Geometria delle aree, Statica

Geometria delle aree

Data una superficie qualsiasi di una figura: dA = dx dy

Area A = ∫_A dA = ∫_A dx dy = ∬ dx dy

Momento statico

Momento statico rispetto all'asse h: S_n = ∫_A r dA

Momento statico rispetto all'asse x: S_x = ∫_A y dA

S_x = ∬ y dx dy

S_x = ∫₀^h y b dy = b∫₀^h y dy = b ^l₂⁄₂ = b l ^l ⁄₂

Baricentro o centro di gravità

Ricordare → X_G = ∫ x dA ⁄ ∫ dA

Y_G = ∫ y dA ⁄ ∫ dA

G(X_G; Y_G) → Baricentro o centro di gravità

Geometria delle aree

Data una generica porzione di una figura: dA = dx dy

Area A = ∫_A dA = ∫_A dx dy = ∫∫ dx dy

Momento statico rispetto all'asse

Momento statico rispetto all'asse n: S_n = ∫_A r dA

Momento statico rispetto all'asse x: S_x = ∫_A y dA

S_x = ∫∫ y dx dy oppure S_x = ∫₀^h y b dy = b ∫₀^h y dy = b [ ^l2/₂ ] = b l²/2

S_x = A y_g

Ricordare → X_G = ∫_A x dA / ∫_A dA

y_g = ∫_A y dA / ∫_A dA

G(X_G; y_g) → Baricentro o centro di gravità

f = peso specifico per unità di superficie A

Asse di simmetria

Un asse è di simmetria per un sistema piano se preso asse y al riferimento, ad ogni area da x₀ distante x da x'^' corrisponde area da distanze (-y) da x^'.

Sistema di riferimento baricentrico

(un unione di G) ➔ esistono infiniti sistemi di riferimento baricentrici

Momenti di inerzia

I_n = ∫_A r² dA [L⁴] ➔ > 0 sempre

I_x = ∫_A y² dA   I_y = ∫_A x² dA

Momento di inerzia misto o centrifugo

I_xy = ∫ xy dA [L⁴] ≷ 0   se I_xy = 0 allora sistema è baricentrico principale di inerzia

N.B. Asse di simmetria e asse baricentrico → asse principale di inerzia

Se I_xy ≠ 0 ➔ devo trovare α

Teorema di Huygens

(del Trasporto e Trasformazione) Due sistemi di riferimento traslano uno rispetto all'altro

X/x; Y/y; I_x = ∫_A y² dA = ∫_A (y_gi + y₁)² dA = ∫_A (y_gi² + y₁² + 2 y y_gi) dA == I_xx + y_gi² A + 2 y_gi ∑x_i A ⇒ ∑x_i = 0 perché sistemi di riferimento e baricentro

I_x = I_xi + y_gi² A > 0 sempre

I_y = ∫_A x² dA = ∫_A (x₁ + x_gi)² dA = ∫_A (x_i² + x_gi² + 2 x_i x_gi) dA == I_yi + x_Gi² A + 2 x_e ∑y A = I_yi + x_gi² A

I_y = I_yi + x_gi² A > 0 sempre

equilibrato di momento per avere 2 sistemi equivalente: trasporto

I_xy = ∫_A xy dA = I_xi y_i + x_Gi y_gi A

Sistema di riferimento principale d'inerzia

vettore posizione areof. da rispetto a R (G, x'; y') definito trv xeg passivo il reuso antiario x' → x

nx = cosα senα

ny = cos(α+π/2) sen(α+π/2) = -senα cosα

Matrice ortogonale

x = x' cosα + y' senα

y = -x' senα + y' cosα

Calcolo del momento d'inerzia

in R (G, x, y)

I_x = ∫_A y²dA = ∫_A (–x' senα + y' cosα)² dA == ∫_A [x'² sen²α + y'² cos²α - 2x'y' senα cosα] dA == I_y' sen²α + I_x' cos²α - I_x'y' 2 senα cosα

I_y = ∫_A x²dA = ∫_A(x²cos²α+y²sin²α)²dA == ∫_A[x²cos²α+y²sin²α+2xy sinαcosα]dA == I_ycos²α+I_xsin²α+2I_xysinαcosα

I_xy = (I_y'-I_x')sinαcosα+I_xy'(sin²α-cos²α)

α = compreso fra assi x e y positivi in verso A.O.

I_xy(α) = 0

I_xy = (I'_y-I'_x)sinαcosα+I_xy'(sin²α-cos²α)

Formule di duplicazione

• sin (α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
• cos (α+β) = cosαcosβ - sin(α)sinβ

Rango α=θ: sin 2θ= 2 sinθcosθ → sin²θ= 1/2 (1-cos2θ)

cos 2θ= cos²θ-sin²θ → cos²θ= 1/2 (1+cos2θ)

I_xy= (I'_y-I'_x')/2 sin 2α - I'_xycos 2α

I_y-I_x' / 2 sin 2α= I_xy'cos 2α

tg 2α= 2 I_xy' / I_y-I_x'

α=1/2 arctg (2 I_xy / I_y-I_x')