Idraulica: Statica dei fluidi

Introduzione alle proprietà dei fluidi

La materia viene concepita come mezzo isotropico e tutte le proprietà che vedremo saranno da intendersi continue.

Sforzi normali e tangenziali nei fluidi

I due sforzi possibili generati da una forza agente su un elemento d'area sono: \[\sigma = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F}{\Delta A}\]

I fluidi non resistono a sforzi di trazione, ma solo a quelli di compressione detti di pressione (\(p\)), e vengono assunti positivi.

Viscosità e fluidi newtoniani

Considerando il moto di un fluido fra due pareti, di cui una fissa e l'altra in movimento, per mantenere il movimento con velocità \(v\) è necessaria una forza tale che:

\[F = \mu \cdot A \cdot \left(\frac{\Delta v}{\Delta y}\right)\]

dove \(\mu\) è detto coefficiente di viscosità dinamica. Ne risulta quindi uno sforzo tangenziale pari a:

\[\tau = \mu \cdot \left(\frac{\Delta v}{\Delta y}\right)\]

Quando il coefficiente di viscosità risulta costante si parla di fluidi newtoniani, quelli che non ne fanno parte vengono detti fluidi non newtoniani. Considerando una parte di fluido compresa fra due piani, con i punti del piano superiore che sopravanzano quelli inferiori, si può osservare attraverso il loro spostamento infinitesimo la relazione che intercorre fra la variazione di velocità e la variazione dell'angolo:

\[\frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\Delta v}{\Delta y}\]

Infine, andando a graficare il comportamento di un fluido newtoniano, otterremo un comportamento del coefficiente di viscosità pressoché lineare in funzione della variazione di velocità. Osserviamo inoltre che gli sforzi tangenziali si annullano in due circostanze: o quando il coefficiente di viscosità è nullo, o quando il fluido è in quiete e non ci sono quindi variazioni della velocità, i fluidi che non subiscono sforzi tangenziali vengono definiti fluidi perfetti.

Principio di Pascal

Considerando un elemento prismatico a sezione triangolare, isolato dal restante campo fluido, vogliamo andare a scriverne l'equilibrio alla traslazione, tralasciando i contributi dati dai termini infinitesimi di ordine superiore:

\[\sigma_x - p \cos(\theta) = 0\]

\[\sigma_y - p = 0\]

Data l'arbitrarietà della scelta fatta, possiamo affermare analogamente: \(\sigma_x = \sigma_y = p\).

Discorsi analoghi si possono fare per un solido nello spazio, quindi in definitiva il principio di Pascal afferma che in un fluido perfetto lo sforzo è invariante punto per punto.

Comprimibilità

La modesta variazione di volume di un liquido è data dalla comprimibilità. La legge di Hooke afferma che:

\[\Delta V = -\kappa \cdot V \cdot \Delta p\]

La relazione si può esprimere anche in funzione della densità derivando la relazione \(\rho = \frac{m}{V}\) e ottenendo:

\[\Delta \rho = -\rho \cdot \kappa \cdot \Delta p\]

Derivando invece la relazione adiabatica \(p \cdot V^\gamma = \text{costante}\), si ottiene una relazione per il modulo elastico:

\[-\gamma \cdot \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta p}{p} = 0\]

Tensione di vapore

Un vapore si dice in equilibrio con il liquido quando le particelle che passano dalla fase liquida a quella gassosa sono pari a quelle che compiono il percorso inverso, equilibrio raggiunto per un valore di pressione detto tensione di vapore. Se si riducesse la pressione ambiente a un valore prossimo a quello della tensione di vapore si avrebbe ebollizione a temperatura ambiente con processi che comportano la formazione di bolle d'aria, fenomeno chiamato cavitazione.

Tensione superficiale

Sulla superficie di separazione fra fluidi non miscelabili agiscono delle forze di natura molecolare che generano uno stato di tensione tangente alla superficie stessa, che viene appunto detta tensione superficiale. Quando la superficie di separazione non è completamente piana, ma presenta una curvatura, la tensione superficiale fornisce anche una componente normale che non può essere trascurata nelle applicazioni idrauliche. Prendiamo un elemento di superficie a doppia curvatura con raggi rispettivamente \(R_1, R_2\) sui cui lati agiranno le forze \(F_1\) e \(F_2\) che saranno equivalenti a una forza normale diretta verso la superficie.

\[\Delta P = \sigma \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)\]

Da cui si ricava una variazione dello sforzo normale di pressione data dalla legge di Laplace.