Spazio Topologico

Spazio topologico

Definizioni delle parti

Un insieme booleano o insieme potenza dato è l'insieme delle parti di un insieme e la sua cardinalità |P(X)| ≠ ∅, dove |P(X)| = 2ⁿ dove n è il numero di elementi contenuti in X.

Per esempio: se X = {1, 2, 3}, allora P(X) = {1, 2, 3}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, ∅. Dunque, |P(X)| = 3² = 8.

Topologia

Sia τ una famiglia di sottoinsiemi di X: τ ⊆ P(X). τ è una topologia per X se:

• Contiene i sottoinsiemi banali: X, ∅ ∈ τ.
• Data una famiglia finita e numerabile di insiemi {A_i} appartenente a τ, anche le loro unioni finite e numerabili appartengono a τ: se {A_i} è finito o numerabile e A_i ∈ τ, allora ∪A_i ∈ τ.
• Dato un numero finito di insiemi appartenenti alla classe, anche la loro intersezione finita appartiene a τ: se {A_i} è finito e A_i ∈ τ, allora ∩A_i ∈ τ.

La topologia è una struttura chiusa rispetto all'unione (finita o numerabile) e rispetto all'intersezione (finita) perché tali operazioni fra sottoinsiemi, appartenenti allo stesso insieme, appartengono anch'esse all'insieme stesso.

Spazio topologico

La coppia (X, τ), dove X è il sostegno e τ è la topologia, si definisce spazio topologico. Tutti gli insiemi appartenenti alla topologia τ (τ ∈ P(X)) sono detti aperti dello spazio topologico.

Topologia banale

La topologia banale è la topologia costituita dagli insiemi banali: τ = {X, ∅}. Quindi, per X = {1, 2}, τ = {X, ∅}, τ ⊆ P(X) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.

Esempio: se τ è una topologia banale per X, allora X = {1, 2}, τ = {X, ∅} ⊆ P(X) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, (X, τ) è uno spazio topologico banale.

Dimostrazione

∅ ∪ ∅ = ∅ ∈ τ e ∅ ∩ ∅ = ∅ ∈ τ. Inoltre:

• ∅ ∈ τ.
• X ∪ ∅ = X ∈ τ.
• X ∩ ∅ = ∅ ∈ τ.
• X ∪ X = X ∈ τ.
• X ∩ X = X ∈ τ.