Statica - 5. Geometria delle aree e TLV

Geometria delle aree

Abbiamo già accennato all’utilizzo della geometria delle aree per caratterizzare le proprietà geometriche delle sezioni di sollecitazione di rinforzo alle sollecitazioni delle travi strutturali.

La caratterizzazione geometrica delle sezioni servirà a valutare cosa succede a ciascun punto della sezione quando questa sarà sollecitata dalle CdS.

Caratteristiche geometriche

Area

Assegnata una figura piana A, si attribuisce area la seguente grandezza

esclusivamente positiva e avente le dimensioni di una lunghezza al quadrato [L²].

A = ∫ dA

L'integrale è la somma di tante piccole areole

Momenti del primo ordine

Riferita la regione A a un fissato sistema cartesiano ortogonale Oxy si definiscono

Momenti del primo ordine o momenti statici

La sommatoria dei momenti delle areole elementari dA rispetto agli assi coordinati

S_x = ∫(y) dA

S_y = ∫(x) dA

Il momento statico ha dimensionalità della lunghezza al cubo [S_x] = [L³] [S_y] = [L³] e possono assumere valori positivi o negativi che dipendono da come è il peso delle areole rispetto ai segni dei riferimenti.

Baricentro

Si definisce baricentro o centro di figura della regione piana A il punto

G(x_G, y_G) di coordinate

X_G = ^{∫ x dA}/_{∫ dA}

x_G = ^S_y / _A → S_y = A x_G

(come se tutta l’area fosse concentrata in G)

Y_G = ^{∫ y dA}/_{∫ dA}

y_G = ^S_x / _A → S_x = A y_G

Significato fisico del baricentro

Se si considera una lastra omogenea, piana di area A e spesso e costante, soggetta al proprio peso, il baricentro G coincide con il punto di applicazione della risultante delle forze peso.

PROPRIETÀ GEOMETRICHE DEI SEZIONI

Trasliamo il sistema di riferimento portando O a coincidere con G.

Quanto vale il momento statico dell’area piana rispetto ai nuovi assi? Zero.

1. Il momento statico rispetto a una retta baricentrica è nullo in quanto l’intera distribuzione delle aree è equidistante da R rispetto a una qualunque retta passante per G.
2. Se si può figura piana ha due assi di simmetria, il momento statico rispetto a una qualsiasi retta contenuta nel loro piano è nullo, equivalente ad averla rispetto ad uno qualunque degli assi di simmetria. Ciò implica che il baricentro appartiene all’asse di simmetria. Questo vale anche più assi di simmetria che hanno l’asse risultante. In questo caso, la distribuzione è unica.
3. Dalle proprietà di additività degli integrali sappiamo che è possibile suddividere l’area A in più semplice parti, A tav e A_F: l’area dei fori e relativi momenti statici con riferimento alla prima rispetto delle due bancanti, aziende di fondazione.

APPLICAZIONE

1. Preso la sezione coperta da sotto rettangoli.
2. Ne scelgo la suddivisione.

A_T = ∑ A_i + A_f

S_x = ∑ S_xi - ∑ S_xf

I_x' = ∫_A' y_'² dA = ∫_A (y_c + dy)² dA = I_y + ∫_A (y_c² + dy² + 2y_cdy) dA = I_y + ∫_A y_c² dA + ∫_A dy² dA + ∫_A 2y_cdy dA

I_y' = ∫_A' x_'² dA = ∫_A (x_c + dx)² dA = ∫_A (x_c² + dx² + 2x_cdx) dA = ∫_A x_c² dA + ∫_A dx² dA + ∫_A 2x_cdx dA

I_xc = ∫_A x_c dA

I_yc = ∫_A y_c dA

S_x = 0

I_x'y' = ∫_A' x_'y_' dA = ∫_A (x_c + dx)(y_c + dy) dA = ∫_A (x_cy_c + y_cdx + x_cdy + dxdy) dA = ∫_A x_cy_c dA + ∫_A y_c dx dA + ∫_A x_c dy dA + ∫_A dxdy dA

I_xy + S_y

I_x' = I_x + dy²A

I_y' = I_y + dx²A

I_x'y' = I_xy + dxdy¹A

FORMULE DI TRASPORTO TEORIA DI HUYGHENS

Se confronto il momento d'inerzia rispetto ad un asse vincolato e quello rispetto ad un asse baricentrico posso "trasportare" il momento d'inerzia sull'asse baricentrico ad esso parallelo.

Se analizzassimo le prime due relazioni vedremo che le stesse addendici + dy²A, dA²A) sono delle quantità sempre positive senza non gli oggetti di studiare utilizzo perpendicolari e non sono delle muggiesi e fasi.

Si deduce che i momenti di inerzia baricentrici sono i momenti di inerzia minimi rispetto a un fascio delle parallele.

I_x ≥ I_x', I_y ≥ I_y'

Il segno positivo al secondo membro definisce il massimo.

asse principale al variare di I nell'ipotesi che assumi

_Ix

= _Iy

simmetria.

PROPRIETÀ ESTERNALI Di MOMENTI PRINCIPALI DI INerzia

I momenti principali di inerzia risultano essere dunque, rispettivamente, i valori massimi e minimi dei momenti di inerzia I risultanti rispetto a una qualunque.

contrasfetto In

_In ≤ _It ≤ _Ie

Dim.

I_e = sin2θ _Iy + cos2θ I_x - 2_xycosθ I_xy

per determinare il massimo e il min.

_dI^p = 0

dθ

I_yx2sinccosθ + I_x 2 (cosθ - senθ)

I_xy (cos2θ - sen2θ) = 0

(I_y - I_x) senθcosθ = I_xy (cos2θ - sen2θ) = 0

2 (I_y - I_x) sen2θ - I_xy2^se senl

tg2θ = 2Ixy

(I_y - I_x)

• Se la _aryg I_xy

_n-k > 0

1

polinomio

ottativo lo fitez

valore

• qualunque asse

Se persegue doppi assi importanti per cui parmusse se se fare la verifica della asse fissicolari della sezine in senso sensaturocipro I_mp. In questo caso ke asse vera q.p. assi, tale detta retti/perpendicoda si denominatore di ampsermasino numeratore, de se cccetezza per se dmarsante il assi. Utore de sez/arasse urisso.

PROV: DE MOMENT PRINCIPALI D'INERSIA

• I momenti principali di inerzia sono i massimi e minimi momenti di inerzia rispetto a qualunque asse marcaccino.
• Se una figura piana ha un asse di simmetria dove giace il baricentro G, questo è un asse principale d'inerzia della sezione, l'altro asse sarà baricentro e assioparuali al piano.
• Se una figura ha due assi di simmetria, questi coincidono con gli assi principali di inerzia della sezione.
• Nel caso di sezioni circolari quadrati piane e cave i momenti principali di inerzia rispetto a qualunque asse baricentrico avranno uguali f = I_mp qualunque asse baricattico risulterà principale di inerzia.

Determinazione dei momenti di inerzia baricentrici

• Leggi del trasporto di Huygens
• I_{x0 = Ix + A yg²}
• I_{y0 = Iy + A xg²}
• I_{x0y0 = Ixy + A xgyg}