SPH metodo: smoothed particle hydrodynamics

SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS (SPH)

Meglio cercare alternative a metodi con griglie di calcolo, che se abbiamo una complessa

articolazione della griglia da fare, non va più bene il metodo di discretizzazione già discusso, ancora

di più se il contorno è in movimento, perché dovrebbe essere riaggiornata in continuazione.

Allora utilizzo i metodi Lagrangiano, consiste nel seguire il moto della singola particella. Non mi

interessa più che succede in quel punto nel dominio, ma la seguo nel suo moto. SPH. Smoothed, le

proprietà idrodinamiche della singola particella vengono espresse facendo una media pesata dei valori

Forti interazioni tra particelle, l’una rispetto

delle particelle che la circondano, che ci sono intorno.

l’altra.

Cerchi neri sono le particelle. Curva gaussiana. Io posso assegnare, per la particella generica, una

le T delle particelle in quell’intorno,

temperatura che è la media pesata di tutte assegnando ad ogni

particella un peso corrispondente a questa curva gaussiana. Se rispetto questa particella che si trova

al centro, una particella vicina avrà un peso elevato, una lontana avrà un peso minore se non nullo se

è troppo lontano. Assegno un valore medio che è una media pesata. Smoothed liscio, regolare,

andamento ricercato e ottenuto così. Questo è il principio di base del metodo.

Come si calcolano le diverse grandezze?

Kernel approximation è un’operazione che si può fare

Smooting di una grandezza tenendo conto dei pesi degli altri

attraverso un integrale di convoluzione.

Se ho una funzione f(x’) posso usare il valore smoothed, cioè il valore medio, come integrale esteso

al dominio omega come prodotto tra la funzione f(x) e la funzione W(x-x’). W è la funzione peso, ad

esempio gaussiana, che dipende dalla distanza x-x’.

da x’ e un punto qualsiasi. Dipendono dalla distanza e

W sarà il peso di questa funzione che dipende

da una quantità h che è la larghezza. Non è una gaussiana perché vanno a zero per una distanza

all’interno di questa

infinita. Consideriamo solo le particelle distanza, non per tutte le particelle.

Partiamo dal caso che la funzione filtro è il delta di Dirac. Vado a fare lo smooting non per tutto il

ma solo per quelle all’interno

dominio, di questa zona.

Delta Dirac properties

Faccio la convoluzione, e mi da una semplice identità: f(x) filtrato è la f(x) stessa: F(x) filtrato è

uguale a f(x).

Integrale di f moltiplicato per delta. Tutti i punti x’ che si trovano nell’intorno di omega.

È una semplice identità. Ma se utilizzo invece della funzione di Dirac una funzione filtro, di questo

tipo:

Facendo uno smooting di questo tipo, sto introducendo un’approssimazione di secondo ordine,

rispetto ad h. Accuratezza delle formule essenziale nella discretizzazione. Per differenze finite,

formule accurate al primo/secondo ordine, rispetto al delta x dimensione griglia. Qui non abbiamo

griglia, ma si fa uno smooting rispetto h, la distanza. Rispetto la funzione Kernel che la andiamo a

definire. È un’approssimazione al secondo ordine.

Kernel properties

1. Tutto uguale ad 1 perché con il valore filtrato andrebbe a variare i valori. Se f(x) è costante,

una qualunque grandezza idrodinamica. Supponiamo sia omogeneamente di 20°C. Smooting

valore 20 ovunque, smooting mi dovrà darà 20. Una cosa è mediare, una è alterare il valore.

Integrale dovrebbe darmi 1, perché 20=20 Allora se fosse diverso da omogeneo, avremmo

che non fosse uguale ad uno mi andrebbe a dare un’amplificazione o riduzione scorretta.

all’infinito,

2. Funzione deve avere un supporto compatto. Non può estendersi quando la

distanza x-x’ è maggiore di kh, il valore deve diventare zero, superata la distanza kh, in

maniera tale che rispetto questa particella che si trova al centro, avranno peso diverso da uno,

se prendo una particella fuori dal dominio, così che la funzione deve valere zero. Funzione

deve avere supporto compatto.

3. Quando h tende a zero, lunghezza riferimento funzione kernel. Il limite deve essere la delta

di Dirac, tanto più restringo la base tanto più deve coincidere con la funzione delta di Dirac.

4. Assegniamo funzioni di tipo simmetrico, a parità di distanza, da tutte le parti, deve essere lo

stesso, sia che mi muovo lungo asse x/z, deve valere Curva a campana di questo tipo,

simmetrica.

Secondo order approximation

➢ F(x) mediata estesa ad omega deve essere a questo integrale così.

➢ fino all’infinitesimo del secondo ordine, rispetto alla distanza tra

Sviluppo in serie di Taylor,

le due particelle.

➢ Questo diventa somma tra due integrali.

F(x) costante, porto fuori integrale. Temine finale proporzionale ad h al quaderato. Il secondo termine

va a zero quando la distanza x’-x superano h. x’-x

Secondo termine va a zero perché? W è una funzione simmetrica, mentre è una funzione

l’integrale

asimmetrica, emi-simmetrica, vale zero, perché per ogni valore positivo ne abbiamo uno

negativo corrispondente, parte corrispondente è la stessa di segno opposto, allor va a zero, e quindi

rimane sono termine infinitesimo. Dunque, f filtrata è la funzione nel punto x più i termini oridne

infinitesimo. Errori proporzionali ad h quadro. Dunque, approssimazione accurata al secondo ordine

nello spazio. Non abbiamo parlato di particelle, ma solo di funzioni continue nello spazio.

Particle aproximation

Una particella indicata con I. Dominio strutturato in particelle. Ognuna di questa ha una massa,

densità, posizione, ha un volume, una velocità, P, T accelerazione, T, concertazione... Ogni particella

è un volume nello spazio, ha una sua posizione, non è una particella puntuale, qui ha però una

dimensione, massa/densità. Numeriamo le particelle, i e j. Decine di migliaia/centinaia di milioni di

particelle. Consideriamo questa situazione:

Ogni particella ha un numero, circondata da altre particelle. Dominio di raggio h centrato intorno alla

particella i. tutte le particelle all’interno della circonferenza avranno un peso al fine dello smooting.

La funzione filtro risulta così schematizzata. Particelle vicine peso rilevante, lontane no. Distanza tra

una particella e l’altra è chiamata rij, per ogni coppia di particelle

Integrale dW sarà il volume della particella. Ma ora non farò più integrale, ma sommatoria di tutte le

particelle che staranno nel dominio. Passaggio da funzioni continue a discrete. Valore funzione

particella, valore funzione Kernel per la distanza tra le due particelle, in cui metterò rapporto tra massa

e densità. Dunque, invece di dW, si mette il volume della particella i-esima.

Potrei fare la somma su tutto il dominio, non solo quelle entro la circonferenza. Ma sicuramente tutte

quelle che stanno fuori la circonferenza avranno un W nullo. La sommatoria la estenderò solo entro

la circonferenza. Parlo di valore di funzione nella particella i-esima.

n particelle che si trova nell’intorno

Somma estesa alle di i. Wij valore funzione kernel per la coppia

delle due particelle e che dunque dipende dalla distanza tra le due particelle.

First derivative

Possiamo calcolare le derivate nel punto x, vettore posizione del punto.