Curve nello spazio

Curve nel piano e nello spazio

La curva è una funzione la cui immagine è descritta dalla linea nel grafico detto sostegno.

γ: [a, b] ⟶ ℝ², γ(t) = (γ₁(t), γ₂(t)) a parametri continui t

Una curva si dice continua e continua in (a, b)

• L'immagine di γ (ovvero la linea) non ha intersezioni
• L'immagine di γ non ha autointersezioni

γ è regolare se γ ∈ C¹([a,b]) ovvero γ'(t) = (γ'₁(t), γ'₂(t)) vettore tangente

γ è chiusa se γ(a) = γ(b)

Es.

γ'(t) = (_-Rsin(t), _Rcos(t))

0 ≤ t < 2π | _γ'(t) = (_-Rsin(t), _Rcos(t))

c _a b

Es. f: [a, b] ⟶ ℝ f continua

γ(t) = (t, f(t))

_γ1(t) = t

_γ2(t) = f(t)

Se f è derivabile

la derivata è una retta tg

• la retta tg in un punto Ȳ: Ȳ = f(t) + f'(t)(x - t̅)
• x̄ - t̅ = s _coeff.
• Ȳ = f(t̅) + f'(t̅)s
• (t, f'(t̅)) è un altro direzione

In generale:

m_Δ = (γ'(t+_Δt) - γ'(t))/_Δt