Statica dei sistemi rigidi: Appunti di Scienza costruzioni

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

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o 1 .

I (

1 . 1 )

I (

1 . 1 )

N T R

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II

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L L A S C E N Z A D E L L E C

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Z O N

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O D U

Z I O N E A

L L A S C

I E N Z A D E L L E C

O S

T R

U

Z I O N I

La scienza delle costruzioni studia il comportamento dei sistemi strutturali, o relativo ad azioni

strutture,

esterne, al fine di determinare le condizioni di resistenza, rigidezza e stabilità delle parti costituenti la

struttura, e di studiarne i requisiti di funzionalità in relazione alla sua destinazione. Per struttura si intende

quella parte di una costruzione che è chiamata ad opporsi alle azioni esterne, e ad assicurarne il

collegamento stabile con un corpo di riferimento, fisso rispetto alla struttura ma non necessariamente

rispetto alla terra. Tale corpo di riferimento si indica spesso come Il collegamento tra i corpi

terra.

(componenti la struttura), e tra questi e la terra, si effettua con appositi dispositivi, chiamati Le azioni

vincoli.

esterne sollecitanti la struttura derivano principalmente da applicazioni di ma anche da altre cause,

carichi,

comprese in genere sotto il nome di Distorsioni sono ad esempio le variazioni di temperatura o

distorsioni.

delle proprietà dei materiali, eventuali errori nel montaggio, i cedimenti dei vincoli. I carichi sono l’effetto

dell’interazione meccanica tra la struttura e i corpi circostanti. I carichi si distinguono in e

concentrati

I primi interessano aree molte piccole e vengono schematizzati sulla struttura con forze applicate

distribuiti.

in punti senza dimensioni: i carichi concentrati si misurano pertanto in unità di forza. I secondi interessano

invece una certa superficie o linea della struttura. Le forze con cui si schematizzano si misurano in unità di

forza per unità di area o lunghezza. Le forze esterne che derivano da interazioni di contatto diconsi di

superficie o di contorno. Si definiscono inoltre forze di volume le forze distribuite uniformemente nei volumi

dei componenti. Delle forze esterne fanno parte le cioè le forze esercitate sulla struttura dai

reazioni vincolari,

vincoli. In base alle caratteristiche geometriche, i componenti strutturali si distinguono in:

Monodimensionali, se una dimensione prevale nettamente rispetto alle altre (travi, fili). Il materiale

1 .

1 . si pensa come addensato lungo una linea. In particolare una trave deve intendersi generata da una

figura piana, detta che si muove mantenendosi normale alla linea descritta dal suo

sezione,

baricentro, detta Travi e fili si schematizzano con la loro linea d’asse.

asse.

Bidimensionali, se una dimensione (spessore) è trascurabile rispetto alle altre. Si considerano

2 .

2 . componenti strutturali bidimensionali le piastre, le membrane e i gusci.

Tridimensionali, se nessuna dimensione prevale sulle altre.

3 .

3 .

Una ulteriore classificazione distingue le forze in carichi permanenti e carichi accidentali, forze statiche e

forze dinamiche. I carichi permanenti agiscono sulla struttura per l’intero arco della sua vita (ex. il suo stesso

peso), quelli accidentali solo per determinati periodi di tempo. Le forze statiche agiscono sulla struttura con

intensità crescente, dal valore 0 ad un valore finale, con incremento di intensità così graduale che non si

destano accelerazioni negli elementi della struttura. Sono dette dinamiche le forze che causano una

accelerazione non trascurabile. Affinché una struttura sia funzionale, essa deve essere e

resistente, rigida

Per resistenza si intende la capacità della struttura di sopportare senza distruzioni dati carichi. La

stabile.

rigidezza e la sua capacità di opporsi alla azione deformatrice dei carichi esterni. Le deformazioni devono

essere contenute entro certi valori limite normalizzati. La stabilità è la capacità di una struttura di conservare

sotto sforzo la configurazione deformata corrispondente allo stato di equilibrio elastico. La risposta della

struttura alle azioni esterne è pertanto caratterizzata dalla deformazione dei corpi che la costituiscono e dalla

conseguente distribuzione degli sforzi interni. Si pone quale postulato fondamentale lo schema ideale che

rappresenta il generico componente strutturale come un corpo continuo deformabile. L’ipotesi di continuità

dei corpi assume che la materia che li costituisce sia distribuita con continuità nel volume da essi occupato, e

dunque si tratta di un’astrazione. Sottoposti alle azioni esterne gli elementi strutturali cambiano

configurazione. Questo cambiamento è ciò che chiamiamo deformazione. Quando cessano le azioni esterne, i

corpi, in tutto o in parte, riprendono la forma e le dimensioni geometriche iniziali. Questa proprietà è detta

La parte di deformazione che permane al cessare delle azioni esterne, caratterizza invece la

elasticità. plasticità

del corpo. È chiaro, da quanto detto, che non esistono corpi perfettamente elastici. Tuttavia, gli usuali

materiali da costruzione vengono spesso considerati come elastici purché il valore delle azioni esterne non

superi un certo limite, ovvero che esse siano tali da generare soltanto deformazioni elastiche. Per assicurare

alle strutture una adeguata rigidezza, materiali e dimensioni dei componenti vanno scelti in modo che le

deformazioni dovute alle azioni esterne siano molto piccole rispetto alle dimensioni degli elementi stessi. La

R S – C S 1

II

CC

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AA

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OO CC

II

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OO CC

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G II

D II

S M G D

T A T I

C A D

E I S

I

S

T E M

I R I

G I

D I

piccolezza delle deformazioni ammesse, consente di studiare le condizioni generali dell’equilibrio della

struttura considerando i corpi come irrigiditi nella configurazione iniziale non deformata. Si suppone valida

la legge di Hooke, che stabilisce una dipendenza direttamente proporzionale tra le deformazioni e le

sollecitazioni. Le ipotesi sulla piccolezza delle deformazioni e la validità della legge di Hooke rendono

legittimo il principio di sovrapposizione degli effetti delle forze.

A (

1 . 2 )

A (

1 . 2 )

SS

SS

II

O M II D E L L A S

T A

T II

C A

O M D E L L A S

T A

T C A

S

S

I O M I D E L L A S

T A

T I C A

Un corpo dicesi in equilibrio rispetto ad un altro corpo detto di riferimento se, rispetto a questo, esso non si

muove. Se il corpo di riferimento può essere considerato immobile, l’equilibrio si dice assoluto. Per questo,

in molti problemi di ingegneria si assume come riferimento la terra. Un sistema di forze dicesi o

equilibrato

se, applicato ad un corpo rigido libero in quiete non disturba tale condizione. Indichiamo

equivalente a zero

tale circostanza con la seguente scrittura: . Se ad un corpo soggetto ad un sistema di forze

{ F , F ,..., F } 0

∼

1 2 n

applichiamo un altro sistema di forze tale che il sistema risultante sia equilibrato, il sistema applicato dicesi

Due sistemi di forze diconsi se possono essere equilibrati da uno stesso

sistema equilibrante. equivalenti

sistema di forze. Una forza che sia equivalente ad un dato sistema di forze si definisce risultante di quel

sistema di forze. Diamo ora i cinque assiomi della statica:

1° Assioma: “Un corpo rigido libero è in equilibrio sotto l’azione di due forze se e solo se le forze hanno lo stesso

modulo, la stessa retta d’azione, ma verso opposto”.

2° Assioma: “L’azione di un sistema di forze su un corpo rigido non cambia se ad esso si aggiunge o si toglie un

Pertanto, dai primi due assiomi discende, quale corollario, che l’effetto

sistema di forze equilibrato”.

meccanico di una forza su un corpo rigido non varia se si trasporta il punto di applicazione lungo la

retta d’azione. Nella statica dei corpi rigidi la forza si rappresenta come un cioè un vettore che

cursore,

può scorrere lungo la retta d’azione. Un sistema di forze applicato in uno stesso punto (punto di

intersezione delle rette d’azione) si definisce sistema di forze concorrenti.

3° Assioma: “Due applicata nel punto di

forze concorrenti applicate ad un corpo sono equivalenti ad una forza R

concorrenza, e rappresentata dalla diagonale del parallelogramma che ha come lati adiacenti le forze date”

4° Assioma: “Le forze di interazione tra due corpi hanno la stessa retta d’azione e intensità, ma verso opposto

(principio di azione-reazione)”.

5° Assioma: “Se un corpo deformabile è in equilibrio sotto un dato sistema di forze, esso lo è anche se supposto

La proposizione inversa risulta invece generalmente falsa.

perfettamente rigido”.

F (

1 . 3 )

F (

1 . 3 )

O R

Z E E M O M E N T II

O R

Z E E M O M E N T

O R

Z E E M O M E N T I

È possibile determinare la risultante di un sistema di forze complanari concorrenti costruendo il poligono delle

Si hanno ad esempio, 4 forze concorrenti qualsiasi , e se ne vuole

forze. F , F , F , F

1 2 3 4

determinare la risultante . Si dimostra che, costruendo un poligono con vettori

R

equipollenti alle 4 forze, la risultante di esse sarà il lato che chiude il poligono

stesso, preso con verso opposto rispetto al senso di percorrenza. Naturalmente la

risultante non dipende dall’ordine con cui si fanno susseguire i vettori delle

forze. Si guardi la figura a lato per ulteriori chiarimenti. Rispetto ad un S.R.C.

ortonormale Oxy, è possibile inoltre determinare il modulo della risultante

tramite la formula: ∑ ∑

= + = +

2 2 2 2

R R R ( F ) ( F )

x y x , i y , i

i i

È noto infatti dall’algebra vettoriale che dato un sistema di vettori, la proiezione del vettore somma su un

n

generico asse è uguale alla somma algebrica delle proiezioni dei vettori componenti su quell’asse.

Se un sistema di forze concorrenti agisce su un corpo libero, questo è in equilibrio se la risultante di esse è

nulla. Per quanto detto fin ora, possiamo dunque asserire che, geometricamente, il sistema di forze ha

risultante nulla se, costruendo il poligono delle forze, l’origine della prima forza coincide con l’estremo

dell’ultima, cioè: “condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di forze concorrenti sia in equilibrio, è che il

Da un punto di vista analitico, invece, il sistema è in equilibrio se vale

relativo poligono delle forze sia chiuso”.

contemporaneamente: R = R = 0. Passiamo ai momenti. Il momento di una forza rispetto ad un punto si

x y

definisce come il prodotto vettoriale della forza per il vettore ortogonale alla retta d’azione della forza che

congiungente il punto e la retta stessa. Tale vettore è in modulo pari alla distanza del punto dalla retta, e si

chiama della forza. Possiamo dunque asserire che il momento di una forza rispetto ad un

braccio di leva R S – C S 2

II

CC

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AA

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DD

OO CC

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OO CC

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II

G II

D II

S M G D

T A T I

C A D

E I S

I

S

T E M

I R I

G I

D I

punto, detto non varia se si cambia il punto di applicazione della forza facendola scorrere sulla sua retta

polo,

d’azione. Si dimostra inoltre che il momento della risultante di un sistema piano di forze, è uguale alla

somma algebrica dei momenti delle forze componenti. Riguardo all’equilibrio di un sistema si dimostra che:

“condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema piano di forze concorrenti in un punto A sia in equilibrio, è che

si annullino le somme dei momenti di tutte le forze rispetto a due qualsiasi punti B e C del piano delle forze, non

Passiamo ora all’analisi della scomposizione delle forze in componenti e di alcuni

allineati con il punto A”. n

casi di rilevante importanza per la Scienza delle Costruzioni. In generale, scomporre una forza in n

componenti, significa determinare un insieme di vettori la cui risultante sia la forza in questione, e ciò, a

n

meno di condizioni al contorno, presenta infinite soluzioni. Per scomporre la forza in due direzioni e

F 1 2

assegnate, si proceda come segue: si conducono per il punto di

applicazione della forza le parallele e alle direzioni e

a b 1 2

rispettivamente. Le componenti di secondo le direzioni e saranno i

F 1 2,

vettori ed che congiungono l’origine di con l’intersezione tra

F F F b

1 2

ed e con l’intersezione tra e rispettivamente. Per scomporre una forza

1, a 2

secondo una direzione ed un punto D, il metodo è quello di ricondursi al

a,

caso precedente: tracciata per il punto di applicazione A della forza una retta parallela ad ed unito il punto

a,

D con A, il problema si riconduce alla scomposizione della forza secondo le direzioni e ≡ .

AD

a b

Si chiama un sistema di due forze parallele aventi stesso modulo e verso opposto, applicate ad un

coppia

corpo rigido. Se più coppie agiscono su un corpo rigido, parliamo di sistema di coppie. È ovvio che, per

come è definita, una coppia non ammette risultante. L’effetto di una coppia su un corpo rigido consiste

pertanto in una rotazione , misurata dal che possiede le seguenti caratteristiche:

momento della coppia,

È uguale al momento di una delle forze rispetto a qualunque punto sulla retta d’azione dell’altra, e

1 .

1 . pertanto può calcolarsi sempre come K = |F| con distanza tra le due rette d’azione.

d, d

La somma algebrica dei momenti prodotti da ciascuna delle forze rispetto ad un punto qualunque

2 .

2 . del piano d’azione della coppia è costante ed è uguale al momento della coppia. Il momento di una

coppia non è pertanto legato alla scelta del polo.

Dal teorema di equivalenza delle coppie, si hanno infine le seguenti proprietà:

L’effetto di una coppia su un corpo rigido non varia se si trasla comunque la coppia nel piano.

1 .

1 . L’effetto di una coppia su di un corpo rigido non varia se si cambiano i moduli delle forze o la

2 .

2 . lunghezza del braccio, purché il momento resti invariato; una coppia in un dato piano, infatti, è

pienamente individuata dal suo momento.

L’azione di una coppia su un corpo rigido non varia se si trasporta la coppia dal suo piano d’azione

3 .

3 . ad un altro ad esso parallelo.

Per una forza F che agisce su un corpo rigido si può comunque traslare