Stabilità ed instabilità dell'equilibrio

Stabilità e instabilità dell'equilibrio

Consideriamo i seguenti sistemi.

Figura 1.a Equilibrio stabile. Figura 1.b Equilibrio indifferente. Figura 1.c Equilibrio instabile.

Tutti e tre i sistemi si trovano in equilibrio, infatti per tutti è soddisfatta la condizione:

R - P = 0

Essendo P il peso della pallina ed R la reazione del suolo sulla stessa.

Si supponga che a seguito di una perturbazione i tre sistemi subiscano un cambiamento di configurazione (palline rosse).

Figura 2.a Equilibrio stabile. Figura 2.b Equilibrio indifferente. Figura 2.c Equilibrio instabile.

Come è facile intuire, delle tre nuove configurazioni indicate in figura 2, l’unica ad essere ancora in equilibrio è quella del sistema indicato in figura 2.b. Cessata la perturbazione, i tre sistemi si comportano in maniera differente e precisamente:

• Il sistema indicato nella figura 2.a tende a ritornare nella configurazione iniziale.
• Il sistema di figura 2.c tende ad allontanarsi dalla configurazione iniziale.
• Il sistema di figura 2.b rimane nella configurazione perturbata senza avvicinarsi né allontanarsi dalla configurazione iniziale.

Definizione di equilibrio

Diremo allora che l’equilibrio è:

• Stabile se, cessata la perturbazione, il sistema ripristina la sua condizione iniziale di equilibrio (Figura 2.a).
• Indifferente se, cessata la perturbazione, il sistema rimane nella nuova configurazione senza allontanarsi né avvicinarsi alla configurazione iniziale (Figura 2.b).
• Instabile se, cessata la perturbazione, il sistema tende ad allontanarsi dalla configurazione di equilibrio iniziale (Figura 2.c).

Energia potenziale e stabilità

Ognuno dei seguenti corpi indicati in figura 3 è in equilibrio.

Figura 3. Energia potenziale.

Fissato un sistema di riferimento, i 3 elementi avranno altezze differenti rispetto ad esso: h₁ > h₂ > h₃.

Poiché la quota ne definisce l'energia potenziale, ne segue che i tre sistemi avranno diversa energia potenziale: Π₁ > Π₂ > Π₃.

Più in generale, la linea che delimita il suolo rappresenta la funzione di energia potenziale. Come si può notare in tutte le tre condizioni di equilibrio, la tangente è orizzontale ovvero la derivata dell’energia potenziale è nulla. Questa è condizione di equilibrio.

Per stabilire invece il carattere dell’equilibrio (stabile, instabile o indifferente) è necessario vedere se la funzione di energia potenziale assume un minimo relativo, un massimo relativo oppure è nulla nella configurazione in esame.

Diremo che un sistema è in equilibrio stabile (almeno localmente) quando l’energia potenziale ha un minimo relativo (derivata seconda dell’energia potenziale positiva, Π'' > 0), diremo che è in equilibrio instabile quando l’energia potenziale ha un massimo relativo.