Stabilità ed instabilità dell'equilibrio - 2

Lezione IV

Analisi dell'energia potenziale

Torniamo al caso studiato precedentemente: supponiamo che l'energia potenziale sia:

θ θΠ = − − + 2 2 (1)( 0) PL (1 cos ) kL sen²

Calcolo della variazione totale di energia

Vogliamo calcolare la variazione totale di energia:

δ δ δΠ = Π + Π + T (1) ( 2 ) ..... ∂Π (2)

δ δ δθΠ = Π = (1) θ∂∂ Π²¹

δ δθΠ = ( 2 ) 2( )θ∂^22!

Studio delle configurazioni di equilibrio

Dallo studio della variazione prima, così come quando studiavamo la derivata seconda, troviamo le configurazioni di equilibrio del sistema:

δ θ θ θ δθΠ = − + =(1) 2[ PL sen kL sen cos ] 0

δ θ θδθΠ = − + =(1) [ P kL cos ] Lsen 0

Affinché sia uguale a zero deve essere: θ θ− + =[ P kL cos ] Lsen 0

Condizioni di equilibrio

• senθ=0 => θ=nπ => θ 0 θ =π1= 2
• Da questa troviamo due configurazioni di equilibrio:
• P=kLcosθ

Soluzione condizionata (c’è equilibrio solo se il carico assume questo valore)

Tipo di equilibrio

Dallo studio della variazione seconda troviamo invece il tipo di equilibrio del sistema:

{ }1 [ ]δ θ θ θ δθΠ = − −( 2 ) 2 2 2kL cos P L cos kL sen ( )2!

Analisi della stabilità

• Abbiamo stabilità se la variazione seconda è >0
• Abbiamo instabilità se la variazione seconda è <0
• Abbiamo incertezza se la variazione seconda è =0

Vediamo a quale di queste categorie appartiene la nostra variazione seconda, studiamone perciò il segno:

{ }1 [ ]δ θ θ θ δθΠ = − −( 2 ) 2 2 2kL cos P L cos kL sen ( )2!

Stabilità per n pari

Avremo che: - per n pari, θ=0

δ δθΠ = − > ∀ <( 2 ) 2 2( kL PL )( ) 0 P kL²

E quindi la soluzione θ=0 è stabile per questi valori di P.

Stabilità per n dispari

Vediamo che succede per n dispari (θ=π) cioè quando la configurazione è del tipo:

δ δθΠ = + > ∀ > −( 2 ) 2 2( kL PL )( ) 0 P kL²

E quindi anche la soluzione θ=π è stabile per questi valori di P.

Instabilità per configurazioni specifiche

Vediamo che accade allora per le soluzioni del tipo: P=kLcosθ

Cioè in tutti i casi in cui θ è compreso nell’intervallo ]0,π[, in cui cioè il sistema assume una di queste configurazioni:

In questi casi

δ θ δθΠ = − <( 2 ) 2 2kL sen ( )⁰

Quindi la configurazione di equilibrio è instabile.

Ritorno all'esercizio precedente

Torniamo all’esercizio svolto la scorsa volta:

zv(0) M0 v P v(h) V0 Ml l PVl

Il nostro obiettivo è indagare sull’equilibrio e sulla stabilità di questo sistema.

Ricordiamo che l’energia potenziale totale è:

l l1 P∫