SPH metodo: smoothed particle hydrodynamics

SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS (SPH)

Meglio cercare alternative a metodi con griglie di calcolo, che se abbiamo una complessa articolazione della griglia da fare, non va più bene il metodo di discretizzazione già discusso, ancora di più se il contorno è in movimento, perché dovrebbe essere riaggiornata in continuazione.

Allora utilizzo i metodi Lagrangiano, consiste nel seguire il moto della singola particella. Non mi interessa più che succede in quel punto nel dominio, ma la seguo nel suo moto. SPH. Smoothed, le proprietà idrodinamiche della singola particella vengono espresse facendo una media pesata dei valori delle particelle che la circondano, che ci sono intorno.

Cerchi neri sono le particelle. Curva gaussiana. Io posso assegnare, per la particella generica, una temperatura che è la media pesata di tutte le T delle particelle in quell'intorno, assegnando ad l'altra.

Ogni particella ha un peso corrispondente a questa curva gaussiana. Se rispetto a questa particella che si trova al centro, una particella vicina avrà un peso elevato, una lontana avrà un peso minore se non nullo se è troppo lontano. Assegno un valore medio che è una media pesata. Smoothed liscio, regolare, andamento ricercato e ottenuto così. Questo è il principio di base del metodo.

Come si calcolano le diverse grandezze? Kernel approximation è un'operazione che si può fare Smoothing di una grandezza tenendo conto dei pesi degli altri attraverso un integrale di convoluzione.

Se ho una funzione f(x') posso usare il valore smoothed, cioè il valore medio, come integrale esteso al dominio omega come prodotto tra la funzione f(x) e la funzione W(x-x'). W è la funzione peso, ad esempio gaussiana, che dipende dalla distanza x-x' da x' e un punto qualsiasi. Dipendono dalla distanza e W sarà il peso di

questa funzione che dipende da una quantità h che è la larghezza. Non è una gaussiana perché va a zero per una distanza all'interno di questa infinita. Consideriamo solo le particelle distanza, non per tutte le particelle. Partiamo dal caso che la funzione filtro è il delta di Dirac. Vado a fare lo smooting non per tutto il ma solo per quelle all'interno del dominio, di questa zona.

Delta Dirac properties. Faccio la convoluzione, e mi da una semplice identità: f(x) filtrato è la f(x) stessa: F(x) filtrato è uguale a f(x). Integrale di f moltiplicato per delta. Tutti i punti x' che si trovano nell'intorno di omega. È una semplice identità. Ma se utilizzo invece della funzione di Dirac una funzione filtro, di questo tipo:

Facendo uno smooting di questo tipo, sto introducendo un'approssimazione di secondo ordine, rispetto ad h. Accuratezza delle formule essenziale nella discretizzazione. Per differenze

corretta. Questo significa che il kernel ha un raggio di azione limitato e non influisce su punti troppo distanti. 3. La somma dei valori del kernel deve essere uguale a 1. Questo garantisce che il processo di smooting non alteri la media complessiva dei valori. 4. Il kernel deve essere simmetrico rispetto all'origine. Questo significa che il valore del kernel per una certa distanza x-x' deve essere lo stesso del valore per la distanza x'-x. 5. Il kernel deve essere positivo. Questo assicura che il processo di smooting non introduca valori negativi o inverta il segno dei valori originali. 6. Il kernel deve essere normalizzato. Questo significa che il valore del kernel per una certa distanza x-x' deve essere diviso per la somma di tutti i valori del kernel. In questo modo, la somma dei valori smootati sarà sempre uguale alla somma dei valori originali. Utilizzando questi principi, è possibile definire un kernel adatto per il processo di smooting, che consentirà di ottenere una buona approssimazione al secondo ordine dei valori originali.tendere a zero quando h tende a zero.ma ha una dimensione finita. La funzione di densità di probabilità di una particella è una funzione continua nello spazio, che descrive la probabilità di trovare la particella in una determinata posizione. Questa funzione può essere approssimata utilizzando una serie di termini di ordine infinitesimo, che tiene conto degli errori di approssimazione. L'approssimazione accurata al secondo ordine nello spazio implica che gli errori di approssimazione sono proporzionali al quadrato della distanza tra la posizione reale della particella e la sua approssimazione. Questo significa che all'aumentare della distanza, gli errori diventano sempre più piccoli e la precisione dell'approssimazione aumenta. È importante sottolineare che stiamo parlando di funzioni continue nello spazio e non di particelle fisiche. Questo concetto di approssimazione al secondo ordine è utilizzato per descrivere il comportamento delle funzioni nel contesto della teoria delle probabilità e non ha a che fare con le proprietà fisiche delle particelle stesse.

qui ha però unadimensione, massa/densità. Numeriamo le particelle, i e j. Decine di migliaia/centinaia di milioni di particelle. Consideriamo questa situazione: Ogni particella ha un numero, circondata da altre particelle. Dominio di raggio h centrato intorno alla particella i. tutte le particelle all'interno della circonferenza avranno un peso al fine dello smooting. La funzione filtro risulta così schematizzata. Particelle vicine peso rilevante, lontane no. Distanza tra una particella e l'altra è chiamata rij, per ogni coppia di particelle. Integrale dW sarà il volume della particella. Ma ora non farò più integrale, ma sommatoria di tutte le particelle che staranno nel dominio. Passaggio da funzioni continue a discrete. Valore funzione particella, valore funzione Kernel per la distanza tra le due particelle, in cui metterò rapporto tra massa e densità. Dunque, invece di dW, si mette il volume della particella.

i-esima. Potrei fare la somma su tutto il dominio, non solo quelle entro la circonferenza. Ma sicuramente tutte quelle che stanno fuori la circonferenza avranno un W nullo. La sommatoria la estenderò solo dentro la circonferenza. Parlo di valore di funzione nella particella i-esima. n particelle che si trova nell'intorno. Somma estesa alle di i. Wij valore funzione kernel per la coppia delle due particelle e che dunque dipende dalla distanza tra le due particelle.

First derivative. Possiamo calcolare le derivate nel punto x, vettore posizione del punto, di f(x'). Mi interessa solo il valore smoothed. Integrale esteso a omega della derivata. Primo termine integrale di volume di una derivata, utilizziamo lemma di Green, integrale di omega diventa integrale di superficie, con S' che è il contorno di omega. Integrale della divergenza. Segno positivo perché si utilizza come normale quella uscente e non quella entrante. Metodo SPH normale verso l'esterno (uguale).

Anche con i volumi finiti), così da avere portate positive quando il fluido usciva dalla cella e negative quando entrava. Sul contorno la funzione W vale zero, allora il primo integrale va a zero. W costruita per definizione che sul contorno della sfera è nullo. Rimane solo il secondo termine. Se voglio calcolare il valore smoothed della funzione, uguale operazione fatta per f(x), ma quello che si fa è fare la derivata della funzione Kernel, ma di segno opposto. Questo nella Kernel approximation. Nella particle approximation BGAF sta per Basic gradient approximation formula. Un'altra: Ne esiste Permette di tenere in conto delle densità variabili. Non la utilizzeremo. Quella che usiamo invece: SGAF simmetric gradient approximation formula. Il valore filtrato della derivata della derivata, si può scrivere come: è la BGAF. Considerando il termine scritto così: Questo termine è nullo. Se W è simmetrica, la sua derivata è antisimmetrica.

Se la funzione ha questo andamento simmetrico, la derivata graficamente sarà questa: <strong>A dx le derivate saranno uguali in valore assoluto ma opposte.</strong>La funzione cresce raggiungendo un max. Derivate sempre più grandi in valore assoluto e saranno negative, verso dx, iniziano a decrescere per poi andare a zero. È una funzione emi-simmetrica la sua derivata. Somma di tutti i termini, la loro somma sarà pari a zero. Dunque, derivata calcolata nel punto iesimo e filtrata, la posso scrivere così: <strong>Formula identica (corrispondente a quella prima), perché ho dunque sommato i due termini, f di dentro la sommatoria e poi raccolto a fattor comune. Questa è la SGAF. Si mette in evidenza valore fi e fj.</strong>Gaussian Kernel FunctionAnche se va ad infinito, si può però troncare e considerare fino ad un punto assumendo i valori oltre un certo limite pari a zero. Funzione espressa in funzione di Q, che è il rapporto tra rij/h; Per ogni particella

Rij definisco un valore q, e dunque un valore della funzione. W dimensioni inverso di un volume, coefficiente che si trova in maniera tale che integrale è nullo. Wendland Kernel Function si presta molto bene allo smooting, va a zero quando va a 2. W funzione di Q. Per ogni coppia di particelle consociamo la distanza, calcoliamo la q e quindi conosciamo W. Riuscendo così a calcolare la derivata. Derivata della funzione è immediata. Equazione derivata di cui abbiamo la soluzione analitica. La scegliamo noi la funzione filtro. Se abbiamo una particella a zero, una a -1 e una a 1. Solo 3 particelle, configurazione 2D. Applicando formula SPH, la derivata sarà uguale al valore ad uno per il peso della derivata, meno il valore derivata. Non c'è un diviso la distanza, se quei coefficienti 21/... daranno per il peso, anche proprio la distanza da una parte e l'altra. Derivata è uguale al valore particelle parte, includendo fattore geometrico.

²⁷/₈₁ particelle dis