d'inerzia centrifugo

Momento d'inerzia centrifugo:

J_xy = (Σm_i∙dx_i)∙dy_i

J_yx = (Σm_i∙dy_i)∙dx_i

Momento d'inerzia

Momento d'inerzia:

J_x = Σm_i∙dy_i² J_y = Σm_i∙dx_i²

Momento polare

Momento polare:

J_p = Σm_i∙r_i² = x_i² + y_i²

J_p = Σm_i∙(x_i² + y_i²) = Σm_i∙x_i² + Σm_i∙y_i² = J_x + J_y

Esempio

Esempio: in questo caso J_p e J_p sono uguali perché l'origine è la stessa, quindi anche r_i.

Pertanto J_x + J_y = J_x + J_y, sempre se non cambia l'origine.

Formulario

Formulario:

• Baricentro: X_G = S_y / Σm_i Y_G = S_x / Σm_i
• Momento statico: S_x = Σm_i∙dy_i S_y = Σm_i∙dx_i
• Momento polare: J_p = Σm_i∙r_i²
• Momento centrifugo: J_xy = (Σm_i∙dx_i)∙dy_i
• Momento d'inerzia: J_x = Σm_i∙dy_i² J_y = Σm_i∙dx_i²

Teorema di Huygens-Steiner o di trasposizione

Teorema di Huygens-Steiner o di trasposizione.

Permette di calcolare il momento d’inerzia (J_x-J_y) di un corpo rispetto ad un asse parallelo a quello passante per il centro della massa.

Conoscendo il momento d’inerzia (J_x-J_y) dell’asse d’inerzia principale (J_xo-J_yo), posso trovare il momento d’inerzia rispetto a X.

J_x = J_xo + (dx² ⋅ Σ_m)

Allo stesso modo se conosco il momento d’inerzia rispetto all’asse X posso trovare il momento d’inerzia rispetto all’asse Xo, ma vale per tutti gli altri assi.

Viene usato spesso per calcolare i momenti d’inerzia rispetto agli assi principali d’inerzia, nei sistemi sia di