Stabilità ed instabilità dell'equilibrio - 2

Soluzione condizionata (c’è equilibrio solo se il carico assume questo valore)

Dallo studio della variazione seconda troviamo invece il tipo di equilibrio del sistema:

{ }

1 [ ]

δ θ θ θ δθ

Π = − −

( 2 ) 2 2 2

kL cos P L cos kL sen ( )

2

!

Abbiamo stabilità se la variazione seconda è >0

Abbiamo instabilità se la variazione seconda è <0

Abbiamo incertezza se la variazione seconda è =0

Vediamo a quale di queste categorie appartiene la nostra variazione seconda, studiamone perciò il

segno: { }

1 [ ]

δ θ θ θ δθ

Π = − −

( 2 ) 2 2 2

kL cos P L cos kL sen ( )

2

!

Avremo che:

-per n pari, θ=0

1

δ δθ

Π = − > ∀ <

( 2 ) 2 2

( kL PL )( ) 0 P kL

2

e quindi la soluzione θ=0 è stabile per questi valori di P.

Vediamo che succede per n dispari (θ=π) cioè quando la configurazione è del tipo:

1

δ δθ

Π = + > ∀ > −

( 2 ) 2 2

( kL PL )( ) 0 P kL

2

E quindi anche la soluzione θ=π è stabile per questi valori di P.

Vediamo che accade allora per le soluzioni del tipo:

P=kLcosθ

Cioè in tutti i casi in cui θ è compreso nell’intervallo ]0,π[ , in cui cioè il sistema assume una di

queste configurazioni:

In questi casi

1

δ θ δθ

Π = − <

( 2 ) 2 2

kL sen ( ) 0

2

Quindi la configurazione di equilibrio è instabile.

Torniamo all’esercizio svolto la scorsa volta

z

v(0)

M

0 v

P v(h)

V

0 M

l

l P

V

l

il nostro obiettivo è indagare sull’equilibrio e sulla stabilità di questo sistema:.

Ricordiamo che l’energia potenziale totale è:

l l

1 P

∫ ∫

ϕ ϕ

Π = + = − + + + −

2 2

( v ) U V EI ( v ' ' ) dz [

V v ( 0

) M V v (

l ) M ] ( v ' ) dz

0 0 0 l l l

2 2

0 0

Questa espressione dell’energia potenziale in funzione dello spostamento è parente dell’energia

potenziale che abbiamo trovato all’inizio in funzione di θ per sistemi discreti.

Calcoliamo la variazione prima e la variazione seconda: l

∫

δ δ δϕ δ δϕ δ δ

Π = − + + + − + +

lo

[

V v M V v M ] [ Pv ' v ] P v ' ' v

dz (*)

0 0 0 0 l l l l 0

(*) è la variazione del secondo termine. Vediamo come si calcola:

2

  [ ]

l l l l

1 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫

δ δ δ δ

= = = =

2 2

EI ( v ' ' ) dz EI ( v ' ' ) dz EI ( v ' ' ) dz EI 2

v ' ' v ' '

dz

 

2 2 2 2

 

0 0 0 0

l l l

( )

∫ ∫ ∫

δ δ δ δ δ δ

= = − = − +

l l l

EIv ' ' v ' '

dz [ EIv ' ' v ' ] ( EIv ' ' )' v ' dz [ EIv ' ' v ' ] [ EI v ' ' ' v ] ( EIv ' ' )' ' vdz

0 0 0

0 0 0

Essendo:

δv =δv(0)

0

δv =δv(l)

l

δφ =δφ(0)=δv’(0)

0

δφ =δφ(l)= δv’(l)

l

possiamo riscrivere la variazione in questo modo:

[ ] [ ] [ ]

{ } { }

δ δ δ δ

Π = − − + − + + − + +

V ( EIv ' ' )' Pv ' ( 0

) v ( 0 ) V ( EIv ' ' )' Pv ' (

l ) v ( l ) M ( EIv ' ' )( 0

) v ' ( 0

)

0 l 0 (**)

l

[ ] [ ]

∫

δ δ

− − + +

M EIv ' ' (

l ) v ' (

l ) ( EIv ' ' )' ' Pv ' ' vdz

1 0

Tale variazione ai fini dell’equilibrio deve essere uguale a zero qualunque sia δv.

Allora essendo δv arbitrario prendiamolo in modo tale che sia:

δv(0)=0

δv(l)=0

δv’(0)=0

δv’(l)=0

cioè ad esempio

z

v(0)

M 0 v

P v(h)

V

0 M

l

l P

V

l

Allora nella (**) ci rimane soltanto il termine sotto l’integrale:

l [ ]

∫

δ δ

Π = + =

( EIv ' ' )' ' Pv ' ' vdz 0

0

Un teorema sugli integrali che assicura che l’unica soluzione si ha per il termine sotto integrale

uguale a zero:

( ) +Pv =

EIv ' ' ' ' ' ' 0

Questa condizione deve essere soddisfatta per tutti i valori di z compresi tra 0 e l.

Quindi possiamo eliminare questo temine dalla (**):

[ ] [ ] [ ]

{ } { }

δ δ δ δ

Π = − − + − + + + +

V ( EIv ' ' )' Pv ' ( 0

) v ( 0

) V ( EIv ' ' )' Pv ' (

l ) v (

l ) M ( EIv ' ' )( 0

) v ' ( 0

)

0 l 0

[ ]

δ

− −

M EIv ' ' (

l ) v ' (

l )

1

Essendo δv arbitrario scegliamo la variazione in modo che sia:

δv(0)≠0

δv(l)=0

δv’(0)=0

δv’(l)=0

della (**) resterà soltanto:

[ ]

{ }

δ δ

Π = − − + =

V ( EIv ' ' )' Pv ' ( 0 ) v ( 0 ) 0

0

la forza V affinchè soddisfi l’equazione deve essere:

0

= +

V ( EIv ' ' )' ( 0

) Pv ' ( 0

)

0

possiamo allora eliminare anche questo termine dall’espressione della variazione. Ci resterà:

[ ] [ ]

{ }

δ δ δ

Π = − + + + +

V ( EIv ' ' )' Pv ' (

l ) v (

l ) M ( EIv ' ' )(

0 ) v ' ( 0 )

l 0

[ ]

δ

− −

M EIv ' ' (

l ) v ' (

l )

1

procedendo analogamente a quanto fatto prima, ponendo:

δv(0)=0

δv(l)≠0

δv’(0)=0

δv’(l)=0

possiamo eliminare anche il termine contenente la forza V che si annulla per:

l.

= − −

V ( EIv ' ' )' (

l ) Pv ' (

l )

l

Della (**) ci resterà:

[ ] [ ]

δ δ δ

Π = + − −

M ( EIv ' ' )( 0

) v ' ( 0 ) M EIv ' ' (

l ) v (

l )

0 1

possiamo eliminare anche il primo termine che è =0 per:

ϕ ϕ

= = −

( 0

) M EIv ' ' ( 0

)

oppure per

0 0

ci resta:

[ ]

δ δ

Π = − −

M EIv ' ' (

l ) v ( l )

1 ϕ ϕ

= = −

(

l ) M EIv ' ' (

l )

che si annulla o per o per

l l

APPLICAZIONE

Consideriamo il seguente sistema costituito da una trave incastrata su cui agisce una forza verticale

P:

L’equazione differenziale che deve essere soddisfatta è:

+Pv =

( EIv ' ' )' ' ' ' 0

Ovvero:

+ =

IV

EIv Pv ' ' 0

Vediamo quali sono le quattro condizioni al contorno:

=

v ( 0

) 0

ϕ =v =

( 0

) ' ( 0

) 0

= =

M (

l ) EIv ' ' (

l 0

[ ]

( )

= − + =

V (

l ) EIv ' ' )' Pv ' (

l ) 0

Integriamo l’equazione differenziale:

P

+ =

IV

v v ' ' 0 (*)

EI

A tale scopo introduciamo una variabile adimensionale:

z

ζ = L

Possiamo allora scrivere in questo modo la derivata di v’ rispetto a z:

ζ

∂ ∂ ∂ ∂

v v 1 v

= =

ζ ζ

∂ ∂ ∂ ∂

z z L

Se facciamo la derivata seconda:

ζ  

∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2

v v 1 1 v 1 v

 

= = =

 

ζ ζ ζ ζ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

2 2 2

z z L L

z L

 

E così via per le altre derivate.

Allora possiamo scrivere la (*) in questo modo:

∂ ∂

4 4

v 1 v

= =

IV

v ∂ ∂

4 4 4

z L z

2

1 PL 1

+ =

IV

v v ' ' 0

4 2

L EI L

2

PL

+ =

IV

v v ' ' 0

EI

Questa è la nostra equazione adimensionalizzata.

2 2

PL PL σ

= 2

Il termine è adimensionale e sicuramente >0. Poniamo

EI EI

Possiamo allora scrivere la nostra equazione in questa forma:

σ

+ =

IV 2

v v ' ' 0 (**)

Integriamo:

{ }

λζ

=

v ' exp { }

λ λζ

= 2

v ' ' exp { }

λ λζ

= 3

v ' ' ' exp { }

λ λζ

=

IV 4

v exp

Sostituendo nella (**):

{ } { }

λ λζ σ λ λζ

+ =

4 2 2

exp exp 0

( ) { }

λ σ λ λζ

+ =

4 2 2 exp 0

λ σ λ

+ =

4 2 2 0

λ λ σ

+ =

2 2 2

( ) 0

Le soluzioni di questa equazione sono:

λ = 0

1

λ = 0

2

λ σ

= i

3

λ σ

= −

i

4

Con questi risultati possiamo scrivere l’integrale generale della (**) valida per ogni tipo di trave:

( )

ζ σζ σζ σζ

= + + +

v C C C sen C cos

0 1 2 3

Troviamo le derivate e imponiamo le condizioni al contorno per trovare il valore delle costanti:

[ ]

( ) ( )

ζ σ σζ σζ

= + −

v ' C C cos C sen

1 2 3

[ ]

( )

ζ σ σζ σζ

= − +

2

v ' ' C sen C cos

2 3

[ ]

( )

ζ σ σζ σζ

= − −

3

v ' ' ' C cos C sen

2 3

Condizioni al contorno:

( ) ζ

= ⇒ = ⇒ + =

v 0 0 0 C C 0

1) 0 3

( ) σ

= ⇒ + = ⇒ + =

v ' 0 0 (

C C ) 0 C C 0

2) 1 2 1 2

( ) σ σ σ

= = ⇒ − + =

2

3) v ' ' L 1 0 (