Statica - 5. Geometria delle aree e TLV

GEOMETRIA DELLE AREE

Abbiamo già accennato all'utilizzo della geometria delle aree per caratterizzare e proprietà geometriche delle sezioni in particolare di riferimento alle sezioni trasversali delle travi strutturali...

La caratterizzazione geometrica delle sezioni servirà a valutare cosa succede a ciascun punto delle sezioni quando questa sarà sollecita dalle CdS.

CARATTERISTICHE GEOMETRICHE

AREA

Assegnata una figura piana A si definisce area la seguente grandezza...

A = ∫ dA

l'integrale è la sommatoria di tante piccole areole

MOMENTI DEL PRIMO ORDINE

Rispetto la reciproca A e un fissato sistema coordinate ortogonale Oxy si definiscono...

MOMENTI DEL PRIMO ORDINE O MOMENTI STATICI

La sommatoria di momenti delle areole elementari dA rispetto agli assi coordinati

S_x = ∫(y) dA

S_y = ∫(x) dA

BARICENTRO

Si definisce BARICENTRO o CENTRO DI FIGURA delle reciproca piana A il punto...

GEOMETRIA DELLE AREE

Abbiamo già accennato all'utilizzo della geometria delle aree per caratterizzare le proprietà geometriche delle sezioni, in particolare ci riferiamo alle sezioni trasversali delle travi strutturali.

La caratterizzazione geometrica delle sezioni servirà a valutare cosa succede a ciascun punto delle sezioni quando questa sarà sollecitata dalle CDS.

CARATTERISTICHE GEOMETRICHE

AREA

Assegnata una figura piana A si definisce area la seguente grandezza scalare positiva e avente le dimensioni di una lunghezza al quadrato [L²].

A = ∫ dA l'integrale è la somma di tante piccole areole

MOMENTI DEL PRIMO ORDINE

Rispetto a ciascuno degli assi di un fissato sistema cartesiano ortogonale Oxy si definiscono momenti del primo ordine o momenti statici la somma dei momenti delle areole elementari dA rispetto agli assi coordinati.

S_x = ∫ y dAS_y = ∫ x dA

I momenti statici sono dimensionalmente delle lunghezze al cubo [S_x] = [L]³[S_y] = [L]³ e possono assumere valori positivi, negativi o nulli (dipende da come si esegue la sezione rispetto al sistema di riferimento).

BARICENTRO

Si definisce BARICENTRO o CENTRO DI FIGURA delle rispettive piane A il punto G(X_G, Y_G) di coordinate.

S_x = A·k_G

S_y = A·y_G

Significato fisico del baricentro

Se si considera una figura qualsiasi piana di area A e spessore costante soggetta al proprio peso, il baricentro G coincide con il punto di applicazione della risultante della forza peso.

PROPRIETÀ GEOMETRICHE E SEZIONI

Trasliano il sistema di riferimento portando ad coincidere con G. Questo valore è un momento statico dell'area piana rispetto ai nuovi assi Z Zero.

1. Il momento statico rispetto ad una qualunque retta baricentrica è nullo in quanto coincidente attraverso essa.
2. Se una figura piana ha uno o due assi di simmetria, il momento statico rispetto ad esso o ad essi è nulla quantunque qualsiasi retta generatrice equipotente di una popolare nei campi del momento statico. Ciò implica che baricentro oppure uno dei simmetria o coincide con esso, se invece è simmetrica la loro traslazione illimitata invalidamento il baricentro.

Dalla proprietà di additività degli integrali segue che è possibile suddividere l'area A in più semplici area A_k con la i = xi+k_i e calcolare i momenti statici con riferimento alle singole aree come dal esempi S_x = Σ s_ki

Dove si sezione. Dove bisogna compiutare l'area del foro il relativo momento statico così la segue negativa

• a)

  Perse la sezione è composta da sottospecie

  Ne estendo la suddivisione

  Δ = i +_i A

  S_x = i_i S_ki

  S_y = Ss_yi

conviene sempre farsi una tabella

A_i x_Gi y_Gi S_xi S_yi

1 3b² 3/2 b 2b

2 3b² b/2 2b

3 b² b 4b

tot 7b² 10/3 b b

2) Stabiliamo gli assi.

3) Trova il baricentro

Oss: Σ S_xi

S_xi = A_iy_Gi

y_G = 19/2 b² / 7b² = 19/14 b

OSSERVAZIONE: Non è necessario calcolare effettivamente le coordinate del baricentro, perché una delle due è già nota: perché la figura ha un asse di simmetria

MOMENTI DEL SECONDO ORDINE

Assicurato la figura piana A ridotta al sistema cartesiano ortogonale Oxy, si definisce momenti del secondo ordine - momenti di inerzia la somma dei prodotti delle aree elementari dA per le distanze al quadrato rispetto agli assi coordinati.

I_x = ∫_A y