Statica dei sistemi rigidi: Appunti di Scienza costruzioni

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

S I G

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

S

TT

AA

TT

II

CC

AA DD

EE

II SS

II

SS

TT

EE

M

II RR

II

G II

D II

S M G D

T A T I

C A D

E I S

I

S

T E M

I R I

G I

D I

T

T

E O

R I

A D

E

L L

E A

R E

E P

I A

N E

E O

R I

A D

E

L L

E A

R E

E P

I A

N E

C

a p i

t o l

o 2 .

M ’ (

2 . 1 )

M ’ (

2 . 1 )

O M E N T O S

T A

T II

C

O E B

A

R

II

C

E N T R

O D II U

N A R

E A P

II

A

N A

O M E N T O S

T A

T C

O E B

A

R C

E N T R

O D U

N A R

E A P A

N A

O M E N T O S

T A

T I C

O E B

A

R

I C

E N T R

O D I U

N A R

E A P

I A

N A

Siano assegnate nel piano coordinato una figura piana di area Ω, ed una retta Sia l’elemento di

xy, r. dΩ

superficie nell’intorno del generico punto P di Ω. Si definisce (elementare) di rispetto ad

momento statico dΩ r,

e si indica con , il prodotto di per la distanza δ di P da Attribuendo un segno alla distanza δ a

dS dΩ r.

r

seconda della parte di piano in cui si trova rispetto ad il momento elementare è positivo, negativo,

dΩ r,

nullo. Si definisce dell’area Ω rispetto ad la grandezza:

momento statico r,

δ

∫

= Ω

S d

r Ω δ δ

∫ ∫

= Ω = Ω

I momenti statici dell’area rispetto agli assi coordinati sono pertanto: e . Il

S d S d

x y y x

Ω Ω

momento statico rispetto ad una retta qualsiasi di un sistema di più aree, è dato dalla somma dei momenti

statici rispetto a questa delle aree singole. Per ogni area piana, esiste un punto, detto che ha la

baricentro,

proprietà che il momento statico dell’area rispetto a qualsiasi retta passante per quel punto risulta nulla. Il

baricentro G è dunque il centro del fascio di rette rispetto alle quali il momento statico dell’area in questione

è sempre pari a 0. Si dimostra che le sue coordinate sono date da:

S

S =

= y

x ; x

y Ω

Ω G

G

δ

= Ω δ

e inoltre vale il seguente risultato: , con distanza di da G. Pertanto il momento statico di

S r(G) r

r r ( G )

Ω rispetto ad è dato dalla distanza della retta dal baricentro, per l’area stessa (per le dimostrazioni

r

rimandiamo al volume “Statica dei sistemi rigidi” di V.Ruisi). Diamo ora delle nozioni particolari su G:

Il baricentro di due aree uguali si trova sul segmento che unisce i centri delle due aree, e divide tale

segmento in parti uguali.

Se un sistema ammette un’asse di simmetria, retta od obliqua, il suo baricentro è su quest’asse.

Se un sistema ammette due assi di simmetria, il baricentro è sulla loro intersezione.

Un poligono regolare è inscrivibile (e circoscrivibile) in (ad) una circonferenza. Le rette che contengono i

vertici del poligono ed il centro delle circonferenza, sono asse di simmetria retta del poligono, e dunque

il centro delle circonferenze, è il baricentro del poligono.

Determiniamo, come esempio, il baricentro di un rettangolo qualsiasi di base e altezza Essendo le

b h.

mediane assi di simmetria retta per un rettangolo, il baricentro è la loro intersezione. Assumendo infatti

l’elementino di area = avendo fissato un S.R. come in figura, troviamo che:

dΩ b dy, h

 

2 2 2

S

y bh (

bh ) / 2 h

h

∫ ∫

= Ω = = = = Ω = = =

⇒ x ;

S yd bydy b y y

  Ω

x G G

Ω  

2 2 bh 2

0 0

b

 

2 2 2

S

x hb ( hb ) / 2 b

b

∫ ∫

= Ω = = = = Ω = = =

⇒ y ;

S xd hxdx h x x

  Ω

y G G

Ω  

2 2 bh 2

0 0

C ’ ’ (

2 . 2 )

C ’ ’ (

2 . 2 )

EE

N T R

O E M O M E N T O D II

N E R

Z II

A D II U

N A

R

E A P

II

A

N A

N T R

O E M O M E N T O D N E R

Z A D U

N A

R

E A P A

N A

E N T R

O E M O M E N T O D I N E R

Z I A D I U

N A

R

E A P

I A

N A

Nel piano siano assegnata una superficie di area Ω e una retta Se immaginiamo di concentrare in ogni

xy r.

punto P dell’area il momento statico dell’elemento che ne costituisce l’intorno, il baricentro R dei

dS dΩ

r

momenti , si definisce di Ω relativo ad Ad ogni retta del piano dell’area resta pertanto associato

dS centro r.

r

un punto R, le cui coordinate sono: δ δ

∫ ∫

Ω Ω

y d x d

= =

Ω Ω

;

x y

R R

S S

r r

Se la retta passa per G, è = 0, e pertanto il centro R è un punto improprio del piano. Se è una retta del

r S a

r

piano di Ω, e δ è la distanza del generico elemento da secondo una data direttrice, si definisce

dΩ a momento

di Ω rispetto ad la grandezza:

di inerzia a, δ

∫

= Ω

2

I d

a Ω

R S – C S 4

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

S I G

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

S

TT

AA

TT

II

CC

AA DD

EE

II SS

II

SS

TT

EE

M

II RR

II

G II

D II

S M G D

T A T I

C A D

E I S

I

S

T E M

I R I

G I

D I

δδ δ δ δ δ

∫ ∫

= Ω = = = Ω

ovvero, , detto A il centro di Ω relativo ad Per cui il momento

I d dS S a.

a a a A G A

Ω Ω

di inerzia di un’area piana rispetto ad un’asse è anche il momento statico rispetto a quell’asse del momento

δ δ ρ

= 2

statico rispetto allo stesso asse. Se poniamo , l’espressione precedente assume la forma:

G A a I

ρ ρ

= Ω =

⇒

2 a

I Ω

a a a

ρ si definisce o di Ω relativo ad

giratore d’inerzia raggio di inerzia a.

a

Siano assegnate un’area piana Ω ed una retta r del suo piano. Tracciata per il baricentro G di Ω una retta g

= + Ω 2

parallela ad r si trova che: , dove è la distanza tra i due assi. Questo risultato è noto

I I ( d ) d

r g

come teorema degli assi paralleli (o di trasposizione).

M ’ (

2 . 3 )

M ’ (

2 . 3 )

O M E N T O D II

N E R

Z II

A P

O L A

R

E E M O M E N T O C

E N T R

II

FF

U

G O

O M E N T O D N E R

Z A P

O L A

R

E E M O M E N T O C

E N T R U

G O

O M E N T O D I N E R

Z I A P

O L A

R

E E M O M E N T O C

E N T R

I F

U

G O

Si definisce di un’ area Ω rispetto a un punto O del suo piano, l’integrale:

momento di inerzia polare ∫

= Ω

2

I r d

O Ω

Nel quale l’elemento dΩ è moltiplicato per il quadrato della distanza dal punto O. Se si assume il punto O

come origine di un sistema di assi ortogonali di riferimento x,y, essendo r = x +y , risulta:

2 2

∫

= + Ω = +

2 2

I x y d I I

( )

O x y

Ω

Pertanto il momento di inerzia polare di una area rispetto ad un punto assegnato del suo piano, è uguale

alla somma dei momenti di inerzia dell’area rispetto a due assi ortogonali passanti per il punto e situati nel

= + Ω 2 , ovvero che il momento di inerzia polare di una figura

piano dell’area. Inoltre si trova che I I ( d )

O G

piana rispetto ad un punto del suo piano è uguale al momento di inerzia polare rispetto al baricentro,

aumentato del prodotto tra l’area stessa e il quadrato della distanza tra il baricentro e il punto considerato.

Se e sono due rette del piano x,y, si definisce (o dell’area Ω rispetto

a b momento centrifugo prodotto d’inerzia)

alle coppie di rette e la grandezza:

a b ∫

= Ω

I abd

ab Ω

Essendo a e b le distanze dell’elemento dΩ dalle rette ed rispettivamente, valutate secondo prefissate

b a

direttrici (per esempio misurare la distanza da ciascuna retta può misurarsi parallelamente all’altra retta). Se

∫ ∫

= Ω = il prodotto nell’ultimo integrale è il

scriviamo la formula precedente nella forma I b ad ds b

( )

ab b

Ω Ω

momento statico elementare rispetto ad del momento statico elementare rispetto a Pertanto, se

a b.

indichiamo con A il centro dei momenti statici rispetto ad può porsi:

a,

= = Ω

I S a (

b ) a

ab a A G A

( ) ( ) ( )

∫ ∫

= Ω = = = Ω

Oppure, con analoghi passaggi , da cui ricaviamo che:

I a bd