Statica dei fluidi

STATICA DEI FLUIDI

studio dei fluidi in quiete

APPROCCIO DEL CONTINUO: Il fluido è considerato come un mezzo continuo, non vengono considerati gli spazi vuoti tra gli atomi che lo compongono, vengono ignorate le discontinuità della materia. Le proprietà del fluido sono funzioni del generico punto e variano con continuità nello spazio.

Approssimazione valida nel dominio estenso che risulta rispetto allo spazio intermolecolare.

Considero l'equilibrio del gascio su dA (l'elemento prismastro intorno delle superfici).

Definisco il concetto di SFORZO:

dT dA cioé F L z cioé N m 2

FORZE DI VOLUME: sono associate al volume, cioè alla massa. Es. peso

FORZE DI SUPERFICIE: sono proporzionali alla superficie del sistema. Es. sforzo (pressione).

Φ_n è in generale orientato rispetto a dA e dipende dalla giaciatura di dA. Il pedice n indica il versore normale entrante alla superficie dA.

CONDIZIONE DI EQUILIBRIO

ΣF_v + ΣF_s = 0 cioè in questo caso: Φ_n + ∑ F_x senα + Φ_y senα = 0

m = α + π 2 , n x = - cos ( x )

Φ n = Φ ( x ) cosm^x + Φ_y cosm^y

TENSORE DEGLI SFORZI

| Tensore = Φ_xx Φ_xy Φ_xz Φ_yx Φ_yy Φ_yz Φ_zx Φ_zy Φ_zz ha 9 componenti

matrice simmetrica

t x y , t z t y dove x sono gli sforzi di taglio e z sono gli sforzi normali.

(un fluido non sopporta trazioni) se ho solo sforzi normali lo sforzo si definisce ISOTROPO

σ_x = σ_y = σ_z = P in statico Φ_n = P. n

P è la PRESSIONE

[P₀ (ATM) (tor) (bar)] N^m2

Proprietà dei Fluidi

Densità

ρ è la misura della massa contenuta nell'unità di volume

m = massa

V = volume

[kg/m³]

ρ = m/V

La densità è in generale funzione della temperatura e della pressione

ρ × P

[Gas Solidi Liquidi Incomprimibili per b.p pressione]

Peso Specifico

γ è il peso dell'unità di volume di una sostanza

γ = P/W = mg/W = ρ × g

[N/m³]

La densità dei liquidi è praticamente costante → Fluidi Incomprimibili

Comprimibilità

Si può definire un coefficiente di comprimibilità ε

dV/V = -dP/ε

ε = [Pa^-1] = [N/m²]

dP/ρ = dP/ε → ε = -dP/dV × V

Viscosità

La proprietà di un fluido rappresentativa della resistenza interna al moto

Forza di trascinamento agente nella direzione del moto

F α V₀/d

F α dV/dY

F/A = μ × dV/dy

μ è la viscosità del fluido [Pa⋅s]

Fluido Pesante

F = - gk = - g ∇z

∇P = - ρg ∇z

γ = peso specifico = ρg

∇P + ∇γz = 0

Fluido Incomprimibile

∇P + ∇γz = 0

∇(z + P/γ) = 0

Fluido in quiete pesante e incomprimibile

Legge di Stevin

z + P/γ = Costante

Quota Geodetica

Quota Piezometrica

Altezza Piezometrico

Eq. Inderenita dei fluidi pesanti incomprimibili

Distribuzione di pressione in recipiente aperto

• le superfici isobare sono orizzontali
• P = cost z = cost

Spinte Idrostatiche

• forze esercitate da un fluido sulle superfici che lo contengono
• Interazione fluido-contenitore
• solo sforzi normali, perché fluido non ammette sforzi tangenziali.
• Il modulo del sforzo è indipendente dalla direzione verso il potere.

retta di sponda e la retta di intersezione tra il PCI e la parete su cui si vuole calcolare la spinta

dS = _{P.n dA} = δ_{hd A}.n

S = _{∫ δ h dAA} con h = profondità di dA rispetto al PCI

Superficie Orizzontale

Distribuzione uniforme

S = P_a. A

S = [_{δ h AA}]

⊥ alla superficie punto di applicazione nel baricentro

Superficie Verticale

Distribuzione triangolare

S = P_G. A

S = _{h. A2}

c. ⊥ alla superficie punto di applicazione non nel baricentro ma nel centro di spinta

|S|. M = ∫_{P dA} = ∫_{S hd A} = ∫_{∫axy dA}

η_x = ∫_{∫y xaxy dA}

γ = I_xy

Superficie su Piano Inclinato

Piano dei carichi idrostatici

(A) Baricentro

S = |S|.h

Centro di Spinta

• non dipendente da α
• è sempre più distante dal baricentro rispetto alla retta di spinta

1. Modulo della Spinta

|S| = ∫_p.dAA = ∫_{∫δ h dAA} = ∫_{∫ξηω∆AA}

= λ ∫_{∫x≡δ υxdy}

= γ_∊ h G. A = PG. A = |S|

1. Centro di Spinta

bisogna definire le coordinate E, η

calcolo [equilibrio dei momenti rispetto ad asse x e asse y

|S|E = ∫_xdAA = ∫_δxιxdAA = ∫_ιชωψxdA

E = ∫_{∫ξηω∆AA} ∫_∫xдиxdA

Galleggiamento e Stabilità

Un liquido esercita su un corpo immerso una spinta diretta verso l'alto.

La spinta di galleggiamento è uguale al peso del volume del liquido spostato.

Principio di Archimede

“Un corpo immerso in un fluido riceve una forza verticale diretta verso l'alto di modulo pari al peso del volume di fluido spostato, applicata per il baricentro di tale volume.”

Corpo Galleggiante

Per l'equilibrio:

• P + δx = 0
• P = -γ_s·V_s·k

Risolve come volume di controllo

G + Π = 0

G + Π_I + Π_O = 0

G = -γU^*·k

Π_I = P_AU_A(1) = 0

S = Π_O - G

S = δU^*·ε

1. ρ_c < ρ
2. Corpo Galleggiante
3. Corpo Soffice
4. ρ_c = ρ
5. Corpo Affondato
6. ρ_c > ρ