Statica dei corpi rigidi

STATICA DEI CORPI RIGIDI

• SIMBOLOGIA
  • Vettore / Versore
  • Prodotto scalare
  • Prodotto vettoriale

IMPORTANTE

Vectore nullo

Def

FORZA

Causa fisica che modifica lo stato di quiete o moto di un corpo. Grandezza vettoriale e perciò definita da:

1. PUNTO APPLICAZIONE
2. DIREZIONE
3. VERSO
4. MODULO

VETTORE APPLICATO

Se non c'è bisogno di specificare 1 parliamo di VETTORE LIBERO

Def

PUNTO MATERIALE

CORPO RIGIDO

Insieme di infiniti punti materiali. A prescindere dalla distribuzione delle sollecitazioni la distanza tra due punti è costante.

Statica dei corpi rigidi

Simbologia

• ei: Vettore / Versore
• ·: Prodotto scalare
• ×: Prodotto vettoriale

Importante

• R = 0 Vettore nullo

Def

Forza

Causa fisica che modifica lo stato di quiete o moto di un corpo.

Grandezza vettoriale e perciò definita da:

1. Punto applicazione
2. Direzione
3. Verso
4. Modulo (|F|)

Vettore applicato

Se non c’è bisogno di specificare ① parliamo di vettore libero

Def

Punto materiale

Corpo rigido

Insieme di infiniti punti materiali.

A prescindere dalla distribuzione delle sollecitazioni la distanza tra due punti è costante.

X_c

X_c costante

Il concetto di corpo rigido è da considerare in relazione al sistema in esame.In realtà non esiste un corpo indeformabile in assoluto.

Def. Consideriamo un piano

si dice momento di F rispetto Q

H(Q) = (P - Q) × FVettore perpendicolareVerso determinato dalla regola della mano destraTerno levogira

|M(Q)| = F · b

Fissando un sistema di riferimento _{O; x, y, z}

definisco M(Q) con una relazione di tipo:

M(Q) =

[_{x - xa}, _{y - ya}, _{z - za}]

[F_x, F_y, F_z]

se cambio sistema di riferimento

mantenendo la stessa origine M(Q)

rimane costante.

La relazione è matricale, il determinante (invariante

covario) non cambia col variare del riferimento.

Nel sistema piano si considerano nullo la componente

di Z; Al più in alcuni software rappresentano la quota

SISTEMA DI FORZA

S := { (P_i, F_i), con i = 1, 2, ... , μ }

PUNTO APPLICAZIONE I-ESIMA FORZA

GRANDEZZE FONDAMENTALI

R = ∑_i=1^μ F_i RISULTANTE

M(Q) = ∑_i=1^μ [(Pi - Q) × Fi]

VETTORE LIBERO

MOMENTO RISULTANTE

(D TUTTE LE

FORZE DEL SISTEMA)

VETTORE LIBERO

Non esiste nessun tipo di forza concentrata.

Bisogna introdurre il concetto di

DISTRIBUZIONE di FORZE

Puó avvenire sia a una linea che a una superficie qualsasi (piana o spaziale).

-CASO PIANO)

s ∈ [o; s]

P(s) ∈ ℓ

Ascissa curvilinea

fi è agisce un sistema di forze

R = ∫_λ f(s) . ds

M(Q) = ∫_λ [(P(s) - Q) x f(s)] . ds

Nella maggior parte dei casi la distribuzione è di tipo lineare o costante

Alle volte nasce l'esigenza di calcolare il momento rispetto a un altro punto (Q₁)

M(Q) ≠ M(Q₁)

M(Q₁) = ∑_{i = 1}ⁿ (P_i - Q₁) × F_i = ∑_{i = 1}ⁿ (P_i + Q - Q₁) × F_i

= ∑_{i = 1}ⁿ (P_i - Q) × F_i + ∑_{i = 1}ⁿ (Q - Q₁) × F_i = M(Q) + (Q - Q₁) × R

M(Q) + (Q - Q₁) × R = M(Q) (1)

Se _R = 0 ⟶ M(Q) = M(Q')

Il momento risultante non cambia al variare del polo Campo momento risultante uniforme vettoriale

(4) Vale per qualsiasi tipo di forze

SISTEMA FORZE E COPPIE

S ::= { (P_i, F_i), con i = 1, 2, ..., m ; M_f con j = 1, 2, ..., n }

• R = _{ℓ = 1}^m∑ F_ℓ
• M(Q) = _{i = 1}^m∑ (P_i - Q) x F_i + _{j = 1}ⁿ∑ M_f

Le coppie possono essere distribuite (distribuzione lineare).

M(Q) = ∫₁^s m_f P(s) ds

Se la distribuzione è costante M(Q) = m_f . ℓ

EQUIVALENZA SISTEMI DI FORZE

Dati due sistemi S₁ ed S₂ di qualsiasi tipo

1. S₁ {
   • R₁
   • M₁(O)
   }
2. S₂ {
   • R₂
   • M₂(O)
   }

S₁ equivalente a S₂

• R₁ = R₂
• M₁(O) = M₂(O)

Dim

Consideriamo il sistema S* = S₁ - S₂

R* = R₁ - R₂ = 0

M^*(O) = M^*(O)

Def

S si dice "sistema equivalente a 0"

• R = 0
• M(O) = 0 _VQ

La differenza di due sistemi equivalenti corrisponde

al sistema zero.

Equazioni Cardinali della Statica

Corpo rigido

Sia B corpo rigido soggetto a f