Stabilità ed instabilità dell'equilibrio

P

Figura 6.

4

anche questa è una possibile configurazione di equilibrio del sistema. Quindi dalla prima soluzione

derivano due configurazioni di equilibrio.

La seconda soluzione è di equilibrio condizionato perché è valida solo per il valore di carico che

ϑ

soddisfa l’equazione (12), Quindi per ogni valore dell’angolo esiste un valore del carico P, quello

dato dall’equazione (12), per cui tale configurazione è di equilibrio.

Per indagare sul carattere dell’equilibrio delle diverse configurazioni bisogna studiare il segno della

derivata seconda dell’energia potenziale, che è data da:

∂ Π

2 ( )

θ ϑ ϑ

= ⋅ − ⋅ − 2 2 (13)

L kL cos( ) P cos( ) kL sin ( )

ϑ

∂ 2 θ θ π

= =

Vediamo quanto vale nelle due condizioni di equilibrio e .

0

θ =

Per :

0 Π =

( 0

) 0 (14)

∂

Π =

( 0

) 0 (15)

ϑ

∂

∂ Π

2 ( )

= ⋅ − (16)

( 0

) L kL P

ϑ

∂ 2

Si ha quindi: ∂ Π

2 <

> per equilibrio stabile

P kL

( 0

) 0

ϑ

∂ 2

∂ Π

2 =

= per equilibrio indifferente

P kL

( 0 ) 0

ϑ

∂ 2

∂ Π

2 >

< per equilibrio instabile

P kL

( 0

) 0

ϑ

∂ 2

Per rappresentare la funzione dell’energia potenziale nell’intorno dello zero eseguiamo uno

sviluppo in serie della stessa: 1 1

ϑ ϑ ϑ ϑ

Π = Π + Π + Π = ⋅ − ⋅

' ' ' 2 2

( ) ( 0

) ( 0

) ( 0

) L ( kL P ) (17)

2 2

5

Diremo allora che la configurazione di equilibrio è stabile per P<kL, indifferente per P=kL e

instabile per P>kL.

θ=π

Procediamo analogamente al caso precedente.

Π(π)=-2PL

∂

Π π =

( ) 0

θ

∂

∂ Π

2 π = +

( ) L ( kL P )

θ

∂ 2 1 1

θ π π θ π θ θ

Π = Π + Π + Π = − + + +

' ' ' 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 2 PL 0 L ( kL P )

2 2

6

Per P positivo la configurazione θ=π è stabile qualunque sia P.

Vediamo che succede nella configurazione intermedia.

In questo caso θ può assumere qualunque valore e deve valere la relazione

θ

=

P kL cos

Derivando rispetto a θ:

∂ Π

2 θ

= − 2 2

kL sen

θ

∂ 2

Questa derivata risulta essere <0 per ogni θ≠0,π quindi tutte le configurazioni post critiche sono

instabili. 7

8

Consideriamo un altro sistema, rappresentato sempre dall’asta verticale soggetta ad un carico P

applicato in testa. Stavolta però, anziché avere una molla traslazionale in testa c’è una molla

rotazionale alla base. E come fatto nel caso precedente perturbiamo la condizione di equilibrio

ruotando l’asta. v P

P u

L

L ϑ k R

Figura 1

La cinematica è sempre la stessa ϑ

=

v L sin( ) (5)

( )

ϑ

= ⋅ −

u L 1 cos( ) (6)

Il potenziale dei carichi V resta invariato rispetto al caso precedente.

ϑ (8)

( )

=

− ⋅ =

− ⋅ −

V P u PL 1 cos( )

Cambia invece l’energia di deformazione U che è data da:

1 ϑ

= 2

U k R

2

L’energia potenziale totale vale quindi: 1 ( )

ϑ ϑ (9)

Π

= + = − ⋅ −

2

U V k PL 1 cos( )

R

2

Determiniamo le configurazioni di equilibrio annullando la derivata dell’energia potenziale totale:

∂

Π θ θ

= −

k PLsen

θ r

∂ 9

θ = 0

∂

Π = ⇒

0

θ

∂ θ

k

= r

P θ

Lsen

θ

k

θ=0 e sono configurazioni di equilibrio per il sistema.

= r

P θ

Lsen

Vediamo di che tipo è la stabilità determinata da queste due configurazioni. Per farlo provvediamo a

studiare il segno della derivata seconda. Distinguiamo i due casi:

θ=0

∂ Π

2 θ

= −

k PL cos

r

θ

∂ 2

∂ Π

2 = −

( 0

) k PL

r

θ

∂ 2

∂ Π

2 k

> ⇔ − > ⇒ < r

0 k PL 0 P Per questi valori di P l’equilibrio è stabile

r

θ

∂ 2 L

∂ Π

2 k Per questi valori di P l’equilibrio è instabile

< ⇔ − < ⇒ > r

0 k PL 0 P

r

θ

∂ 2 L

∂ Π

2 k Per questi valori di P l’equilibrio è indifferente

= ⇔ − = ⇒ = r

0 k PL 0 P

r

θ

∂ 2 L 10

Graficamente:

Studiamo l’equilibrio condizionato.

θ θ

∂ Π

2 k L θ

= − = −

r

k cos k (

1 )

θ θ

r r

θ

∂ 2 Lsen tg

Studiamo questa derivata nell’intervallo ]-π/2,π/2].

11

Notiamo che il rapporto θ/tgθ<1

∂ Π

2 θ

⇒ > ∀

0

θ

∂ 2

Perciò le configurazioni post critiche sono sempre stabili.

Concludendo possiamo allora distinguere il comportamento dei materiali in comportamento post

critico stabile e comportamento post critico instabile.

Indagine indiretta sulla qualità dell’equilibrio post critico

Torniamo al primo esempio. Abbiamo visto che l’equilibrio condizionato imponeva che fosse:

θ

=

P kL cos

Graficamente assistiamo ad una biforcazione dell’equilibrio nel momento in cui P raggiunge il

valore di carico critico che è proprio:

= =

P P kL

crit max

Tutti i rami che si biforcano da questo valore sono però configurazioni instabili di equilibrio.

Casi analoghi si verificano tutte le volte che le configurazioni di equilibrio si biforcano sotto carico

decrescente. In questi casi il comportamento dei materiale è post critico instabile.

12