Curve nello spazio

Curve nel piano e nello spazio

La curva è una funzione, la cui immagine è descritta dalla linea nel grafico detta sostegno. γ' : [a,b] → ℝ²; γ'(t) = (γ'₁(t), γ'₂(t)) parametrizzazione di una curva piana. γ' continua e invertibile in (a,b) è l’immagine di γ' (ovvero la linea) ma ha interruzioni. L’immagine di γ' non ha autointersezioni.

Regolarità e chiusura delle curve

γ' è regolare se γ' è di classe C¹(a,b), ovvero γ'(t) = (γ'₁(t), γ'₂(t)). γ' è chiusa se γ'(a) = γ'(b).

Esempio di curva parametrizzata

Es. γ'(t) = (Rcos(t), Rsin(t)) 0 ≤ t ≤ 2π, γ'(t) = (-Rsin(t), Rcos(t))

F(x); f : [a,b] → ℝ; f continua γ'(t) = (t, f(t))

∫_a^b γ'₁(t) = t ∫_a^b γ'₂(t) = f(t) se f è derivabile (a, f'(t)) e il vettore. La derivata è un vettore tangente ⇒ la retta tangente su un punto ξ : γ'_γ1 = f(ξ) + f'(ξ)(x-ξ) x - ξ + s_coeff. γ' = f(ξ) + f'(ξ) · s (1, f'(t)) è il vettore direzione.

Calcolo generico

In generale: m γ′Δ = ^{γ(t+Δt) - γ(t)}/_Δt

Curve nel piano e nello spazio

La curva è una funzione, la cui immagine è osservata come linee nel grafico detto sostegno. γ: [a,b] ⟶ ℝ²; γ(t) = (γ₁(t), γ₂(t)) parametrizzazione di una curva piana. γ continua e invertibile in (a,b) è l'immagine di γ (ovvero la linea) non ha intersezioni. L'immagine di γ non ha autointersezioni.

γ è regolare se γ' è di classe C¹(a,b) ovvero γ''(t) = (γ'₁(t), γ'₂(t)). γ è chiusa se γ(a) = γ(b).

Esempio di curva parametrizzata

Es. γ(t) = (Rcos(t), Rsin(t)) 0 ≤ t ≤ 2π; γ'(t) = (-Rsin(t), Rcos(t)) f(x); f: [a,b] ⟶ ℝ; f continua γ(t) = (t, f(t)) γ₁(t) = t γ₂(t) = f(t) se f è derivabile. La derivata è un vettore tangente ⇒ la retta tangente in un punto T : γ' = f(t) + f'(T)(x-t) x-T = s coeff. γ' = f(T) + f'(T) ・ s ⇒ (1, f'(t)) è un vettore direzione.

Calcolo generico

In generale: m_γ' = ^{γ(t+Δt) - γ(t)}/_Δt

Rparametrizzazione di una curva

Data una parametrizzazione si può decidere crescenza e decrescenza. Rparametrizzazione di una curva. γ : [a, b] → nell'unione discontinua Rⁿ. Data γ una funzione e una freccia β, [c, d] → [a, b], C₁ ([a, b]), mediante la freccia γ o (gamma cerchiato) : [c, d] → Rⁿ è detta una rparametrizzazione di γ. Si dice che η = γ o β β ha lo stesso range di γ. Abbiamo: η(S) = γ'(β(S)) * β'(S)s e tau η(S) = γ'(β(S), β'(S)) com vetore ν secuo.

• Es: Uso di parametrizzazione γ(a) γ(b)
• Diagram not shown
• Diagram not shown

Vogliamo la freccia Σ che è una parabola. Σ(S) = β - (S-a) = b+a-S η(S) = γ'(b+a-S) a η(a) = b, η(b) = a η(S) = γ'(b+a-s)

Esempio di riparametrizzazione

ES: γ(t)=(Rcos t, Rsin t) 0 ≤ t ≤ 2π, costruire la riparametrizzazione della curva con verso opposto ξ(s) = a+b-s = 2π-s γ'(ξ(s)) = η(ξ(s)) = (Rcos(2π-s), Rsin(2π-s)) = (Rcos(s), -Rsin(s))

Cambio di velocità di percorrenza della curva

ES: cambio di velocità di percorrenza della curva ξ(s) = ω·s. Presa γ: [α,b] → R² parametrizzazione regolare, allora η(s) = γ'(ω·s), η'(s) = γ''(ω·s) · ω

Autore di nota: ES γ(t)=(Rcos t, Rsin t) 0 ≤ t ≤ 2π γ_ω(s) = (Rcos(ωs), Rsin(ωs)) 0 ≤ s ≤ ^2π/_ω γ''_ω(s) = (-Rωsin(ωs), Rωcos(ωs)) ||γ'_ω(s)|| = Rω√(sin²(ωs)+cos²(ωs)) = R·ω è la velocità vel. angolare

Calcolo della lunghezza di una curva

γ è regolare. Divido [a,b] nei sottointervalli [t_i,t_i+1], a=t₀, t₁ 0 la lunghezza della "spezzata" che approssima la curva è ∑^n-1_i=0||γ(t_i+1)-γ(t_i)||